1997 .pdf

1997 年 第 1 页 1997 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准数学试题参考解答及评分标准 数 学（试卷一）数 学（试卷一）一、填空题：一、填空题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分)(1)23)1ln()cos1(1cossin3lim20 xxxxxx.(2)设幂级数0nnnxa的收敛半径为 3,则幂级数11)1(nnnxna收敛区间为2,4.(3)螺线e在点2,(,)2e 处的切线的直角坐标方程为2eyx.(4)设BtA,11334221为三阶非零矩阵，且ABO，则3t.(5)袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个是黄球，30 个是白球，今有两人依随机从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是25.二、选择题：二、选择题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分)(1)二元函数)0,0(),(,00,0)(,),(22yxyxyxxyyxf在点(0,0)处(C)(A)连续,偏导数存在.(B)连续,偏导数不存在.(C)不连续,偏导数存在.(D)不连续,偏导数不存在.(2)设在,a b上0)(,0)(,0)(xfxfxf，令1()baSf x dx，2()()Sf b ba,31()()()2Sf af bba，则（B）(A)321SSS (B)312SSS (C)213SSS (D)132SSS(3)设 F(x)=2sinsinxtxetdt,则 F(x)（A）（A）为正常数（B）为负常数（C）恒为零（D）不为常数幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】，信受奉行，必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 1997 年 第 2 页(4)设3213213211,cccbbbaaa，则三条直线1112220,0a x b yca x b yc,3330a x b yc（其中220,1,2,3iiabi）交于一点的充要条件是(D)(A)3,2,1线性相关(B)3,2,1线性无关(C)秩 r(3,2,1)=r(21,)秩(D)3,2,1线性相关,2,1线性无关.(5)设两个相互独立的随机变量X和Y方差分别为4和2,则随机变量YX23的方差是(D)(A)8(B)16(C)28(D)44三、三、(本题共本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 15 分分)(1)计算dVyxI22,其中为平面曲线022xzy饶z轴旋转一周形成曲面与平面8z所围成的区域.解一：解一：22482002rIdrdrr dz3 分 243010242(8)23rrdr.5 分 解二：解二：2282202()xyzIdzxydxdy8222000zdzdrrdr3 分 102435 分(2)计算曲线积分Cdzyxdyzxdxyz)()()(,其中C是曲线2122zyxyx,从z轴正向往z轴负向看,C的方向是顺时针的.解一：解一：令cos,sinxy，则22cos sin.zxy 2 分 于是()()()CIzy dxxz dyxy dz 022(sincos)2cos21()d 022(cossin)sin22 .5 分 解二：解二：设S是平面2xyz上以 C 为边界的有限部分.其法向量与z轴正向的夹角为钝角.xyD为S在 XOY 平面上的投影区域.记)()()Fzy ixjkzxy，则rotF i jk xyzzyxzxy2k.2 分 幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】，信受奉行，必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 1997 年 第 3 页 利用斯托克斯公式知()222xyCSSDrotdSF dlFdxdydxdy .5 分(3)在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的，设该人群的总人数为N，在0t时刻已掌握新技术人数为0 x，在任意时刻t已掌握新技术的人数为)(tx（将)(tx视为连续可微变量），其变化与已掌握新技术人数未掌握新技术人数之积成正比，比例常数0k，求)(tx.解：解：由题设，有00()|xdxkx Nxdtxx2 分 由方程，得()dxkdtx Nx，积分后，得1kNtkNtNcexce，其中C为任意常数.4 分 代入初始条件，得000kNtkNtNx exNxx e.5 分 四、四、(本题共本题共 2 小题，第一小题小题，第一小题 6 分，第二小题分，第二小题 7 分，满分分，满分 13 分分)(1)设直线030:zayxbyxl在平面上，而平面与曲面22yxz相切于点5,2,1,求ba,之值.解：解：在点(1,2,5)处曲面的法向量(2,4,1)n，于是切平面方程为 2(1)4(2)(5)0 xyz，即2450 xyz.（*）3 分 由0:30 xybLxayz，即,3()yxb zxaxb ，代入方程（*），得244350 xxbxaxab.因而有50,420abab.