2002 .pdf

2002 年 第 1 页 2002 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准数学试题参考解答及评分标准 数 学（一）数 学（一）一、填空题（本题共一、填空题（本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分.）(1)2lnedxxx1.(2)已知函数()yy x是由方程2610yexyx 确定，则(0)y-2 (3)微分方程20yyy满足初始条件01xy，012xy的特解是211yxyx或.(4)已知实二次型2221231231 21 323(,)()444f x x xa xxxx xx xx x经正交变换xPy可化成标准形216fy，则a 2 (5)设随机变量X服从正态分布2(,)(0)N 且二次方程240yyX无实根的概率为12，则 4 二、选择题（本题共二、选择题（本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分.）(1)考虑二元函数的下面 4 条性质：(,)f x y在点00(,)xy处连续，(,)f x y在点00(,)xy处的两个偏导数连续，(,)f x y在点00(,)xy处可微，(,)f x y在点00(,)xy处的两个偏导数存在.若用PQ表示可由性质P推出性质Q，则有(A)(A)(B)(C)(D)(2)设0(1,2,3,)nun，且lim1nnnu ，则级数11111(1)()nnnnuu(C)(A)发散.(B)绝对收敛.(C)条件收敛(D)收敛性根据所给条件不能确定(3)设函数()yf x在(0,)内有界且可导，则(B)幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】，信受奉行，必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 2002 年 第 2 页(A)当lim()0 xf x时，必有lim()0 xfx.(B)当lim()xfx存在时，必有lim()0 xfx.(C)当0lim()0 xf x 时，必有0lim()0 xfx.(D)当0lim()xfx 存在时，必有0lim()0 xfx.(4)设有三张不同平面的方程123,1,2,3,iiiia xa ya zb i，它们所组成的线性方程组的 系数矩阵与增广矩阵的秩都为 2，则这三张平面可能的位置关系为(B)(5)设1X和2X是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为1()f x和2()f x，分布函数分别为1()F x和2()F x，则(D)(A)12()()f xfx必为某一随机变量的概率密度.(B)12()()f x fx必为某一随机变量的概率密度.(C)12()()F xF x必为某一随机变量的分布函数.(D)12()()F x F x必为某一随机变量的分布函数.三、（本题满分三、（本题满分 6 分）分）设函数()f x在0 x 的某领域内具有一阶连续导数，且(0)0,(0)0ff，若()(2)(0)af hbfhf在0h 时是比h高阶的无穷小，试确定,a b的值.解法解法 1：由题设条件知0lim()(2)(0)(1)(0)0haf hbfhfabf.由于(0)0f，故必有10ab.又由罗必达法则，有00()(2)(0)()2(2)0limlim(2)(0)1hhaf hbfhfaf hbfhab fh.因(0)0f，故20ab.于是得2,1ab.解法解法 2：由条件得()(0)(0)()f hffhh，(2)(0)2(0)()fhffhh.所以()(2)(0)(1)(0)(2)(0)()af hbfhfabfab fhh.因此当2,1ab 时，有()(2)(0)()af hbfhfh.幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】，信受奉行，必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 2002 年 第 3 页 四、（本题满分四、（本题满分 7 分）分）已知两曲线()yf x与2arctan0 xtyedt在点(0,0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限2lim()nnfn.解：解：由已知条件得(0)0f，2(arctan)02(0)11xxefx，故所求切线方程为yx.2()(0)2lim()lim22(0)22nnffnnffnn.五、（本题满分五、（本题满分 7 分）分）计算二重积分22max,xyDedxdy，其中(,)01,01Dx yxy.解：解：设1(,)01,0Dx yxyx，2(,)01,1Dx yxxy，则22max,xyDedxdy222212max,max,xyxyDDedxdyedxdy2212xyDDe dxdye dxdy22110000 xyxydxe dydye dy221100 xyxe dxye dy1e.六、（本题满分六、（本题满分 8 分）分）设函数()f x在(,)内具有一阶连续导数，L是上半平面(0)y 内的有向分段光滑曲线，其起点为(,)a b，终点为(,)c d记22211()()1LxIy f xy dxy f xydyyy，(1)证明曲线积分I与路径L无关；(2)当abcd时，求I的值.