2019年数学三真题及答案解析.pdf

BornBorn toto winwin20192019 年数学三真题及答案解析年数学三真题及答案解析跨考教育数学教研室一一、选择题选择题：18 小题小题，每小题每小题 4 分分，共共 32 分分，下列每小题给出的四个选项中下列每小题给出的四个选项中，只有一项只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.（1）当0 x 时，若tankxxx与是同阶无穷小，则k（A）1.（B）2.（C）3.（D）4.【答案】C【解析】33311tan(),33xxxxxo xx故3.k（2）已知方程550 xxk有 3 个不同的实根，则k的取值范围（）（A）(,4)（B）(4,)（C）4,4（D）(4,4)【答案】D【解析】54422+()5,()555(1)5(1)(1)1,()0;11,()0;1,()0;lim()=+lim()=,(1)0,(1)0(1)1 50,(1)1 50,44xxf xxxkfxxxxxxfxxfxxfxf xf xfffkfkk 令则则又，结合单调性知时才有三个根，即则（3）已知微分方程xyaybyce的通解为12(),xxyCC x ee则,a b c依次为（）（A）1,0,1（B）1,0,2（C）2,1,3（D）2,1,4【答案】D【解析】221012,1;2,4.xxrarbrabeyyycec由题干分析出为特征方程的二重根,即=0故又为的解 代入方程得（4）若1nnnu绝对收敛，若1nnvn条件收敛，则（）（A）1nnnu v条件收敛（B）1nnnu v绝对收敛BornBorn toto winwin（C）1()nnnuv收敛（D）1()nnnuv发散【答案】B【解析】331:,(1);11:,(1);lnnnnnnnACuvnDuvnn 、反例反例（5）设A是四阶矩阵，*A是A的伴随矩阵，若线性方程组0Ax 的基础解系中只有 2 个向量，则*A的秩是（）A.0B.1C.2D.3【答案】（A）【解析】由于0AX 的基础解系有只有两个解向量，则4()2()23R AR A由可得，*()0.R A故（6）设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵，若22AAE,且|4A,则二次型Tx Ax的规范形为A.222123yyy.B.222123yyy.C.222123yyy.D.222123yyy【答案】C【解析】22AAE,设A的特征值为22(2)(1)021 或4A A的特征值为1232,12,1qp TX Ax的规范形为222123yyyBornBorn toto winwin（7）设,A B为随机事件，则()()P AP B的充分必要条件是A.()()()P ABP AP BB.()()()P ABP A P BC.()()P ABP BAD.()()P ABP AB【答案】C【解析】()0AP AB选项,故 A 排除ABB选项、独立，故 B 排除()()()()P AP ABP BP ABC选项()()P AP B而，故 C 正确()()1()P ABP ABP AB D选项1()()()P AP BP AB 1()()P AP B故 D 排除（8）设随机变量X与Y相互独立，且都服从正态分布2(,)N.则1P XYA.与无关，而与2有关.B.与有关，而与2无关.C.与2,都有关.D.与2,都无关.【答案】A【解析】,X Y独立，服从正态分布，则2(,2)zxyN11(1)(11)()222ZP XYPZP 12()12，故 A 正确二、填空题：二、填空题：9 14 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在分，请将答案写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.(9)111lim1 22 31nn nBornBorn toto winwin【答案】1e【解析】1111111=lim(1)lim(1)223+1+1nnnnennn原式(10)曲线3sin2cos22yxxxx的拐点坐标为【答案】【解析】sincos2sincossinyxxxxxxxcossincossinyxxxxxx 令00yxx得或当0;0 xyxy时当时，故(,-2)为拐点(11)已知 411xf xt dt，则 120 x f x dx【答案】【解析】3331111240000()()()01333xxxx f x dxf xfx dxx dx131444200111 22 211 2 21(1)+=3412 31818x dxx （1）(12)A、B 两商品的价格分别为,ABP P，需求函数225002,10,20AAABBABQPP PPPP，求 A 商 品 对 自 身 价 格 的 需 求 弹 性AA0【答案】【解析】22050020800BAAAPQPP时，2=(220)130020AAAAAAAAdQPPPdPQPP当2105AP时，=.BornBorn toto winwin（13）21010111,1,011AbAXbaa 有无穷多解，求a【答案】1a【解析】AXb有无穷多解，则,()2R A bR A，故210,1Aaa 即，当1a 时，,()2.R A bR A当1a 时，,().R A bR A综上，故1a.（14）变量X的概率密度为,02,()20,xxf x其他，()F x为X的分布函数，EX为X的数学期望，则()1P F XEX_【答案】23【解析】,02()20,xxf x其他223 20014()()|263xE xxf x dxdxx000()()02212xxxtF xf t dtdtxx 22231()()1)()3122()()43233P F xE xP F xxxPP xdx三三、解答题解答题：1523 小题小题，共共 94 分分.请将解答写在请将解答写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.（15）（本题满分 10 分）已知2,0,()1,0 xxxxf xxex，求()fx，并求()f x的极值【答案】【解析】当0 x 时.2 ln2 ln2()()(22)(22)xxxxxfxeelnxxlnxBornBorn toto winwin当0 x 时.