22.1.2　二次函数y＝ax2的图象和性质.DOCX

22.1.2　二次函数y＝ax2的图象和性质 教师备课　素材示例 ●置疑导入　如图，你知道打篮球投篮时篮球运动的路线是什么吗？你知道姚明投篮为什么那么准吗？用篮球投篮，观察篮球的运动路线，思考分析投篮时篮球的运动路线有何规律，怎样用数学规律来描述？ 【教学与建议】教学：对抛物线实际问题的导入，激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望．建议：课件展示投篮路径，引导学生建立函数模型． ●归纳导入　(1)在二次函数y＝x2中，y随x的变化而变化的规律是什么？你想直观地了解它的性质吗？ (2)请你在图中用描点法画出二次函数y＝x2的图象． 观察函数解析式y＝x2，选择x的适当值，并计算相应的y值，完成下表： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y＝x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … 　　在如图所示的平面直角坐标系中描点并用光滑曲线连接各点． 【归纳】二次函数y＝x2的图象是一条抛物线，对称轴是y轴． 【教学与建议】教学：本节通过画二次函数y＝x2的图象，引入本节新课．建议：先留给学生动手画图的时间，然后教师引导学生分析二次函数y＝x2的性质． 命题角度1　抛物线的图象和性质 抛物线y＝ax2的对称轴、开口方向、增减性、最值、开口大小等． 【例1】(1)抛物线y＝x2，y＝－3x2，y＝－x2，y＝2x2的图象开口最大的是(A) A．y＝x2 B．y＝－3x2 C．y＝－x2 D．y＝2x2 (2)已知A(－1，y1)，B(－2，y2)，C(3，y3)三点都在二次函数y＝－x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是__y1＞y2＞y3__．(用“＞”号连接) 命题角度2　二次函数y＝ax2的图象及其性质与几何综合 此类问题利用抛物线上的点的坐标特点及对称性，结合几何图形的性质解决． 【例2】如图，抛物线的顶点为O，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B(点A在点B左侧)，根据对称性△AOB恒为等腰三角形，我们规定：当△AOB为直角三角形时，就称△AOB为该抛物线的“完美三角形”．求抛物线y＝x2的“完美三角形”的斜边AB＝__2__． 命题角度3　综合考查二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋b的图象及性质 二次函数y＝ax2的图象，图象特点及性质由a决定，一次函数y＝ax＋b的图象是一条直线，图象的特点及性质由a，b共同决定．函数的交点问题可用方程解决． 【例3】(1)二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是(D) (2)抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋2的两个交点坐标分别是A(m，4)，B(1，1)，则m＝__－2__． 汽车前灯中的数学 大家都知道汽车前照灯发出的光可以照亮车体前方的路况，使驾驶者可以在漆黑的夜晚安全地行车，保证视野清晰．如果你留心便会发现，汽车前灯后面的反射镜呈抛物线的形状．把抛物线沿它的对称轴旋转一周，就会形成一个抛物面，这种抛物面形状，正是我们熟悉的汽车前灯的反射镜形状，这种形状使车灯既能够发出明亮的、照射距离很远的平行光束，又能发出较暗的、照射距离较近的光线． 我们都知道常规的前照灯主要由灯泡、反射镜和透镜三部分组成．明亮的光束是由位于抛物面形状反射镜焦点的光源射出的，灯泡位于抛物面的焦点上，灯泡发出的光经抛物面反射镜反射形成平行光束，再经过配光镜的散射、偏转作用，以达到照亮路面的效果，这样的灯光我们通常称为远光灯；而较暗的光线是由于光线的行进与抛物线的对称轴不平行，光线只能向上和向下照射，所以照射距离并不远，若把向上射出的光线遮住，车灯就只能发出向下的、射的很近的光线了． 由上面可知，汽车大灯反射镜射出的灯光是平行光束，汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线是抛物线，由抛物线的性质可知，经过反射镜的反射，能够沿着与抛物线的对称轴平行的方向发射出去平行光线，反之，与抛物线的轴平行的光线经旋转抛物面反射后，都聚集到抛物线的焦点上，这就是抛物线的光学性质，它被广泛应用于探照灯、汽车前灯、抛物面天线等方面． 高效课堂　教学设计 1．会用描点法画二次函数y＝ax2的图象，理解抛物线的有关概念． 2．掌握二次函数y＝ax2的性质，能确定二次函数y＝ax2的解析式． 3．经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理． ▲重点 1．二次函数y＝ax2的图象的画法及性质． 2．能确定二次函数y＝ax2的解析式． ▲难点 1．用描点法画二次函数y＝ax2的图象，探索其性质． 2．