证：证：(1)因为2222111()()()()1xy f xyf xyxyfxyy f xyyyyxy在上半平面内处处成立，所以在上半平面内曲线积分I与路径无关.(2)解法解法 1：由于I与路径无关，故可取积分路径L为由点(,)a b到点(,)c b再到点(,)c d的折线段，所以 22211()()1cdabcIb f bxdxy f cydyby()()cdabcaccbf bx dxcf cy dybdb()()bccdabbccaf t dtf t dtdb()cdabcaf t dtdb，幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】，信受奉行，必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 2002 年 第 4 页 当abcd时，()0cdabf t dt，由此得caIdb.解法解法 2:2()()LLdxxdyIyf xy dxxf xy dyyy2Ldxxdycayydb.设()F x为()f x的原函数，则()()()()()()LLyf xy dxxf xy dyf xy d xyF cdF ab，所以当abcd时，()()0,F cdF ab由此得caIdb.七、（本题满分七、（本题满分 7 分）分）(1)验证函数3693()1()3!6!9!(3)!nxxxxy xxn 满足微分方程xyyye(2)利用（1）的结果求幂级数30(3)!nnxn的和函数.解：解：(1)因3693()13!6!9!(3)!nxxxxy xn，25831()2!5!8!(31)!nxxxxy xn，4732()4!7!(32)!nxxxy xxn，所以xyyye.(2)与xyyye相应的齐次微分方程为0yyy，其特征方程为210，特征根为1,21322i，因此齐次微分方程的通解是21233cossin22xYeCxCx.设非齐次微分方程的特解为*xyAe，将*y代入方程xyyye得13A，于是*13xye.方程通解为*212331cossin223xxyYyeCxCxe.当0 x 时，有1121(0)13131(0)0223yCyCC .由此，得122,03CC.幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】，信受奉行，必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 2002 年 第 5 页 于是幂级数30(3)!nnxn的和函数为2231()cos().323xxy xexex 八、八、(本题满分本题满分 7 分分)设有一小山，取它的底面所在的平面为坐标面xOy，其底部所占的区域为 22(,)75Dx y xyxy，小山的高度函数为22(,)75h x yxyxy，(1)设00(,)M xy为区域D上一点，问(,)h x y在该点沿平面上什么方向导数最大？若记此方向导数的最大值为00(,)g xy，试写出00(,)g xy的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说，要在D的边界线2275xyxy上找出使（1）中的()g x y达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.解：解：(1)由梯度的几何意义知，(,)h x y在点00(,)M xy处沿梯度00(,)0000(,)(2)(2)xyh x yyxxygradij方向的方向导数最大方向导数的最大值为该梯度的模，所以22220000000000(,)(2)(2)558g x yyxxyxyx y.(2)令222(,)(,)558f x ygx yxyxy，由题意，只需求(,)f x y在约束条件 22750 xyxy下的最大值点.令2222(,)558(75)L x yxyxyxyxy，则22108(2)0(1)108(2)0(2)750(3)xyLxyyxLyxxyLxyxy.(1)式与(2)式相加可得()(2)0 xy，从而得yx 或2.若2则由（1）式得yx，再由（3）式得5 3,5 3.xy若yx，则由（3）式得5,5xy .于是得到 4 个可能的极值点1234(5,5),(5,5),(5 3,5 3),(5 3,5 3)MMMM.由于12()()450f Mf M，34()()150f Mf M，故1(5,5)M或2(5,5)M 可作为攀登的起点.九、九、(本题满分本题满分 6 分分)已知 4 阶方阵1234(,)A ，1234,均为 4 维列向量，其中234,线幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】，信受奉行，必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 2002 年 第 6 页 性无关，1232，如果1234，求线性方程组Ax的通解.解法解法 1：令1234xxxxx，则由12123434(,)xxxxx A，得 112233441234xxxx，将1232代入上式，整理后得，12213344(23)()(1)0 xxxxx.由234,线性无关，知12134230010 xxxxx，解此方程组得01320110 xk 其中k为任意常数.解法解法 2：由234,线性无关知123420，故A的秩为 3，因此0Ax 的基础解系中只包含一个向量.由1234200，知1210为齐次线性方程组0Ax 的一个解，所以其通解为1210 xk，k为任意常数.