由此解得5,2ab 6 分(2)设函数)(uf具有二阶连续导数,而)sin(yefzx满足方程zeyzxzx22222，求)(uf.解：解：()sin,()cosxxzzf u eyf u eyxy.2 分 2222()sin()sinxxzf u eyfu eyx，2222()sin()cosxxzf u eyfu eyy，4 分 代入原方程，得()()0fuf u.由此解得1212()(uuf uCeC eC C其中,为任意常数）.7 分 五、五、(本题满分本题满分 6 分分)幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】，信受奉行，必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 1997 年 第 4 页 设)(xf连续，100)(lim,)()(Axxfdtxtfxx且(A 为常数)，求)(x并讨论)(x在0 x处的连续性.解：解：由题设，知(0)0,(0)0f.令uxt，得0()()(0)xf u duxxx，1 分 从而02()()()(0)xxf xf u duxxx.3 分 由导数定义有0200()()(0)limlim22xxxf u duf xAxx.4 分 由于0200()()lim()limxxxxf xf u duxx0200()()limlimxxf u duf xxx(0)22AAA.从而知()0 xx在处连续.6 分 六、六、(本题满分本题满分 8 分分)设11112,(),(1,2,)2nnnaaana，证明：(1)nnalim存在；(2)级数111nnnaa收敛.证：证：(1)因111112nnnnnaaaaa.2 分 21111022nnnnnnnaaaaaaa.故 na递减且有下界，所以limnna存在.4 分(2)由（1）知111101nnnnnnnaaaaaaa.6 分 记1111()nnkknkSaaaa，因1limnna存在，故limnnS存在，所以级数11()nnnaa收敛.因此由比较审敛法知，级数111nnnaa收敛.8 分 七、七、(本题共本题共 2 小题，第一小题小题，第一小题 5 分，第二小题分，第二小题 6 分，满分分，满分 11 分分)(1)设B是秩为2的45矩阵,TTT)9,8,1,5(,)1,4,1,1(,)3,2,1,1(321是齐次幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】，信受奉行，必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 1997 年 第 5 页 方程组0Bx的解向量,求0Bx的解空间的一个标准正交基.解：解：因秩()2r B，故解空间的维数为 422.又12,线性无关，故12,是解空间的基.2 分 取11(1,1,2,3),T2122111(,)1(1,1,4,1)(1,1,2,3)(,)3TT 4 2 10(,2)3 3 3T 4 分 故11(1,1,2,3),15T21(2,1,5,3)39T即是所求的一个标准正交基5 分(2)已知111是矩阵2135212baA的一个特征向量.(I)试确定参数ba,及特征向量所对应的特征值；(II)问A能否相似于对角阵？说明理由.解：解：(I)由21215310121()IAab，即2 120530120ab ，解得3,0,1ab .3 分(II)由212533102A32125331|(1)02IA，知1 是 A 的三重特征值.4 分 但秩312()5232101rIAr，从而1 对应的线性无关特征向量只有一个，故 A 不能相似于对角阵.6 分 八八(本题满分本题满分 5 分分)设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为 B.(1)证明 B 可逆；(2)求 AB-1.解：解：(1)因|0A 及|0BA，故 B 可逆.2 分(2)记ijE是由 n 阶单位矩阵的第 i 行和第 j 列对换后所得到的初等矩阵，则ijBE A.3 分 幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】，信受奉行，必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 1997 年 第 6 页 因此11111()ijijijijABA E AAA EEE.5 分 九、九、(本题满分本题满分 7 分分)从学校趁汽车到火车站的途中有 3 个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是52,设途中遇到红灯的次数,求随机变量X的分布律.分布函数和数学期望.解：解：X服从二项分布2(3,)5b，X的可能取值为 0，1，2，3.1 分 从而32270(1)5125P X，12322541(1)55125P XC，22322362()(1)55125P XC，3283()5125P X.即X的分布律为 X0 1 2 3 P 27125541253612581253 分 因此，X的分布函数为()F xP Xx0,027,0112581,12125117,231251,3xxxxx.5 分 X的数学期望为26()355E X .7 分（或27543686()01231251251251255E X ）十、十、(本题满分本题满分 5 分分)设总体 X 的概率密度为他其010)1()(xxxf，其中1是未知参数,12,nX XX是来自总体的一个容量为n的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然 估计法求的估计量.幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】，信受奉行，必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 1997 年 第 7 页 解：解：总体X的数学期望为1101()()(1)2E Xxf x dxxdx，1 分 记11niiXXn为样本均值.令12X，解得未知参数的矩估计量为211XX.2 分 设12,nx xx是相应于样本12,nX XX的样本值，则似然函数为 1(1)(),01(1,2,)0,nniiixxinL其它.3 分 当01(1,2,)ixin时，0L.且11lnlnln(1)ln,ln1nniiiidLnLnxxd，令ln0dLd，4 分 解得的极大似然估计值为1llnniinx ，从而得的极大似然估计量为1llnninX 5 分 幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】，信受奉行，必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 1997 年 第 8 页 数 学（试卷二）数 学（试卷二）一、填空题：一、填空题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分)(1)已知00)(cos)(2xaxxxfx在0 x 处连续，则21ea.(2)设21ln1xyx，则 0 xy32.(3)4(xxdx=2arcsin2xc(或2arcsin2xc).(4)0284xxdx=8.(5)已知向量组123(1,2,1,1),(2,0,0),(0,4,5,2)t的秩为2，则t 3.二、选择题：二、选择题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分)(1)设0 x 时，tgxxee与nx是同阶无穷小，则n为 （C）(A)1(B)2(C)3(D)4(2)【同数学一 第二、（2）题】（选项的顺序有差异）(3)已知函数 yf x对一切x满足xexfxxf x 1)(3)(2，若)0(0)(00 xxf，则(B)(A)0f x是 xf的极大值(B)0f x是 xf的极小值(C)00(,()xf x是曲线 yf x的拐点(D)0f x不是 xf的极值，00(,()xf x也不是曲线 yf x的拐点.(4)【同数学一 第二、（2）题】(5)设20()20 xxg xxx，20()0 xxf xxx，则)(xfg(D)(A)22020 xxxx(B)22020 xxxx(C)22020 xxxx(D)22020 xxxx 幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】，信受奉行，必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 1997 年 第 9 页 三、三、(本题共本题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 30 分分)(1)求极限xxxxxxsin114lim22解：解：原式22232limsin(411)xxxxxxxx=3 分 222123lim1sin111141xxxxxxxx.5 分(2)设()yy x由522tetyytarctgx所确定，求dxdy.解：解：211dxdtt,1 分 由2220tdydyytyedtdt得22(1)tdyyedtty.4 分 因而2222()(1)2(1)12(1)1ttyedyyettydxtyt.5 分(3)计算dxtgxex22)1(解：解：原式222sec2tanxxexdxexdx=1 分 222tan2tan2tanxxxexexdxexdx4 分 2tanxexC.5 分(4)求微分方程0)2()23(222dyxyxdxyxyx的通解.解：解：令yux，则2222232321 2dyduyxyxuuxudxdxxxyu，3 分 即23(1)21duuuxdxu.解之得231uuCx，即221223()yxyxCxxyx yxC或.5 分(5)已知22123,xxxxxxxyxeeyxeeyxeee是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程.幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】，信受奉行，必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 1997 年 第 10 页 解一：解一：由题设知，2xxee与是相应齐次方程两个线性无关的解，且xxe是非齐次方程的一个特解，故此方程是2()yyyf x.3 分 将xyxe代入上式，得()()()2xxxf xxexexe222xxxxxxxexeexexeexe.因此所求方程为22xxyyyexe.5 分 解二：解二：由题设知，2xxee与是相应齐次方程两个线性无关的解，且xxe是非齐次方程的一个特解，故212xxxyxeCeC e是所求方程的通解，由2122xxxxyexeCeC e，21224xxxxyexeCeC e,3 分 消去12,C C得所求方程为22xxyyyexe.5 分(6)已知 A=100110111，且2AABI，其中I是三阶单位矩阵，求矩阵B.