19.3 课题学习 选择方案.docx

教学设计 课题 课题学习　选择方案 授课人 素养目标 1.根据实际问题背景建立分段函数模型，体会数学分类讨论思想在解决实际问题中的应用 2．灵活运用变量关系建立一次函数模型并选择最佳方案解决销售相关实际问题． 3．体会“问题情境—建立模型—解释应用—回顾拓展”这一数学建模的基本思想，感受函数知识的应用价值. 教学重点 建立一次函数模型解决实际问题． 教学难点 函数建模思想的理解与应用. 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：创设情境，导入新课 设计意图 通过实际问题引出方案决策的主题. 【情境导入】 做一件事情，有时有不同的实施方案．比较这些方案，从中选择最佳方案作为行动计划，是非常必要的．应用数学的知识和方法对各种方案进行比较分析，可以帮助我们清楚地认识各种方案，作出理性的决策． (教材P102问题1)下表给出A，B，C三种上宽带网的收费方式． 　选取哪种方式能节省上网费？ 当我们面对不同的方案，怎样运用数学方法进行比较并作出合理的选择？这就是我们今天将要学习的内容. 【教学建议】 引导学生讨论，可指定学生回答. 活动二：问题引入，自主探究 设计意图 借助函数图象引导学生解决最佳方案问题. 探究点　运用一次函数的知识选择最佳方案 1.对于活动一中的问题，我们按如下顺序进行探究. (1)哪种方式上网费是会变化的？哪种不变？A，B会变化，C不变 (2)在A，B两种方式中，上网费由哪些部分组成？上网费＝月使用费＋超时费 (3)影响超时费的变量是什么？上网时间 (4)这三种方式中有一定最优惠的方式吗？ 答：没有一定最优惠的方式，与上网的时间有关. (5)设月上网时间为x h，方式A，B，C的收费金额分别为y1，y2，y3，请分别求出y1，y2，y3关于x的函数解析式，并画出函数图象. 答：方式A： 【教学建议】 教师引导学生发现三种方式的上网费都与当月的上网时间有关，即上网费是上网时间的函数(方案A，B是包括一次函数的分段函数，方案C对应常值函数). 教师进一步引导学生比较这三个函数，又可 19.3　课题学习　选择方案 教学步骤 师生活动 设计意图 自行选择自变量构建函数模型解决实际问题. 化简得y1＝ 方式B：y2＝ 化简，得y2＝方式C：y3＝120，x≥0.图象如图所示. (6)结合函数图象和解析式填空： 当上网时间不超过31 h时，选择方式A最省钱； 当上网时间超过31h而不超过73 h时，选择方式B最省钱； 当上网时间超过73 h时，选择方式C最省钱． 2.阅读教材P103问题2，回答下列问题. (1)影响租车费用的因素有哪些？ 答：甲、乙两种车所租辆数. (2)汽车所租辆数又与哪些因素有关？ 答：与乘车人数有关. (3)如何由乘车人数确定租车辆数呢？ 答：234名学生和6名教师共240人，240÷45＝513，240÷30＝8. 因为汽车辆数为正整数， 所以要保证240名师生都有车坐，汽车总数不能小于6. 同时要使每辆汽车上至少要有1名教师，汽车总数不能大于6. 综合起来可知汽车总数为6辆. (4)在汽车总数确定后，租车费用与租车的种类有关．如果租用甲种客车x辆，你能求出租车费用吗？ 答：设租车费用为y元. 因为租用甲种客车x辆，所以租用乙种客车(6－x)辆. 根据表格可知，y＝400x＋280(6－x)，化简得y＝120x＋1 680. (5)如何确定租车费用y的最小值？ 答：根据题意，存在两个不等关系： ①240名师生都有车坐，则45x＋30(6－x)≥240； ②总费用在2 300元的限额内，则y≤2 300，即120x＋1 680≤2 300. 分别解不等式，或联立后解不等式组，得x的取值范围为4≤x≤516. 根据实际意义，x可取4或5. 因为y是x的一次函数，且y随x的增大而增大， 所以当x＝4时，y有最小值，最小值为120×4＋1 680＝2 160. 由此，我们可以得出教材P103问题2的答案： 以发现对于上网时间有不同需求的人可以从中选择不同的收费方式，以达到省钱的目的. 教师让学生体会通过分析变量间的关系，列出函数解析式，然后比较三个函数解析式或相应的图象，找出不同的上网时间范围内上网费最低的方案，这本身是利用一次函数模型分析和解决实际问题的过程. 【教学建议】 教师引导学生按顺序逐步探究作答，对于提出选取乙种客车的辆数作为自变量的同学，应给予肯定，可让部分学生用该方法解题，对比最终结果是否相同. 