2017年考研数学二试题及答案解析【.pdf

(微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台全国统一服务热线：全国统一服务热线：40066821551Born to win2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在的，请将所选项前的字母填在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.（1）若函数1 cos,0(),0 xxf xaxb x在0 x 处连续，则（）(A)12ab(B)12ab (C)0ab(D)2ab【答案】A【解析】0011 cos12limlim,()2xxxxf xaxaxa在0 x 处连续11.22baba选 A.（2）设二阶可导函数()f x满足(1)(1)1,(0)1fff 且()0fx，则（）111101011010()()0()0()()()()()Af x dxBf x dxCf x dxf x dxDf x dxf x dx【答案】B【解析】()f x为偶函数时满足题设条件，此时0110()()f x dxf x dx，排除 C,D.取2()21f xx满足条件，则112112()2103f x dxxdx，选 B.（3）设数列 nx收敛，则（）()A当limsin0nnx时，lim0nnx()B当lim()0nnnxx时，lim0nnx()C当2lim()0nnnxx时，lim0nnx()D当lim(sin)0nnnxx时，lim0nnx【答案】D【解析】特值法：（A）取nx，有limsin0,limnnnnxx，A 错；取1nx ，排除 B,C.所以选 D.（4）微分方程的特解可设为22全国统一服务热线：全国统一服务热线：4006682155Born to win!精勤求学精勤求学 自强不息自强不息（A）22(cos2sin2)xxAeeBxCx（B）22(cos2sin2)xxAxeeBxCx（C）22(cos2sin2)xxAexeBxCx（D）22(cos2sin2)xxAxeeBxCx【答案】A【解析】特征方程为：21,248022i222*2*212()(1 cos2)cos2,(cos2sin2),xxxxxf xexeexyAeyxeBxCx故特解为：*2212(cos2sin2),xxyyyAexeBxCx选 C.（5）设(,)f x y具有一阶偏导数，且对任意的(,)x y，都有(,)(,)0,0f x yf x yxy，则（A）(0,0)(1,1)ff（B）(0,0)(1,1)ff（C）(0,1)(1,0)ff（D）(0,1)(1,0)ff【答案】C【解析】(,)(,)0,0,(,)f x yf x yf x yxy是关于x的单调递增函数，是关于y的单调递减函数，所以有(0,1)(1,1)(1,0)fff，故答案选 D.（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线1()vv t（单位：/m s），虚线表示乙的速度曲线2()vv t，三块阴影部分面积的数值依次为 10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t（单位：s），则（）（A）010t（B）01520t（C）025t（D）025t【答案】B(微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台全国统一服务热线：全国统一服务热线：40066821553Born to win【解析】从 0 到0t这段时间内甲乙的位移分别为001200(t),(t),ttvdtvdt则乙要追上甲，则0210(t)v(t)10tvdt，当025t 时满足，故选 C.（7）设A为三阶矩阵，123(,)P 为可逆矩阵，使得1012P AP，则123(,)A （）（A）12（B）232（C）23（D）122【答案】B【解析】11231232300011(,)(,)12222P APAPPA ,因此 B 正确。（8）设矩阵200210100021,020,020001001002ABC,则（）（A）,ACBC与 相似与 相似（B）,ACBC与 相似与 不相似（C）,ACBC与 不相似与 相似（D）,ACBC与 不相似与 不相似【答案】B【解析】由0EA可知 A 的特征值为 2,2,1,因为3(2)1rEA，A 可相似对角化，即100 020002A由0EB可知 B 特征值为 2,2,1.因为3(2)2rEB，B 不可相似对角化，显然 C 可相似对角化，AC，但 B 不相似于 C.二、填空题：二、填空题：9 14 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在分，请将答案写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.44全国统一服务热线：全国统一服务热线：4006682155Born to win!