再由123412341111(,)1111A ，知1111 为非齐次线性方程组Ax的一个特解，于是Ax的通解为11121110 xk ，k为任意常数.十、十、(本题满分本题满分 8 分分)设,A B为同阶方阵，幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】，信受奉行，必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 2002 年 第 7 页(1)如果,A B相似，试证,A B的特征多项式相等；(2)举一个二阶方阵的例子说明（1）的逆命题不成立；(3)当,A B均为实对称矩阵时，试证（1）的逆命题成立.证：证：(1)若,A B相似，那么存在可逆矩阵P，使得1P APB，故 111EBEP APPEPP AP11()PEA PPEA PEA.(2)令0100,0000AB，那么2EAEB 但,A B不相似，否则，存在可逆矩阵P，使1P APBO，从而1APOPO，矛盾.(3)由,A B均为实对称矩阵知，,A B均相似于对角阵.若,A B的特征多项式相等，记特征多项式的根为1,n，则有A相似于1n，B也相似于1n，即存在可逆矩阵,P Q，使111nP APQ BQ，于是111()()PQA PQB.由1PQ为可逆矩阵知，A与B相似.十一、（本题满分十一、（本题满分 7 分）分）设随机变量X的概率密度为1cos,0()220,xxf x其他,对X独立地重复观察 4次，用Y表示观察值大于3的次数，求2Y的数学期望.解法解法 1：由于311cos3222xP Xdx，1(4,)2YB，因此11142,4(1)1222EYDY ，所以222()1 25EYDYEY.解法解法 2：由于311cos3222xP Xdx，1(4,)2YB，因此，Y的概率分布为 幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】，信受奉行，必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 2002 年 第 8 页 Y01234P146411616161616所以，22221(0 1 1 4263441)516EY .十二、十二、(本题满分本题满分 7 分分)设总体X的概率分布为：其中1(0)2是未知参数，利用总体X的如下样本值3,1,3,0,3,1,2,3，求的矩估计值和最大似然估计值.解：解：2201 2(1)23(1 2)3 4EX ，1(3 1 3 03 1 23)28x .令EXx，即342，解得的矩估计值为14.对于给定的样本值，似然函数为624()4(1)(1 2)L.ln()ln46ln2ln(1)4ln(1 2)L，2(ln()6286282411 2(1)(1 2)dLd，令ln()0dLd解得1,271312.因7131122不合题意，所以的最大似然估计值为71312.X 0 1 2 3 P2)1(2221幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】，信受奉行，必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 2002 年 第 9 页 数 学（二）数 学（二）一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分.(1)设函数tan21,0arcsin()2,0 xxexxf xaex 在0 x 处连续，则a 2(2)位于曲线(0)xyxex下方，x轴上方的无界图形的面积是1.(3)【同数学一 第一、（3）题】(4)12lim1 cos1 cos1 cosnnnnnn2 2(5)矩阵022222222的非零特征值是4 二、选择题二、选择题(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分.)(1)设函数()f u可导，2()yf x当自变量x在1x 处取得增量0.1x 时，相应的函数增量y的线性主部为0.1，则(1)f(D)(A)-1(B)0.1(C)1(D)0.5(2)设函数()f x连续，则下列函数中，必为偶函数的是(D)(A)20()xf tdt(B)20()xft dt (C)0()()xt f tft dt(D)0()()xt f tft dt(3)设()yy x是二阶常系数微分方程3xypyqye满足初始条件(0)(0)0yy的特解，则当0 x 时，函数2ln(1)()xy x的极限(C)(A)不存在.(B)等于 1.(C)等于 2.(D)等于 3.(4)【同数学一 第二、（3）题】(5)设向量组123,线性无关，向量1可由123,线性表示，而向量2不能由123,线性表出，则对于任意常数k，必有(A)(A)12312,k 线性无关.(B)12312,k 线性相关幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】，信受奉行，必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 2002 年 第 10 页(C)12312,k 线性无关.(D)12312,k 线性相关.三、三、(本题满分本题满分 6 分分)已知曲线的极坐标方程是1 cos,r，求该曲线上对应于6处的切线与法线的直角坐标方程.