1991考研数三真题及解析 .pdf

微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台19911991 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题一、填空题(本题满分本题满分 1515 分分,每小题每小题 3 3 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.).)(1)设sin,xyze则dz _.(2)设曲线 3f xxax与 2g xbxc都通过点1 0,且在点1 0,有公共切线,则a _,b _,c _.(3)设 xf xxe,则 nfx在点x _处取极小值_.(4)设A和B为可逆矩阵,00AXB为分块矩阵,则1X_.(5)设随机变量X的分布函数为0,1,0.4,11,()0.8,13,1,3.xxF xP Xxxx 则X的概率分布为_.二二、选择题选择题(本题满本题满分分 1 15 5 分分,每小每小题题 3 3 分分.每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内.).)(1)下列各式中正确的是()(A)01lim 11xxx(B)01lim 1xxex(C)1lim 1xxex(D)1lim 1xxex(2)设10(1,2,)nann则下列级数中肯定收敛的是()(A)1nna(B)1(1)nnna(C)1nna(D)21(1)nnna(3)设A为n阶可逆矩阵,是A的一个特征根,则A的伴随矩阵*A的特征根之一是()(A)1nA(B)1A(C)A(D)nA(4)设A和B是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是()微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台(A)A与B不相容(B)A与B相容(C)P ABP A P B(D)P ABP A(5)对于任意两个随机变量X和Y,若()()()E XYE XE Y,则()(A)()()()D XYD XD Y(B)()()()D XYD XD Y(C)X和Y独立(D)X和Y不独立三、三、(本题满分本题满分 5 5 分分)求极限120limxxnxxxeeen,其中n是给定的自然数.四、四、(本题满分本题满分 5 5 分分)计算二重积分DIydxdy,其中D是由x轴,y轴与曲线1xyab所围成的区域,0,0ab.五、五、(本题满分本题满分 5 5 分分)求微分方程22dyxyxydx满足条件2x eye的特解.六、六、(本题满分本题满分 6 6 分分)假设曲线1L：2101yxx、x轴和y轴所围区域被曲线2L：2yax分为面积相等的两部分,其中a是大于零的常数,试确定a的值.七、七、(本题满分本题满分 8 8 分分)某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为1p和2p；销售量分别为1q和2q；需求函数分别为11240 2q.p和22100 05q.p,总成本函数为123540Cqq.试问：厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大？最大利润为多少？八、八、(本题满分本题满分 6 6 分分)试证明函数1()(1)xf xx在区间(0,)内单调增加.九、九、(本题满分本题满分 7 7 分分)设有三维列向量微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台12321110111111,问取何值时,(1)可由123,线性表示,且表达式唯一?(2)可由123,线性表示,且表达式不唯一?(3)不能由123,线性表示?十、十、(本题满分本题满分 6 6 分分)考虑二次型22212312132344224fxxxx xx xx x.问取何值时,f为正定二次型.十一、十一、(本题满分本题满分 6 6 分分)试证明n维列向量组12,n 线性无关的充分必要条件是1112121222120TTTnTTTnTTTnnnnD ,其中Ti表示列向量i的转置,1,2,in.十二、十二、(本题满分本题满分 5 5 分分)一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数.求X的概率分布.十三、十三、(本题满分本题满分 6 6 分分)假设随机变量X和Y在圆域222xyr上服从联合均匀分布.(1)求X和Y的相关系数;(2)问X和Y是否独立?十四、十四、(本题满分本题满分 5 5 分分)设总体X的概率密度为1,0,(;)0,0,aaxaxexp xx其中0是未知参数,0a 是已知常数.试根据来自总体X的简单随机样本微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台12,nXXX,求的最大似然估计量.19911991 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题一、填空题(本题满分本题满分 1515 分分,每小题每小题 3 3 分分.).)(1)【答案】sincosxyexy ydxxdy【解析】方法一方法一：先求出两个偏导数zx和zy,然后再写出全微分dz,sinsinsinsincoscoscoscosxyxyxyxyzexy yyexyxzexy xxexyy,所以sinsincoscosxyxyzzdzdxdyyexydxxexydyxy微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台sincos()xyexy ydxxdy.