解：解：由2()AABA A BI，及|10A ，知1ABA，即1BAA.2 分 又1112011001A.4 分 从而112021011000001110110010001B.5 分 四、四、(本题满分本题满分 8 分分)取何值时，方程组1231231232124551xxxxxxxxx 无解？有唯一解或有无穷解？并在有无穷解时写出方程组的通解.解一：解一：原方程组的系数行列式 2211154(1)(54)455，1 分 故当1且45 时，方程组有唯一解.3 分 幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】，信受奉行，必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 1997 年 第 11 页 当1时，原方程组为1231231232124551xxxxxxxxx，对其增广矩阵施行行初等变换，有 211 10333111 2111 21112011 145510999000 0 .此时，原方程组有无穷多解，其通解为1231,1,(xxk kxk 为任意常数）.或123(,)(1,1,0)(0,1,1)TTTx x xk（k为任意常数）6 分 当45 时，原方程组的同解方程组为12312312310455455104551xxxxxxxxx ，对其增广矩阵施行行初等变换：1045 51045 5455104551045510009 ，由此可知当45 时，原方程组无解.8 分 解二：解二：对原方程组的增广矩阵施行行初等变换：21 121 121111 2210 3210 3455 1655065400 9 2 分 于是，当45 时，原方程组无解.4 分 当1且45 时，方程组有唯一解.5 分 当1时，原方程组有无穷多解，其通解为1231,1,(xxk kxk 为任意常数）.或123(,)(1,1,0)(0,1,1)TTTx x xk（k为任意常数）8 分 五、五、(本题满分本题满分 8 分分)设曲线L的极坐标方程为()rr,(,)M r为 L 上任一点，0(2,0)M为L上一定点.若幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】，信受奉行，必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 1997 年 第 12 页 极径0,OMOM与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于L上0,M M两点间弧长值的一半，求曲线L的方程.解：解：由已知条件得222001122r drr d.3 分 两边对求导得222rrr，即21rr r，（*）5 分 从而21drdr r.因为21arcsin1drCrr r，所以1arcsinCr.由条件(0)2r，知6C，故所求曲线 L 的方程为sin()16r，即csc()6r，8 分 亦即直线32xy.六、六、(本题满分本题满分 8 分分)设函数()f x在闭区间0，1上连续，在开区间（0，1）内大于零，并满足23()()2axfxf xxx2(a为常数)，又曲线()yf x与1,0 xy所围成的图形 S 的面积值为 2，求函数()yf x.并问a为何值时，图形 S 绕 x 轴旋转一周所得的旋转 体的体积最小.解：解：由题设知，当0 x 时，2()()32xfxf xax，即()32df xadxx，据此并由()f x在点0 x 处的连续性，得23(),0,12f xaxCx x.2 分 又由已知条件得112320031112()()22222CaxCx dxaxxaC.即4Ca.因此23()(4)2f xaxa x.4 分 故旋转体的体积为120()()V afx dx21203(4)2axa xdx211163033aa.6 分 令11()0153V aa，得5a .又因1()015Va.故5a 时，旋转体体积最小.8 分 幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】，信受奉行，必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 1997 年 第 13 页 七、七、(本题满分本题满分 8 分分)已知)(xf连续，且0()lim2xf xx，设10()()xf xt dt，求)(x并讨论)(x在0 x处的连续性.解：解：【参见数学一 第五题，只需把其中的A视作本题的 2 即可】八、八、(本题满分本题满分 8 分分)就k的不同取值情况，确定方程sin2xxk在开区间(0,)2内根的个数，并证明你的结论.解：解：设()sin2f xxx，则()2f x在0,上连续.由()1cos02fxx，解得()2f x在(0,内的唯一驻点02arccosx 2 分 由于当0(0,)xx时，()0fx；当0(,)2xx，()0fx；所以0()f xx在0,上单调减少，在0,2x上单独增加 因此0 x是()2f x在(0,内的唯一最小值点，最小值为0000()sin2yf xxx.又因(0)()02ff，故在)2(0,内()f x的取值范围为0,0)y.4 分 因此，当0,0)ky，即00kyk或时，原方程在)2(0,内没有根.