解：解：此曲线的参数方程为(1 cos)cos(1 cos)sinxy，即2coscossinsincosxy 由6，得到切点的坐标为33 13(,)24 24.6dydx6dyddxd622coscossin1sin2cos sin，于是所求切线方程为13332424yx，即3 35044xy.法线方程为1333()2424yx，即31044xy.四、四、(本题满分本题满分 7 分分)设()f x 2232,102,01(1)xxxxxxexe求函数1()()xF xf t dt的表达式.解：解：当10 x 时，22332113111()(2)()2222xxF xttdtttxx，当01x时，0110()()()()xxF xf t dtf t dtf t dt2301201()2(1)txttettdte01121xttde 0011211xxtttdtee01121(1)xtxttxdeee e 01ln211txxtxeee 1lnln2211xxxxeee.幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】，信受奉行，必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 2002 年 第 11 页 所以()F x 3211,10221lnln2,01112xxxxxxxexee.五、五、(本题满分本题满分 7 分分)已知函数()f x在(0,)可导，()0f x，lim()1xf x，且满足110()lim()()hxhf xhxef x，求()f x.解：解：设1()()hf xhxyf x，则1()lnln()f xhxyhf x.因为001()limlnlimln()hhf xhxyhf x0ln()ln()limhxf xhxf xhxln()xf x，故1ln()0()lim()hxf xhf xhxef x.由已知条件得1ln()xf xxee，因此1ln()xf xx，即21ln()f xx.解之得1()xf xCe，由lim()1xf x，得1C，故1()xf xe.六、六、(本题满分本题满分 7 分分)求微分方程(2)0 xdyxy dx的一个解()yy x，使得由曲线()yy x与直线 1,x 2x 以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小.解：解：原方程可化为21dyydxx.则22221()dxdxyeeCxCxCxx.由曲线2yxCx与直线1x，2x 及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积为2222131157()()523V CxCxdxCC.令6215()()052V CC，得75124C.又62()05V C，故75124C 为唯一极小值点，也是最小值点，于是得275()124yy xxx.幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】，信受奉行，必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 2002 年 第 12 页 七、七、(本题满分本题满分 7 分分)某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD，下部由二次抛物线与线段AB所围成.当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为 5：4，闸门矩形部分的高h应为多少m(米)？解解 1 如图建立坐标系，则抛物线的方程为2yx.闸门矩形部分承受的水压力 1112(1)hPg hy dy 1212(1)2hyghy2gh，其中为水的密度，g为重力加速度.闸门下部承受的水压力1202(1)Pg hyydy 13522022122(1)4()35315ghyygh.由题意知：1254PP，即251244()315hh解之得12,3hh(舍去)，故2h.即闸门矩形部分的高应为2m.解解 2 如图建立坐标系，则抛物线方程为21xhy.闸门矩形部分承受的水压力2102hPgxdxgh.闸门下部承受的水压力221hhPgx hxdx.设1hxt 得122204(1)Pghtt dt 13504(1)35ttgh124()315gh.以下同解(1).八、八、(本题满分本题满分 8 分分)设103x，1(3)(1,2,)nnnxxxn，证明数列 nx的极限存在，并求此极限.解：解：由103x知1x，13x均为正数，故21111130(3)(3)22xxxxx.幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】，信受奉行，必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 2002 年 第 13 页 设30(1)2kxk，则1130(3)(3)22kkkkkxxxxx，由数学归纳法知，对任意正整数1n，均有302kx，因而数列 nx有界.又当1n 时，1(3)nnnnnxxxxx(3)nnnxxx(32)03nnnnxxxx，因而有1(1)nnxx n，即数列 nx单调增加.由单调有界数列必有极限知limnnx存在.设limnnxa，在1(3)nnnxxx两边取极限，得(3)aaa，解之得32a，0a(舍去).故3lim2nnx.