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正方形 教学设计 课题 18.2.3 正方形 单元 18 学科 初中数学 年级 八下 学习 目标 1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．（重点） 2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，进一步体会特殊与一般的关系．（难点） 重点 正方形的性质与判定 难点 理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 导入新课 【复习回顾】 观察图片，回答问题： 上述图片中的四边形都是特殊的平行四边形，除菱形、矩形外，还有一种特殊的平行四边形，你知道是什么图形吗？ 预设：正方形 学生观察图片，回顾旧知并回答 通过观察生活图片以及复习旧知识，引出本节课的内容． 讲授新课 【合作探究】 问题1 矩形经过怎样的变化就成为了正方形呢？ 预设： 问题2 菱形经过怎样的变化就成为了正方形呢？ 预设： 定义：有一组邻边相等,且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 问题3 正方形是中心对称图形吗？它是轴对称图形吗？它有几条对称轴，它的对称中心是什么？ 预设： 正方形是中心对称图形，它的中心是对称中心， 正方形也是轴对称图形，它有四条对称轴：两条对角线和每组对边中点连线所在直线. 问题4 结合下图，谈谈正方形与平行四边形、矩形和菱形的关系. 知识归纳： 正方形既是矩形,又是菱形,它具有平行四边形、矩形和菱形的一切性质. 正方形的性质1:正方形的四个角都是直角,四条边都相等. 正方形的性质2:正方形的对角线相等且互相垂直平分. 正方形的性质3:既是中心对称图形也是轴对称图形. 想一想：我们之前是怎样判定矩形和菱形的？ 预设答案：对于正方形我们依然从定义、边、角、对角线方面来考虑. 学生独立思考后，发言交流.得出结论： 学生独立思考，交流发言.教师动画展示. 学生自主概况，教师总结 学生思考并发言，教师动画展示. 教师边展示动画边提问，学生思考并回答，最后归纳总结： 建议教师从每个角度进行提问，不容易遗漏，可以更好的帮助学生理解，学生思考并回答. 通过设问思考的方式，让学生理解矩形和菱形变化成正方形的条件，为引出概念打下基础. 总结归纳正方形的性质. 通过想一想活动，培养学生解决问题以及抽象思维能力. 通过合作交流，培养学生解决问题以及逻辑推理能力. 【典型例题】 例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形． 已知，如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相较于点O. 求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形. 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC=BD，AC⊥BD， AO=BO=CO=DO. ∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形， 并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO. 例2 已知：如图所示,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,DE∥AC,交AB于点E,DF∥AB,交AC于点F. 求证：四边形AEDF是菱形. 证明:∵DE∥AC,DF∥AB, ∴四边形AEDF是平行四边形. ∴∠1=∠3. 又∵∠1=∠2,∴∠2=∠3. ∴AE=DE. ∴四边形AEDF是菱形. 总结归纳： 判定一个四边形是菱形的方法与思路 小试牛刀：下列条件中，能判定四边形是菱形的是(　D　) A. 对角线互相垂直 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直平分 【课堂练习】 1.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有(　　) A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠1＝∠2 答案：C 2.如图所示,小红在作线段AB的垂直平分线时,是这样操作的:分别以点A,B为圆心,大于线段AB长度一半的长为半径画弧,两弧相交于点C,D,则直线CD即为所求.连接AC,BC,AD,BD,根据她的作图方法可知,四边形ADBC一定是(　　) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形 答案：B 3.如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E，使CE=AC，连接AE，交CD于F，求∠AFC的度数. 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC平分∠BCD， ∠BCD= ∠DCE=90°. ∴ ∠ACB=45°. ∵CE=AC， ∠CAE+ ∠E= ∠ACB， ∴ ∠E=22.5°， ∴ ∠AFC= ∠DCE+ ∠E=90°+22.5°=112.5°. 4.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF． (1)求证：AF=DC； (2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，说明理由． 解：(1)证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DBE，∠FAE=∠BDE, ∵E是AD的中点，∴AE=DE， ∴△AFE≌△DBE. ∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD， ∴AF=BD，∴AF=DC． (2)解：四边形ADCF是菱形，理由如下： 由(1)知AF∥BC，AF=DC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线， ∴AD= BC=DC， ∴平行四边形ADCF是菱形． 学生解答，教师展示给出解答示范． 学生思考并回答，教师给出答案． 自主完成练习，然后集体交流评价. 巩固所学知识，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力． 加深对所学知识的印象． 通过本环节的学习，让学生巩固所学知识． 课堂小结 以思维导图的形式呈现本节主要内容： 回顾本节课所讲的内容 通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. 板书 1.正方形 （1）定义 （2）性质定理 （3）判定定理 2.正方形与平行四边形、矩形和菱形的关系 3.例题讲解 学科网（北京）股份有限公司