当0ky，原方程在)2(0,内有唯一根0 x；当0(,0)ky时，原方程在00)(,)2xx(0,或内各恰有一根，即原方程在)2(0,内恰有两个不同的根.8 分 幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】，信受奉行，必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 1997 年 第 14 页 数 学（试卷三）数 学（试卷三）一、填空题：一、填空题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分)(1)设)(lnxfexfy,其中 f 可微，则 dy=()1(ln)()(ln)f xefxfx fx dxx(2)若12201()1()1f xxf x dxx，则 10)(dxxf=4(3)差分方程12tttyyt的通解为(2)2ttyct.(4)若二次型322123222132122),(xxtxxxxxxxxf正定，则t的取值范围是22t.(5)设随机变量 X 和 Y 相互独立且都服从正态分布2(0,3)N，而129,XXX和 129,Y YY分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本，则统计量 U=1292219XXXYY服从 t 分布；参数为参数为 9 .二、选择题：二、选择题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分)(1)设561 cos20()sin,)56xxxf xt dt g x，则当 x0 时，()f x是()g x的 （B）(A)低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但非等价无穷小.(2)若()()fxf x(x)，且在,0内()0fx，()0fx，则()f x在0,内(C)(A)()0,()0fxfx（B）()0,()0fxfx(C)0)(,0)(xfxf（D）0)(,0)(xfxf(3)设向量组321,线性无关，则下列向量组线性无关的是(C)(A)133221,(B)32132212,(C)1332213,32,2(D)321321321553,2232,(4)设 A,B 为同阶可逆矩阵，则(D)(A)AB=BA(B)存在可逆矩阵 P，使 P1AP=B(C)存在可逆矩阵 C，使 CTAC=B(D)存在可逆矩阵 P 和 Q，使 PAQ=B幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】，信受奉行，必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 1997 年 第 15 页(5)设两个随机变量 X 与 Y 相互独立同分布，且 PX=1=PY=1=21,PX=1=PY=1=21,则下列各式中成立的是 (A)(A)PX=Y=21(B)PX=Y=1(C)PX+Y=0=14(D)PXY=1=14三、三、(本题满分本题满分 6 分分)在经济学中，称函数xxxLKAxQ1)1()(为固定替代弹性生产函数，而称函数1LAKQ为 Cobb-Douglas 生产函数（简称 C-D 生产函数）.试证明：当0 x时，固定替代弹性生产函数变为 C-D 生产函数，即有)(lim0 xQxQ证：证：因为1ln()lnln(1)xxQ xAKLx，1 分 而且00ln(1)ln(1)lnlimlim(1)xxxxxxxxKLKKLLxKL1ln(1)lnln()KLK L，4 分 所以110limln()lnln()ln()xQ xAK LAK L，5 分 于是10lim()xQ xAK LQ.6 分 四、四、(本题满分本题满分 5 分分)设(,)uf x y z有连续偏导数，(,)yy x z和(,)zz x y分别由方程0 xyey和0zexz所确定，求dxdu.解：解：duff dyf dzdxxy dxz dx.(*)2 分 由0 xyey，得2()0,11xyxyxydydydyyeyeyxdxdxdxxexy.3 分 由0zexz，得0,zzdzdzdzzzezxdxdxdxexxzx.4 分 代入（*）式，得21dufyfzfdxxxy yxzx z.5 分 五、五、(本题满分本题满分 6 分分)一商家销售某种商品的价格满足关系70.2px(万元/吨)，x为销售量(单位：吨)，商品的成本函数是31Cx(万元).幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】，信受奉行，必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 1997 年 第 16 页（1）若销售一吨商品，政府要征税t(万元)，求该商家获最大利润时的销售量；（2）t为何值时，政府税收总额最大？.解：解：(1)设T为总税额，则Ttx；商品销售总收入为2(7 0.2)70.2Rpxx xxx.利润函数为2270.2310.2(4)1R C Txxxtxxt x.2 分 令0ddx，即0.440 xt，得45(4)0.42txt.由于220.40ddx，因此5(4)2xt即为利润最大时的销售量；3 分(2)将5(4)2xt代入Ttx，得25(4)51022tTttt.