九、九、(本题满分本题满分 8 分分)设0ab，证明不等式222lnln1abaabbaab 证：证：先证右边不等式.设()lnln(0)xaxxaxaax，因为111()()22axxaxx x2()02xax ax，故当xa时，()x单调减少又()0a，所以，当xa时，()()0 xa，即lnlnxaxaax，从而当0ba时，lnlnbabaab，即lnln1babaab.再证左边不等式.证法 1：证法 1：设函数()lnf xx(0)xa，由拉格朗日中值定理知，至少存在一点(,)a b，使lnln1(ln)xbaxba，由于0ab，故22112abab，从而22lnln2baabaab.证法 2：证法 2：设22()()(lnln)2()(0)f xxaxaa xaxa，因为221()2(lnln)()2fxxxaxaax2()2(lnln)0 xaxxax，故当xa时，()f x单调增加，又()0f a，所以当xa时，()()0f xf a，即22()(lnln)2()0 xaxaa xa.从而当0ba时，有22()(lnln)2()0abbaa b a，即222lnlnabaabba.幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】，信受奉行，必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 2002 年 第 14 页 十、十、(本题满分本题满分 8 分分)设函数()f x在0 x 的某领域内有二阶连续导数，且(0)0,f(0)0,f(0)0f，证明：存在惟一的一组实数123,，使得当0h 时，123()(2)(3)(0)f hfhfhf是比2h高阶的无穷小.证法 1：证法 1：只需证存在惟一的一组实数123,，使得12320()(2)(3)(0)lim0hf hfhfhfh.由题设和洛比达法则，从 12320()(2)(3)(0)0limhf hfhfhfh1230()2(2)3(3)lim2hf hfhfhh1230()4(2)9(3)lim2hfhfhfh1231(49)(0)2f知，123,应满足方程组1231231231230490，因为系数行列式11112320149，所以上述方程组的解存在且惟一，即存在惟一的一组实数123,，使得当0h 时，123()(2)(3)(0)f hfhfhf是比2h高阶的无穷小.证法 2：证法 2：由麦克劳林公式得21()(0)(0)()2f hffhfh(其中介于 0 与h之间)据题设条件，当0h 时，2211()(0)(0)(0)()(0)22f hffhfhffh221(0)(0)(0)()2ffhfhh.同理可得22(2)(0)2(0)2(0)()fhffhfhh，229(3)(0)3(0)(0)()2fhffhfhh，故有23()(2)(3)(0)f hfhfhf221231231231(1)(0)(23)(0)(49)(0)()2ffhfhh.所以123,应满足方程组1231231231230490.以下同证法 1.幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】，信受奉行，必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 2002 年 第 15 页 十一、十一、(本题满分本题满分 6 分分)已知A、B为 3 阶矩阵，且满足124A BBE，其中E是 3 阶单位矩阵.(1)证明：矩阵2AE可逆；(2)若B 120120002，求矩阵A.解：解：(1)由124A BBE,知24ABBAO，从而(2)(4)8AE BEE，或1(2)(4)8AEBEE，故2AE可逆，且11(2)(4)8AEBE.(2)由(1)知，128(4)AEBE，而11320(4)120002BE1/41/401/83/80001/2，故020110002A.十二、（本题满分十二、（本题满分 6 分）分）【同数学一 第九题】幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】，信受奉行，必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 2002 年 第 16 页 数 学（三）数 学（三）一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分.)(1)设常数12a，则21limln(1 2)nnnnana1.1 2a(2)交换积分次序：111422104(,)(,)yyydyf x y dxdyf x y dx2120(,)xxdxf x y dy.(3)设三阶矩阵122212304A，三维列向量(,1,1)Ta，已知A与线性相关，则a 1(4)设随机变量X和Y的联合概率分布为则2X和2Y的协方差2cov(,)XY0.02.(5)设总体X的概率密度为()(,)0 xexf xx，而12,nX XX是来自总体X的简单随机样本，则未知参数的矩估计量为111niiXn.（注：答1X 者也对）.二、选择题二、选择题(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分.)