精勤求学精勤求学 自强不息自强不息(9)曲线21arcsinyxx的斜渐近线方程为_【答案】2yx【解析】22limlim(1 arcsin)1,limlim arcsin2,2xxxxyyxxxxxyx(10)设函数()yy x由参数方程sintxteyt 确定，则220td ydx_【答案】18【解析】220222coscos,11cossin(1)cos1181tttttttdydxdyttedtdtdxetd yteted yedxdxdxedt (11)20ln(1)(1)xdxx_【答案】1【解析】20002020ln(1)1ln(1)(1)1ln(1)11(1)11.(1)xdxx dxxxdxxxdxx (12)设函数(,)f x y具有一阶连续偏导数，且(,)(1)yydf x yye dxxy e dy，(0,0)0f，则(,)_f x y【答案】yxye【解析】,(1),(,)(),yyyyxyfyefxy ef x yye dx xyec y故(微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台全国统一服务热线：全国统一服务热线：40066821555Born to win()yyyyyfxexyec yxexye，因此()0c y，即()c yC，再由(0,0)0f，可得(,).yf x yxye【答案】【解析】（13）110tan_yxdydxx【答案】lncos1.【解析】交换积分次序：11110000tantantanlncos1xyxxdydxdxdyxdxxx.（14）设矩阵41212311Aa的一个特征向量为112 ，则_a【答案】-1【解析】设112 ，由题设知A，故4121111211323112222aa 故1a .三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.请将解答写在请将解答写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤演算步骤.（15）（本题满分 10 分）求极限030limxtxxte dtx【答案】23【解析】030limxtxxtedtx，令xtu，则有000 xxtx ux uxxte dtueduuedu66全国统一服务热线：全国统一服务热线：4006682155Born to win!精勤求学精勤求学 自强不息自强不息003300220310022=limlim2limlim332xxx uxuxxxuxxxuedueue duxxue duxexx原式（16）（本题满分 10 分）设函数(,)f u v具有 2 阶连续偏导数，(,cos)xyf ex，求0 xdydx，220 xd ydx【答案】2111200(1,1),(1,1),xxdyd yffdxdx【解析】01212100222111221221222111220(,cos)(0)(1,1)sin(1,1)1(1,1)0(1,1)(sin)(sin)sincos(1,1)(1,1)(1,1)xxxxxxxxxxyf exyfdyf efxfffdxd yf ef exf exfxf efxdxd yfffdx 结论：102111220(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)xxdyfdxd yfffdx（17）（本题满分 10 分）求21limln 1nnkkknn【答案】14【解析】211122 1020001111 11limln(1)ln(1)ln(1)(ln(1)2214nnkkkxxx dxx dxxxdxnnx（18）（本题满分 10 分）已知函数()y x由方程333320 xyxy确定，求()y x的极值(微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台全国统一服务热线：全国统一服务热线：40066821557Born to win【答案】极大值为(1)1y，极小值为(1)0y【解析】两边求导得：2233 33 0 xy yy（1）令0y 得1x 对（1）式两边关于 x 求导得22663 3 0 xy yy yy（2）将1x 代入原题给的等式中，得1110 xxoryy，将1,1xy代入（2）得(1)10y 将1,0 xy 代入（2）得(1)20y 故1x 为极大值点，(1)1y；1x 为极小值点，(1)0y（19）（本题满分 10 分）设函数()f x在区间0,1上具有 2 阶导数，且0()(1)0,lim0 xf xfx，证明：()方程()0f x 在区间(0,1)内至少存在一个实根；()方程2()()()0f x fxfx在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。