由1050dTtdx，得唯一驻点2t；5 分 由于2250d Tdx ,可见当2t 时T有极大值，即最大值，此时政府税收总额最大.6 分 六、六、(本题满分本题满分 6 分分)设函数()f x在0,)上连续、单调不减，且(0)0f.试证：函数()F x 01()000 xnt f t dtxxx若若在0,)上连续且单调不减（其中0n）.证一：证一：显然当0 x 时，()F x连续，又 0000()lim()limlim()0(0)xnnxxxt f t dtF xx f xFx，故()F x在0,)上连续.2 分 对于(0,)x，有11022()()()()()xnnnnxf xt f t dtxf xfxF xxx，4 分()()nnx f xfx.其中0 x由()f x在0,)上单调不减知()0F x，故()F x在0,)上单调不减.6 分 证二：证二：连续性的证明同上.由于 102()()()xnnxf xt f t dtF xx4 分 00022()()()()0 xxxnnnnx f x dtt f t dtx f xt f tdtxx，幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】，信受奉行，必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 1997 年 第 17 页 可见()F x在0,)上单调不减.6 分 七、七、(本题满分本题满分 6 分分)从点)0,1(1P作x轴的垂线，交抛物线2xy 于点)1,1(1Q；再从1Q作这条抛物线的切 线与x轴交于2P，然后又从2P作x轴的垂线，交抛物线于点2Q，依次重复上述过程得到 一系列的点1P，1Q；2P，2Q；nP，nQ；（1）求nOP；（2）求级数11PQ22Q P nnQ P 的和.其中(1)n n 为自然数，而21MM表示点 M1与 M2之间的距离.解：解：(1)由2yx，得2yx，对于任意(01)aa，抛物线2yx在点2(,)a a处的切线方程为22()yaa xa.1 分 且该切线与x轴的交点为(,0)2a，故由11OP，可见 211122OPOP，3221122OPOP，112nnOP.3 分(2)由于2221()()2nnnnQ POP 4 分 可见222112114()21()3nnnnnQ P.6 分 八、八、(本题满分本题满分 6 分分)设函数)(tf在0,)上连续，且满足方程dxdyyxfetftyxt22224224)21()(,求)(tf.解：解：显然(0)1f，由于222222220004111()()2()222ttxytfxydxdydfr rdrfr rdr，可见22401()2()2ttf tefr rdr，2 分 于是24()88()tf ttetf t.3 分 解得2288424()(8)(4)tdttdtttf tteedtC etC e，5 分 代入(0)1f，得1C.因此224()(41)tf tte.6 分 幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】，信受奉行，必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 1997 年 第 18 页 九、九、(本题满分本题满分 6 分分)设 A 为 n 阶非奇异矩阵，为 n 维列向量，b 为常量.记分块矩阵 P=|0AAIT，Q=bAT，其中 A*是矩阵 A 的伴随矩阵，I 为 n 阶单位矩阵.(1)计算并化简 PQ；(2)证明：矩阵 Q 可逆的充分必要条件是bAT1.解：解：(1)因为*|AAA AA I，故 0|TTTTTIAAaAAbA AA aA ab APQ10|()TAaAbA a3 分(2)由(1)可得21|()|TAbPaQA；4 分 而|PQP Q，且|0PA，故1|()|TA bQA a.5 分 于是|0Q 的充要条件为1TA ab，即Q可逆的充分必要条件是1TA ab.6 分 十、十、(本题满分本题满分 10 分分)设三阶实对称矩阵 A 的特征值是 1,2,3；矩阵 A 的属于特征值 1，2 的特征向量分别是 T)1,1,1(1,T)12,1(2(1)求 A 的属于特征值 3 的特征向量；(2)求矩阵 A.解：解：设 A 的属于特征值 3 的特征向量为3123(,)Tx x x，1 分 因为对于实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量相互正交，所以132300TTaa和，即123,x x x是齐次线性方程组123123020 xxxxxx的非零解.解上列方程组，得其基础解系为(1,0,1)T.3 分 因此 A 的属于特征值 3 的特征向量为3(1,0,1)Tk（k为任意非零常数）.5 分(2)令矩阵111120111P，6 分 则有1100020003P AP，即1100020003APP.7 分 幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】，信受奉行，必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 1997 年 第 19 页 由于11/31/31/31/61/31/61/201/2P，9 分 所以110013251020210260035213APP.10 分 十一、十一、(本题满分本题满分 7 分分)假设随机变量 X 的绝对值不大于 1；1P X 81,1P X 14；在事件1X1出现的条件下，X 在(1,1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比.