(1)设函数()f x在闭区间,a b上有定义，在开区间(,)a b内可导，则(B)(A)当()()0f a f b 时，存在(,)a b，使()0f(B)对任何(,)a b，有lim()()0 xf xf(C)当()()f af b时，存在(,)a b，使()0f(D)存在(,)a b，使()()()()f bf afba Y X-10 1 0 0.07 0.18 0.15 1 0.08 0.32 0.20 幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】，信受奉行，必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 2002 年 第 17 页(2)设幂级数1nnna x与1nnnb x的收敛半径分别为53与13，则幂级数221nnnnaxb的收敛半径为(A)(A)5(B)53(C)13(D)15(3)设A是m n矩阵，B是n m矩阵，则线性方程组()AB xO(D)(A)当nm时仅有零解(B)当nm时必有非零解(C)当mn时仅有零解(D)当mn时必有非零解(4)设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量是A的属于特征值的特征向量，则矩阵1()TP AP属于特征值的特征向量是(B)(A)1P(B)TP(C)P(D)1()TP(5)设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则(C)(A)XY服从正态分布(B)22XY服从2分布(C)2X和2Y都服从2分布(D)22XY服从F分布.三、三、(本题满分本题满分 5 分分)求极限2000arctan(1)lim(1 cos)xuxt dt duxx.解法 1：解法 1：2000arctan(1)lim1 cos)xuxt dt duxx 200arctan(1)lim1 cossinxxt dtxxx202 arctan(1)lim2sincosxxxxxx20012limarctan(1)limsin2cosxxxxxx124 36.解法解法 2：2000arctan(1)lim(1 cos)xuxt dt duxx 20030arctan(1)2limxuxt dt dux 2020arctan(1)2lim3xxt dtx202 arctan(1)2lim6xxxx23 46.四、（本题满分四、（本题满分 7 分）分）设函数(,)uf x y z有连续偏导数，且(,)zz x y由方程xyzxeyeze所确定，求du.解法解法 1：设(,)xyzF x y zxeyeze，则 幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】，信受奉行，必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 2002 年 第 18 页(1)xxFxe，(1)yyFye，(1)zzFze.故11x zxzFzxexFz，11yy zzFzyeyFz .而11x zxzxzuzxffffexxz，11y zyzyzuzyffffeyyz，所以uududxdyxy1111x zy zxzyzxyffedxffedyzz.解法解法 2：在xyzxeyeze两边微分，得xxyyzze dxxe dx e dyye dye dzze dz，故(1)(1)(1)xyzx e dxy e dydzz e.由(,)uf x y z，得xyzduf dxf dyf dz，故1111x zy zxzyzxyduffedxffedyzz.五、（本题满分五、（本题满分 6 分）分）设2(sin)sinxfxx，求()1xf x dxx.解：解：令2sinux，则有sin xu，arcsinxu，arcsin()xf xx.于是()1xf x dxxarcsin1xdxxarcsin(1)1xdxx2 arcsin1xdx 12 1arcsin211xxxdxx 2 1arcsin2xxxC.六、（本题满分六、（本题满分 7 分）分）设1D是由抛物线22yx和直线,2xa x及0y 所围成的平面区域；2D是由抛物线22yx和直线0,yxa所围成的平面区域，其中02a.(1)试求1D绕 x 轴旋转而成的旋转体体积1V；2D绕 y 轴旋转而成的旋转体体积2V；(2)问当a为何值时，12VV取得最大值？试求此最大值.解：解：(1)22 2514(2)(32)5aVxdxa，幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】，信受奉行，必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 2002 年 第 19 页 22222022ayVaady442 aa4a.(2)设54124(32)5VVVaa，由34(1)0Vaa，得区间(0,2)内的唯一驻点1a.当01a时，0V；当1a 时，0V，因此1a 是极大值点即最大值点.此时12VV取得最大值，等于1295.七、（本题满分七、（本题满分 7 分）分）【同数学一 第七题】八、（本题满分八、（本题满分 6 分）分）设函数()f x，()g x在,a b上连续，且()0g x，利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点,a b，使()()()()bbaaf x g x dxfg x dx 证明：证明：因为()f x，()g x在,a b上连续，且()0g x，由最值定理，知()f x在,a b 上有最大值M和最小值m，即()mf xM，故()()()()mg xf x g xMg x.