能运用二次函数y＝ax2的有关性质解决问题． ◆活动1　新课导入 1．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是__一条经过(0，b)的直线__．特别地，正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是__过原点的直线__． 2．描点法画出一次函数的步骤：分别为__列表__、__描点__、__连线__三个步骤． 3．我们把形如__y＝ax2＋bx＋c(a≠0)__的函数叫做二次函数． ◆活动2　探究新知 1．教材P29～30. 提出问题： (1)同学们回想一下，一次函数的性质是怎样研究的？我们能否类比研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质呢？如果可以，应先研究什么？ (2)对函数y＝x2，请完成下表： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y＝x2 … … (3)请描绘出表中各点，画出y＝x2的图象； (4)你能说说二次函数y＝x2的图象有哪些特征吗？ 学生完成并交流展示． 2．教材P30　例1. 提出问题： (1)你能在同一直角坐标中画出函数y＝x2与y＝2x2的图象吗？请完成下表并描点，进而画出各函数图象； x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y＝x2 … … x … －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y＝2x2 … … (2)观察所画出的图象，它们有哪些共同点和不同点？ (3)你能由此猜想并归纳出当a＞0时，y＝ax2的图象和性质吗？ 学生完成并交流展示． 3．教材P31　探究． 提出问题： (1)你能在同一直角坐标系中画出函数y＝－x2，y＝－x2，y＝－2x2的图象吗？请同学们在草稿纸上尝试画出它们的图象； (2)你画出的图象与图22.1－5中的图象相同吗？仔细观察你所画出的图象，并思考这些抛物线有什么共同点和不同点？ (3)你能总结归纳出当a＜0时，y＝ax2的图象和性质吗？ 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 1．二次函数y＝ax2的图象是一条开口向上或向下的抛物线．一般地，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象叫做抛物线y＝ax2＋bx＋c. 2．一般地，抛物线y＝ax2的对称轴是__y轴__，顶点是__(0，0)__．当a＞0时，抛物线的开口__向上__，顶点是抛物线的最__低__点，|a|越大，抛物线的开口__越小__；在对称轴的左侧，y随x的增大而__减小__，在对称轴的右侧，y随x的增大而__增大__．当a＜0时，抛物线的开口向__下__，顶点是抛物线的最__高__点，|a|越大，抛物线的开口越__小__；在对称轴的左侧，y随x的增大而__增大__，在对称轴的右侧，y随x的增大而__减小__． ◆活动4　例题与练习 例1　已知函数y＝(m＋2)xm2＋2m－6是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，此函数图象的顶点为最低点？ (3)当m为何值时，此函数图象的顶点为最高点？ 解：(1)m＋2≠0，m2＋2m－6＝2，解得m1＝2，m2＝－4， ∴m的值为2或－4； (2)若函数图象有最低点，则抛物线的开口向上， ∴m＋2＞0，解得m＞－2， ∴m＝2； (3)若函数图象有最高点，则抛物线的开口向下， ∴m＋2＜0，解得m＜－2， ∴m＝－4. 例2　二次函数y＝ax2与直线y＝2x－1的图象交于点P(1，m). (1)求a，m的值； (2)写出二次函数的解析式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大？ 解：(1)将点P(1，m)代入y＝2x－1，得m＝2×1－1＝1， ∴点P的坐标为(1，1). 将点P(1，1)代入y＝ax2，得1＝a×12，解得a＝1； (2)二次函数的解析式为y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而增大. 练习 1．教材P32　练习． 2．抛物线y＝3x2的开口向__上__，对称轴是__y轴__，顶点坐标是__(0，0)__；抛物线y＝－x2的开口向__下__，对称轴是__y轴__，顶点坐标是__(0，0)__． 3．抛物线y＝－x2上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，若x1＜x2＜0，则y1__＜__y2. 4．若点(x1，5)和点(x2，5)(x1≠x2)均在抛物线y＝ax2上，则当y＝x1＋x2时，y的值是__0__． ◆活动5　课堂小结 1．如何画出函数y＝ax2的图象？ 2．函数y＝ax2具有哪些性质？ 1．作业布置 (1)教材P41　习题22.1第3，4题； (2)对应课时练习． 2．教学反思