试求 X 的分布函数()F xP Xx.解：解：由条件可知，当1x 时，1()0(1)8F xF；1 分 115 11 1848PX .2 分 又易见，在X的值属于(1,1)的条件下，事件1(11)Xxx 的条件概率为1 1|112xPXxX 3 分 于是，对于11x，有 1 1,11PXxPXxX 5155 11 1|118216xxPXPXxX ，5 分15557()1 181616xxF xP XPXx，6 分 而对于1x，有()1F x.7 分 因此()F x 0,15+7,1161,1xxxx 若若-1若.十二、十二、(本题满分本题满分 6 分分)游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第 5 分钟、25 分钟和 55 分钟从底层起行.假设一游客在早八点的第 X 分钟到达底层侯梯处，且 X 在0,60上均匀分布，求该游客等候时间的数学期望.幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】，信受奉行，必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 1997 年 第 20 页 解：解：已知X在0,60上服从均匀分布，其密度为()f x 1,060600 x若，其 他.1 分 设 Y 是游客等候电梯的时间（单位：分），则 50525,25()55,55605,60XXXXYg XXXXX，若若5若25若55，3 分 因此6001()()()()60EYEg Xg xf x dxg x dx52555600525551(5)(25)(55)(65)60 x dxx dxx dxx dx112.520045037.511.6760.6 分 十三、十三、(本题满分本题满分 6 分分)两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布；首先开动其 中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开动.试求两台记录仪无故障工作的总时间 T 的 概率密度()f t、数学期望和方差.解：解：以12XX和表示先后开动的记录仪无故障工作的时间，则12TXX+.由条件知(1,2)iX i 的概率密度为55,0()00 xiexp xx若，若，且12XX和相互独立.1 分 故由卷积公式，对于0t，有 55()20()()()25txt xf tp x p tx dxeedx5502525tttedxte.3 分 而当0t 时显然有()0f t，于是，得525,0()00ttetf tt若，若，4 分 由iX服从参数为5的指数分布，知11;(1,2)525iEXDxi.因此，有12122()5ETE XXEXEX.5 分 又12XX和独立，可见12122()25DTD XXDXDX.6 分 幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】，信受奉行，必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 1997 年 第 21 页 数 学（试卷四）数 学（试卷四）一、填空题：一、填空题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分)(1)【同数学三 第一（1）题】(2)设13201()()1f xxf x dxx，则10()f x dx=3.(3)设 n 阶矩阵 A=01.11110.111.11.01111.10111.110，则|A|=(-1)n-1(n-1).(4)设 A，B 是任意两个随机事件，则)BA()BA()BA()BA(P=0.(5)设随机变量 X 服从参数为(2,p)的二项分布，随机变量 Y 服从参数为（3,p）的二项分布.若 PX1=95，则 PY1=1927.二、选择题：二、选择题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分)(1)设()f x,)(x在点0 x 的某邻域内连续，且当 x0 时，()f x是)(x的高阶无穷小，则当 x0 时，xtdttf0sin)(是 xdttt0)(的(B)(A)低阶无穷小(B)高阶无穷小(C)同阶但不等价的无穷小(D)等价无穷小(2)【同数学三 第二（2）题】(3)【同数学三 第二（3）题】(4)非齐次线性方程组 AX=b 中未知量个数为 n,方程个数为 m,系数矩阵 A 的秩为 r,则 (A)(A)r=m 时，方程组 AX=b 有解(B)r=n 时，方程组 AX=b 有唯一解(C)m=n 时，方程组 AX=b 有唯一解 (D)r 0 常数),则对任意常数 c,必有 (D)(A)E(X-c)2=EX2-c2(B)E(X-c)2=E(X-)2(C)E(X-c)2 E(X-)2(D)E(X-c)2 E(X-)2幸福考研QQ2570370545关注微信公众号【考研路上的幸福哥】，信受奉行，必有惊喜微信公众号【考研路上的幸福哥】干货最多的考研公众平台 1997 年 第 22 页 三、三、(本题满分本题满分 6 分分)解：解：原式2220(1)ln(1)limxaxa xaxx1 分 202ln(1)(1)lim2xaa xaxaaxx4 分 322022ln(1)1lim2xa xa