()()()()bbbaaamg x dxf x g x dxMg x dx，()()()babaf x g x dxmMg x dx由介值定理知，在,a b，使()()()()babaf x g x dxfg x dx，即()()()()bbaaf x g x dxfg x dx九、（本题满分九、（本题满分 8 分）分）设齐次线性方程组123123123000nnnaxbxbxbxbxaxbxbxbxbxbxax，其中0,0,2abn，试讨论,a b为何值时，方程组仅有零解，有无穷多解？在有无穷多解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解.解：解：方程组的系数行列式1(1)()nabbbbabbAanb abbbabbbba，幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】，信受奉行，必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 2002 年 第 20 页(1)当ab且(1)an b时，方程组仅有零解.(2)当ab时，对系数矩阵A做行初等变换，有111100000000aaaaaaaaAaaaa原方程组的同解方程组为120nxxx，其基础解系为1(1,1,0,0)T，2(1,0,1,0)T，1(1,0,0,1)Tn.方程组的全部解是112211nnxccc(121,nc cc为任意常数).(3)当(1)an b时，对系数矩阵A做行初等变换，有(1)(1)(1)(1)n bbbbbbn bbbbAbbn bbbbbbbn b 10001111110100111111001011111100011111100000nnnn原方程组的同解方程组为121nnnnxxxxxx，其基础解系为(1,1,1)T，方程组的全部解是xc(c为任意常数).十、（本题满分十、（本题满分 8 分）分）设A为 3 阶实对称矩阵，且满足条件22AAO，已知A的秩()2r A，(1)求A的全部特征值；(2)当k为何值时，矩阵AkE为正定矩阵，其中E为 3 阶单位矩阵.解法解法 1：(1)设为A的一个特征值，对应得特征向量为，则,(0)A，22A.于是22(2)(2)AA，由条件22AAO推知2(2)0，幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】，信受奉行，必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 2002 年 第 21 页 又由于0，故有220，解得2,0.因为实对称矩阵A必可对角化，且()2r A，所以220A.因此，矩阵的全部特征值为1232,0.(2)矩阵AkE仍为实对称矩阵，由(1)知，AkE的全部特征值为2,2,kk k.于是，当2k 时，矩阵AkE的全部特征值大于零，因此，矩阵AkE为正定矩阵.解法解法 2：(1)同解法 1.(2)实对称矩阵必可对角化，故存在可逆矩阵P，使得1P AP，1AP P.于是111()A kEP PkPPPkE P，所以AkEkE而22kkEkk，kE为正定矩阵，只需其顺序主子式均大于 0，即k满足20k，2(2)0k，2(2)0kk.因此，当2k 时，矩阵AkE为正定矩阵.十一、（本题满分十一、（本题满分 8 分）分）假设随机变量U在区间 2,2上服从均匀分布，随机变量 1,1,1,1;UXU ，1,11,1UYU，试求：(1)X和Y的联合概率分布；(2)()D XY.解：解：(1)随机向量(,)X Y有四个可能值：(1,1),(1,1),(1,1),(1,1).11,11,14P XYP UU；1,11,10P XYP UU ；11,11,12P XYP UU；11,11,14P XYP UU 于是，得X和Y的联合概率分布为(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(,)1110424X Y.(2)XY和2()XY的概率分布相应为202111424XY，204()1122XY.由此可见22()044E XY；2()()2D XYE XY.幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】，信受奉行，必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 2002 年 第 22 页 十二、（本题满分十二、（本题满分 8 分）分）假设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布，平均无故障工作的时间EX为 5 小时，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作 2 小时便关机.试求 该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数()F y.解：解：设X的分布函数为，由于15EX，可见15.显然min,2YX.对于0,()0yF y；对于2,()1yF y.设02y，有()F yP Yymin(,2)PXyP Xy51ye.幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】，信受奉行，必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 2002 年 第