方法二方法二：利用一阶全微分形式不变性和微分四则运算法则直接计算dz.sinxysinxysinxysinxydzd eed sinxyecos xydxyecos xy ydxxdy.(2)【答案】1a ,1b ,1c【解析】由于曲线 f x与 g x都通过点1 0,则11010fagbc ,又曲线 f x与 g x在点1 0,有公切线,则11fg,即211133122xxfxaagbxb,亦即32ab,解之得1a ,1b ,1c.(3)【答案】1xn；1ne【解析】由高阶导数的莱布尼兹公式 0nnkn kknkuvC uv可知,()0()1(1)2(2)()()()()()nxnxnxnnnxnnnnfxC x eC x eC x eC xe00()xxxxenexn e.对函数 ng xfx求导,并令 0gx,得(1)()(1)0nxgxfxxne,解之得驻点1xn,且()0,(1),()()0,(1),()g xxng xg xxng x 函数严格单调递减函数严格单调递增；故1xn 是函数 ng xfx的极小值点,极小值为()11(1)(1)(1)nnngnfnnn ee .(4)【答案】1100BA【解析】利用分块矩阵,按可逆矩阵定义有12340000XXAEXXBE,微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台由对应元素或块相等,即3412,0,0,.AXEAXBXBXE从A和B均为可逆矩阵知113412,0,0,XAXXXB.故应填1100BA.(5)【答案】x113P Xx0.40.40.2【解析】因为随机变量X的分布函数()F x在各区间上的解析式都与自变量x无关,所以在()F x的连续点,0P Xx,只有在()F x的间断点处X取值的概率才大于零,且()(0)P XxP XxP XxF xF x,则1(1)(1 0)0.4P XFF ,1(1)(1 0)0.80.40.4,P XFF3(3)(30)1 0.80.2.P XFF 因此X的概率分布为x113P Xx0.40.40.2二、选择题二、选择题(本题满分本题满分 1515 分分,每小题每小题 3 3 分分.).)(1)【答案】(A)【解析】由重要极限1lim(1)xxex可知,极限(1)111lim(1)lim1()xxxxexx ,(1)111lim(1)lim(1)xxxxexx.而极限00111lim ln(1)limln(1)ln(1)001lim(1)limxxxxxxxxxxxeeex,令1tx,则微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台01ln(1)1limln(1)limlim01ttxtxxtt洛,所以01limln(1)001lim(1)1xxxxxeex.故选项(A)正确.(2)【答案】(D)【解析】因为2221(1)nnnaan,由211nn收敛及比较判别法可知21(1)nnna绝对收敛.即(D)正确.另外,设1(1,2)2nann,则可知(A)11111122nnnnann,(C)1111212122nnnnann都不正确.设21210,(1,2)4nnaann,则可知(B)不正确.(3)【答案】(B).【解析】由为A的特征值可知,存在非零向量X,使得AXX.两端同时乘以*A,有*()AXA AX,由公式*A AA得到*A XA X.于是*1A XA X.按特征值定义知1A是伴随矩阵*A的特征值.故应选(B).【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵,若存在数及非零的n维列向量X使得AXX成立,则称是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特征向量.(4)【答案】(D)【解析】A BAB,如果AB ,则A B ,即A与B互不相容；如果AB ,则A B ,即A与B相容.由于A、B的任意性,故选项(A)(B)均不正确.任何事件A一定可以表示为两个互不相容事件AB与AB的和.又因AB ,从而ABABA,另外要注意区分独立与互不相容两个概念,不要错误地把A、B互不相容等同于A、B相互独立而错选(C).A,B不相容,P A,P B均不为零,因此0P ABP,P ABP A P B.微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台即(C)不正确.用排除法应选(D).事实上,P ABP AP ABP A.(5)【答案】(B)【解析】由于()()()E XYE X E Y,因此有cov(,)()()()0,()()2cov(,)()()().X YE XYE X E YD XYD XX YD YD XD Y故应选(B).【相关知识点】若两个随机变量X,Y的方差都大于零,则下面四个命题是等价的：1)()()()E XYE X E Y；2)()()()D XYD XD Y；3)cov(,)0X Y；4)X和Y不相关,即X和Y的相关系数0.三、三、(本题满分本题满分 5 5 分分)【解析】方法一方法一：这是1型未定式极限.1220112lnlim00limlimxxnxxxnxxxeeeeeexxnxxnxnxxeeeeen20ln()lnlimxxnxxeeenxe,其中指数上的极限是00型未定式,由洛必达法则,有20ln()lnlimxxnxxeeenx220212(1)1lim22xxnxxxnxxeenenn nneeenn.所以11220limnxxnxxxeeeen.方法二方法二：由于112211xxnxxxnxxxeeeeeenn,微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台记21xxnxeeeyn,则当0 x 时0y,从而1112000limlim(1)lim(1)yxxnxxxyxxxxeeeyyn.