【答案】【解析】（I）()f x二阶导数，0()(1)0,lim0 xf xfx解：1）由于0()lim0 xf xx，根据极限的保号性得0,(0,)x 有()0f xx，即()0f x 进而 0(0,)0 xf有又由于()f x二阶可导，所以()f x在0,1上必连续那么()f x在,1上连续，由()0,(1)0ff根据零点定理得：至少存在一点(,1)，使()0f，即得证（II）由（1）可知(0)0f，(0,1),()0f 使，令()()()F xf x fx，则(0)()0ff88全国统一服务热线：全国统一服务热线：4006682155Born to win!精勤求学精勤求学 自强不息自强不息由罗尔定理(0,),()0f 使，则(0)()()0FFF，对()F x在(0,),(,)分别使用罗尔定理：12(0,),(,)且1212,(0,1),，使得12()()0FF，即2()()()()0F xf x fxfx在(0,1)至少有两个不同实根。得证。（20）（本题满分 11 分）已知平面区域22,|2,Dx yxyy计算二重积分21Dxdxdy。【答案】54【解析】22sin222220051122cos4DDDDxdxdyxdxdyx dxdydxdydrd（21）（本题满分 11 分）设()y x是区间30,2内的可导函数，且(1)0y，点P是曲线 L:()yy x上任意一点，L 在点 P 处的切线与 y 轴相交于点0,pY，法线与 x 轴相交于点,0pX，若ppXY，求 L上点的坐标,x y满足的方程。【答案】【解析】设,()p x y x的切线为()()Yy xy xXx，令0X 得()()pYy xy x x，法线1()()Yy xXxy x,令0Y 得()()pXxy x y x。由ppXY得()()yxy xxyy x，即1()1yyy xxx。令yux，则yux，按 照 齐 次 微 分 方 程 的 解 法 不 难 解 出21ln(1)arctanln|uuxCx,（22）（本题满分 11 分）设 3 阶矩阵123,A有 3 个不同的特征值，且3122。()证明：()2r A()若123，求方程组Ax的通解。(微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台全国统一服务热线：全国统一服务热线：40066821559Born to win【答案】（I）略；（II）通解为1121,11kkR 【解析】（I）证明：由3122可得12320，即123,线性相关，因此，1230A ，即 A 的特征值必有 0。又因为 A 有三个不同的特征值，则三个特征值中只有 1 个 0，另外两个非 0.且由于 A 必可相似对角化，则可设其对角矩阵为1212,00()()2r Ar（II）由（1）()2r A，知3()1r A，即0Ax 的基础解系只有 1 个解向量，由12320可得12311,22011A ，则0Ax 的基础解系为121，又123，即12311,1111A ，则Ax的一个特解为111 ，综上，Ax的通解为1121,11kkR （23）（本题满分 11 分）设二次型222123123121323(,)2282f x xxxxaxx xx xx x在正交变换XQY下的标准型221122yy，求a的值及一个正交矩阵Q.【答案】2212111326122;0,3636111326 aQf xQyyy【解析】1010全国统一服务热线：全国统一服务热线：4006682155Born to win!精勤求学精勤求学 自强不息自强不息123(,)Tf x xxX AX，其中21411141Aa由于123(,)Tf x xxX AX经正交变换后，得到的标准形为221122yy，故214()2|01110241r AAaa，将2a 代入，满足()2r A，因此2a 符合题意，此时214111412A，则123214|11103,0,6412EA，由(3)0EA x，可得 A 的属于特征值-3 的特征向量为1111；由(6)0EA x，可得 A 的属于特征值 6 的特征向量为2101由(0)0EA x，可得 A 的属于特征值 0 的特征向量为3121 令123,P ，则1360P AP，由 于123,彼此 正交，故 只需单 位化即可：1231111,1,1,1,0,1,1,2,1,326TTT，则12311132612036111326Q ，360TQ AQ(微信公众号考研路上的幸福哥，考研干货最多的公众平台全国统一服务热线：全国统一服务热线：400668215511Born to win2212312(,)36x Qyf x x xyy如果想要了解更多，广大研友们也可加入 2017 考研复试交流群（118146590）和大家一起交流考研心路历程。也可将自己考研的经验传授给学弟学妹们 2018 考研交流总群（337587371），希望他们在2018 年金榜题名。