()()xxxfxxeexe.00()(0)1 1(0)limlim10 xxxf xfxefxx 2000()(0)12 ln(0)limlimlim0 xxxxf xfxxxfxxx 故2(22),0()(1),0 xxxlnxxfxex x在0 x 附近当0 x 时，()0.()fxf x单调递减.当0 x 时，()0.()fxf x单调递增.故()0(0)1f xxf在取极大值.（16）（本 题 满 分 10 分）已 知(,)f u具 有 2 阶 连 续 偏 导 数，且(,)(,)g x yxyf xy xy，求22222.gggxx yy【答案】【解析】(,)(,)g x yxyf xy xy12gyffx2111221221112222 2gfffffffx 21112212211221(1)(1)1gffffffx y 12gxffy2111221221112222(1)2gfffffffy BornBorn toto winwin2221112221122111222221122 2 1 213gggffffffffxx yyff （17）（本题满分 10 分）已知()y x满足微分方程2212xyxyex，且有()y ee.（1）求()y x；（2）(,)12,0()Dx yxyy x，求平面区域D绕x轴旋转成的旋转体体积【答案】（1）22xyxe；（2）4(4)2Ve；【解析】（1）222()()2221122xxxx dxx dxyee edxCedxCexCxx22()0 xy eeCyxe由可得，故.（2）2222411(4).2xVy dxxe dxVe（18）（本题满分 10 分）求曲线sin(0)yexx x与x轴之间图形的面积【答案】【解析】所求面积0sindxxeAx。11211212121lim21lim21111lim21sincos211limsin1limsin1101011110010eeeeeeeexxedxxedxxennkknnkkknnkkkkkknkknkxknnkkkxknxBornBorn toto winwin（19）（本题满分 10 分）设1201(0,1,2,.)nnaxx dxn（1）证明：na单调递减，且21(2,3.)2nnnaann（2）1nnnalima【答案】【解析】1201nnaxx dx（1）令sinxt，则22022022200cos1 sin131122221321122323112211223nnnnnasin ttdtsin tt dtsin tdtsintdtnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn 为偶为奇为偶为奇n 为奇数，112312111231223nnnn nannnannnn；n 为偶数，112231211123123nnnn nannnannnn；故 na单调减少。n 为偶数时，21111213222nnnannnnann n；BornBorn toto winwinn 为奇数时，2112123132223nnnannnnann n；故212,3,2nnnaann（2）1112lim312lim22lim3122lim22limnnnnnnnnnnnn nnnnaan nnnnnnanaana为奇为偶为奇为偶为偶为奇（20）（本题满分 11 分）已知向量组1232111()1,0,2,443a 1232101()1,2,3,313aaa若向量组()和向量组()等价，求的取值，并将3用123,线性表示【答案】【解析】22111111102011443001aa221011011230223 1301aaaaaa,所以1a.1111111110230012,44440000所以31110,.02kkR所以3123(1)2,.kkkR BornBorn toto winwin（21）（本题满分 11 分）已知矩阵22122002Ax与21001000By相似，（1）求,x y；（2）求可逆矩阵P使得1P APB；【答案】（1）3,2xy；（2）111212004P【解析】（1）24,3,25trAtrBxyABxyABxy 即（2）1230,=2=2=2EAEBA B的特征值为，11112222332(2)0,(2)02=1,2,0,=1,0,01()0,()01=2,1,0,=1,3,02(2)0,(2)02TTTTEA xEB xABEA xEB xABEA xEB xAB 当时，由可得、属于特征值的线性无关的特征向量分别为；当时，由可得、属于特征值的线性无关的特征向量分别为；当时，由可得、属于特征值的线33=1,2,0,=0,0,1TT性无关的特征向量分别为；令11232123(,),(,),PP 则111111222112212P APP BPP P APPB故令112111212,004PPP即1P APB.（22）（本题满分 11 分）设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为 1 的指数分布，Y的概率分布为1,11P Yp P Yp .令ZXY（1）求Z的概率密度；（2）p为何值时，X与Z不相关；BornBorn toto winwin（3）X与Z是否相互独立；【解析】（1）()()(,1)(,1)ZFzP XYzP XYz YP XYz Y()(1)()(1)PXz P YP Xz P Y()(1)()pP Xzp P Xz(1()(1)()XXpFzp Fz因为,0()0,zXezfz其他，,0(-)0,zXezfz其他，所以()()(1)()ZXXfzpfzp fz(1),0(),00,zzzp ezfzpez其他（2）cov(,)0,cov(,)0,X ZX XY由于222cov(,)()(),X XYE X YEXEXYEX EYEXEYEYDX则cov(,)1 2.X XYp 由1 20,p可知当12p 时，X与Z不相关.（3）X与Z不独立.（23）（本题满分 11 分）设总体X的概率密度为2222,(,)0,xAexf xx其中是已知参数，0是未知参数，A是常数，12,.,nXXX是来自总体X的简单随机样本，（1）求A；（2）求2的最大似然估计量；【解析】(1)根据概率密度归一性，有1222dxeAxBorn to winBorn to win设tx，则122202222AdteAdxeAtx，则2A(2)似然函数 2122niixnneAL，取对数 21222ln2lnlnniixnAnL对2求导有，212222ln+022niixdLnd 则niixn1221，则2的最大似然估计量为niixn1221。