而10lim(1)yyye,所以01lim0lim(1)xyyxyxxye.又因200(1)(1)(1)limlimxxnxxxyeeexnx2000111111limlimlim(12)2xxnxxxxeeennnxxxn洛.所以11220limnxxnxxxeeeen.四、四、(本题满分本题满分 5 5 分分)【解析】积分区域D如图阴影部分所示.由1xyab,得21xyba.因此2241212000001122bx aabx aaaDbxIydxdydxydydxydxa.令1xta,有2(1),2(1)xatdxat dt,故422040112(1)22abxbIdxta tdta15621245200()5630ttababttdtab.五、(本题满分本题满分 5 5 分分)【解析】将原方程化为2221ydyxyxydxxyx,由此可见原方程是齐次微分方程.微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台令yux,有,dyduuxdxdx将其代入上式,得21dyduuuxdxdxu,化简得1duxdxu,即dxudux.积分得21ln.2uxC将yux代入上式,得通解222(ln)yxxC.由条件2x eye,即2242(ln)eeeC求得1C.所以222(ln1)yxx所求微分方程的特解.六、(本题满分本题满分 6 6 分分)【解析】先求出曲线1L和2L的交点,然后利用定积分求出平面图形面积1S和2S,如图：由221010yxxyaxa 得111x,aay.a所以1121200(1)SSSydxxdx1301233xx,1122211100111aaSxaxdxa xdx11301233 1aaxxa.又因为12SS,所以22233 1a,即12a,解得3a.七、七、(本题满分本题满分 8 8 分分)【解析】方法方法 1 1：总收入函数为221 1221122240 2100 05Rp qp qp.pp.p,总利润函数为1 122123540LRCp qp qqq221122320 2120 051395p.pp.p.由极值的必要条件,得方程组微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台1122320 40120 10L.p,pL.p,p即1280120p,p.因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当1280120p,p时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为12122211228012080120320 2120 051395605p,pp,pLp.pp.p（）方法方法 2 2：两个市场的价格函数分别为1122120520020pq,pq,总收入函数为1 1221122120520020Rp qp qq qqq,总利润函数为1122121205200203540LRCq qqqqq2211228051602035qqqq.由极值的必要条件,得方程组11122280 10084160400Lq,qq,q.Lq,q因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当1284q,q,即180p,2120p 时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为1284605q,qL.八、八、(本题满分本题满分 6 6 分分)【解析】因为(0,)x,所以1()(1)0 xf xx.1ln(1)1()(1)xxxf xex,两边对x求导,得112ln(1)ln(1)1()1111()ln(1)(1)ln(1)111xxxxxxxfxeexxxxx.微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台令11()ln(1)1g xxx,为证函数()f x为增函数,只需()0fx在(0,)上成立,即()0,(0,)g xx.方法一方法一：利用单调性.由于22211111()ln(1)11(1)(1)1xg xxxxxxx,且(0,)x,故21()0(1)g xxx,所以函数()g x在(0,)上单调减少.又11lim()limln(1)01xxg xxx,于是有()0,(0,)g xx.从而1()(1)()0 xfxg xx,(0,)x,于是函数()f x在(0,)单调增加.方法二方法二：利用拉格朗日中值定理.令11ln(1)ln()ln(1)ln(1)()xxxu xu xxx,所以在区间(,1)x x存在一点,使得1(1)()()(1)()u xu xuxxu,即11ln(1)x.又因为01xx,所以1111xx,所以1111ln(1)1xxx.故对一切(0,)x,有111()(1)ln(1)01xfxxxx.函数()f x在(0,)单调增加.九、九、(本题满分本题满分 7 7 分分)【解析】设112233xxx,将分量代入得到方程组12312321231011xxx,xxx,xxx.对方程组的增广矩阵作初等行变换.微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台第一行分别乘以有1、1加到第二行和第三行上,有2221110111 0111011120,再第二行加到第三行上,所以有2211100300.若0且230,即0且3,则 3r Ar A,方程组有唯一解,即可由123,线性表示且表达式唯一.若0,则 13r Ar A,方程组有无穷多解,可由123,线性表示,且表达式不唯一.若3,则 23r A,r A,方程组无解,从而不能由123,线性表示.【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A是m n矩阵,线性方程组Axb有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵AA b的秩,即是()()r Ar A(或者说,b可由A的列向量12,n 线表出,亦等同于12,n 与12,nb 是等价向量组).设A是m n矩阵,线性方程组Axb,则(1)有唯一解()().r Ar An(2)有无穷多解()().r Ar An(3)无解()1().r Ar A b不能由A的列向量12,n 线表出.十、十、(本题满分本题满分 6 6 分分)【解析】关于判定二次型正定这类题目时,用“顺序主子式全大于 0”的方法最为简捷.二次型f的矩阵为1142124A,其顺序主子式为2212311,4,448.4A 正定的充分必要条件是各阶顺序主子式都大于 0,所以有微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台12310,(2)(2)0,4(1)(2)04A .解出其交集为(2,1),故(2,1)时,f为正定二次型.【相关知识点】二次型的定义：含有n个变量12,nx xx的二次齐次多项式(即每项都是二次的多项式)1211,nnnijijijf x xxa x x其中ijjiaa,称为n元二次型,令12,Tnxx xx,ijAa,则二次型可用矩阵乘法表示为12,Tnf x xxx Ax其中A是对称矩阵TAA,称A为二次型12,nf x xx的矩阵.十一、十一、(本题满分本题满分 6 6 分分)【解析】记12(,)nA,则12,n 线性无关的充分必要条件是0A.由于1111212212221212,TTTTnTTTTTnnTTTTnnnnnA A ,从而取行列式,有2TTDA AAAA.由此可见12,n 线性无关的充分必要条件是0D.【相关知识点】m个n维向量12m,线性相关的充分必要条件是齐次方程组12120mmxxx有非零解.特别地,n个n维向量12,n 线性相关的充分必要条件是行列式12,0n.十二、十二、(本题满分本题满分 5 5 分分)微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台【解析】首先确定X的可能值是0 1 2 3,其次计算X取各种可能值的概率.设事件iA“汽车在第i个路口首次遇到红灯”,1 2 3i,且iA相互独立.12iiP AP A.事件iA发生表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数为1i.所以有1102P XP A,21212112P XP A AP A P A,3123123122P XP A A AP A P AP A,3123123132P XP A A AP A P AP A.则X的概率分布为x0123P Xx12212312312注注：此题易犯的一个错误是将3P X 计算为412,这是由于该街道仅有三个设有红绿信号灯的路口,3X 仅表示所有三个信号灯路口均为绿灯,而不存在第四个有信号灯路口问题.十三、十三、(本题满分本题满分 6 6 分分)【解析】二维均匀分布(,)X Y的联合密度函数为1,(,),(,)0,(,),Dx yDSf x yx yDDS是区域D的面积,2,DSr所以(,)X Y的联合密度22222221,(,)0,xyrf x yrxyr.由连续型随机变量边缘分布的定义,X和Y的概率密度1()f x和2()fy为22222212212()(,)(),rxrxf xf x y dydyrxxrrr22222()(,)()fyf x y dxryyrr.由一维连续型随机变量的数学期望的定义：微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台()EXx f x dx,()()().E g Xg xf x dx若()f x为奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为零,即是()0rrf x dx.故2222,rrEXx rx dxr2222rrEYy ry dyr,由于被积函数为奇函数,故0EXEY.2222cov(,)xyrxyX YE XYEX EYdxdyr,因为此二重积分区域关于x轴对称,被积函数为y的奇函数,所以积分式为 0.cov(,)0X Y.由相关系数计算公式cov(,)X YDXDY,于是X和Y的相关系数0.(2)由于12(,)()()f x yf x fy,可见随机变量X和Y不独立.十四、十四、(本题满分本题满分 5 5 分分)【解析】最大似然估计,实质上就是找出使似然函数最大的那个参数,问题的关键在于构造似然函数.现题设给出概率密度函数(;)f x,则似然函数11121(,;)(),niinxnniiL x xxeX111lnln()ln.nniiiiLnXX(由于ln L是单调递增函数,L取最大与ln L取最大取到的是一致的,而加对数后能把连乘转换成累加,这样求导,找极值比较方便).由对数似然方程1ln0,niiLnX得的最大似然估计值1niinX.所以得的最大似然估计量为1niinX.【相关知识点】似然函数的定义：设12,.,nx xx是相应于样本12,.,nXXX的一组观测值,则似然函数为：12121()(,;)(;)(;)(;)(;)nniniLf x xxf xf xf xf x.微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台