告诉学生：解决含有多个变量的问题时，分析这些变量之间的关系，从中选取有代表性的变量作为自变量，并用它表示出其他的量，代入题中等量关系构造 教学步骤 师生活动 (1)共需租6辆汽车. (2)最节省费用的租车方案是租用甲种客车4辆，乙种客车2辆． 出函数模型，再根据题目的条件确定自变量的取值范围，并结合函数的增减性求得最值. 活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：选择最佳方案，往往可以用函数有关知识解决问题，你能说说建立函数模型的步骤和方法吗？ 【知识结构】 【作业布置】 《创优作业》主体本部分相应课时训练． 板书设计 19.3　课题学习　选择方案 1.多个(分段)函数类方案选择问题 2.结合函数增减性求最值类方案选择问题 教学反思 　 本节课以生活中的实际问题为载体，以一次函数的知识作为解题工具，把复杂问题通过分解转化为简单问题，思路清晰而简练，突出重点，训练到位，体现了学生自主、合作、探究、交流的学习方式，激发学生学习数学的兴趣，培养了学生运用数学知识解决实际问题的能力. 解题方法： 一、方案选取型问题的解题策略： 1．若给定自变量的取值，则将自变量的值代入解析式，得到因变量的值，再进行选取； 2．若给定因变量的取值，则将因变量的值代入解析式，得到自变量的值，再进行选取； 3．若自变量、因变量均未给定取值： (1)方法一：可分别求出y1＜y2，y1＝y2，y1＞y2的解集，再根据结果进行选取； (2)方法二：画出函数图象，求出交点坐标，再利用图象的上、下位置关系进行判断． 二、方案设计型问题的解题策略： 方案设计型问题一般是利润最大或费用最少问题，一般步骤如下： 1．根据题意求出函数解析式； 2．由图象、题设信息列不等式(组)求得自变量的取值范围； 3．利用一次函数的增减性确定利润最大或费用最少时自变量的值，从而设计出符合要求的方案． 三、物资调运方案问题的解题策略： 1．用表格或图示的方法，厘清数量关系； 2．根据表格或图示中的数量关系列出函数解析式； 3．根据题意确定自变量的取值范围； 4．根据函数解析式及自变量的取值范围，结合一次函数的增减性，按题设要求确定调运方案． 例　某商店销售一种产品，该产品成本价为6元/件，售价为8元/件，销售人员将该产品一个月(30天)销售情况绘成如下图象，图中的折线ODE表示日销量y(单位：件)与销售时间x(单位：天)之间的函数关系，若线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销量减少5件． (1)第25天的日销量是325件，这天销售利润是650元； (2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； (3)日销售利润不低于640元的共有多少天？销售期间日销售利润最大是多少元？ 解：(1)解析：340－(25－22)×5＝325(件)，(8－6)×325＝650(元)，故答案为325，650. (2)设直线OD的解析式为y＝kx. 将(17，340)代入y＝kx，得17k＝340，解得k＝20.所以直线OD的解析式为y＝20x. 设直线DE的解析式为y＝mx＋n. 将(22，340)，(25，325)代入y＝mx＋n，得解得 所以直线DE的解析式为y＝－5x＋450. 联立解得 所以点D的坐标为(18，360)． 所以y关于x的函数解析式为y＝ (3)640÷(8－6)＝320(件)，当y＝320时，由20x＝320或－5x＋450＝320，解得x＝16或x＝26，所以26－16＋1＝11(天)，所以日销售利润不低于640元的共有11天．因为折线ODE的最高点D的坐标为(18，360)，360×2＝720(元)，所以当x＝18时，日销售利润最大，最大为720元． 例1　某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用A，B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用一辆)．A型车每辆租金为500元，B型车每辆租金为600元．若5辆A型车和2辆B型车坐满后共载客310人；3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客340人． (1)每辆A型车、B型车坐满后分别载客多少人？ (2)若该校计划租用A型和B型两种客车共10辆，总租金不高于5 500元，并将全校420人载至目的地．该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？ (3)在这次活动中，学校除租用A，B两种客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令营目的地的路程为300 km，甲车从学校出发0.5 h后，乙车才从学校出发，但乙车却比甲车早0.5 h到达目的地．如图是两车离开学校的路程s(单位：km)与甲车行驶的时间t(单位：h)之间的函数图象．根据图象信息，求甲、乙两车第一次相遇后，t为何值时两车相距25 km. 分析：(1)设每辆A型车、B型车坐满后分别载客x人、y人，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； (2)设租用A型车m辆，则租用B型车(10－m)辆，由题意列出一元一次不等式组，解不等式组，求整数解即可得出m可取的值，设总租金为w元，根据一次函数的增减性即可求解； (3)设s甲＝kt，s乙＝k1t＋b，由题意可知，甲车的函数图象经过点(4，300)，乙车的函数图象经过(0.5，0)，(3.5，300)两点．求出函数解析式，进而即可求解． 解：(1)设每辆A型车、B型车坐满后分别载客x人、y人．由题意得解得 答：每辆A型车、B型车坐满后分别载客40人、55人． (2)设租用A型车m辆，则租用B型车(10－m)辆．由题意得解得5≤m≤8. 因为m取正整数，所以m可以取5，6，7，8.所以共有4种租车方案． 设总租金为w元，则w＝500m＋600(10－m)＝－100m＋6 000. 因为－100＜0，所以w随m的增大而减小，所以当m＝8时，w最小．所以租8辆A型车，2辆B型车最省钱． (3)设s甲＝kt，s乙＝k1t＋b.由题意可知，甲车的函数图象经过点(4，300)，乙车的函数图象经过(0.5，0)，(3.5，300)两点． 所以易得s甲＝75t，s乙＝100t－50.因为甲、乙两车第一次相遇后相距25 km，所以s乙－s甲＝25，即100t－50－75t＝25，解得t＝3，或300－75t＝25，解得t＝.所以，在甲、乙两车第一次相遇后，t＝3或时两车相距25 km. 例2　(教材P109复习题T15拓展)A城有肥料200 t，B城有肥料300 t．现要把这些肥料全部运往C，D两乡．从A城往C，D两乡运肥料的费用分别为20元/t和25元/t；从B城往C，D两乡运肥料的费用分别为15元/t和24元/t.现C乡需要肥料240 t，D乡需要肥料260 t，设A城运往C乡的肥料为x t，A，B两城往C乡运肥料的总费用为y1元，A，B两城往D乡运肥料的总费用为y2元． (1)分别写出y1，y2关于x的函数解析式，并指出自变量的取值范围； (2)怎样调运可使总运费最少？请求出最少总运费； (3)由于从B城到D乡开辟了一条新的公路，使B城到D乡的运输费用每吨减少了a元(2≤a≤8)，现在又该怎样调运才能使总运费最少？请求出最少总运费(用含a的式子表示)． 分析：(1)从A，B两城分别运往C，D两乡的肥料，不得大于两城各自的肥料储量，且不能小于0，即可得到取值范围； (2)结合(1)中的取值范围与函数增减性求解； (3)a的取值可能影响到函数的增减性，需要对a的取值进行分类讨论并结合自变量的取值范围来确定最值． 解：(1)根据题意，得y1＝20x＋15(240－x)，化简得y1＝5x＋3 600，0≤x≤200； y2＝25(200－x)＋24[300－(240－x)]，化简得y2＝－x＋6 440，0≤x≤200. (2)设总运费为y元．根据题意，得y＝y1＋y2，所以y＝5x＋3 600＋(－x＋6 440)＝4x＋10 040，即y关于x的函数解析式为y＝4x＋10 040. 因为4＞0，所以y随x的增大而增大，所以当x＝0时，y有最小值，最小值为10 040. 所以从A城运往D乡200 t，从B城运往C乡240 t，从B城运往D乡60 t，此时总运费最少，最少总运费为10 040元． (3)设开辟新公路后的总运费为y′元．根据题意，得y′＝20x＋15(240－x)＋25(200－x)＋(24－a)[300－(240－x)]，整理，得y′＝(4－a)x＋10 040－60a，0≤x≤200. 因为2≤a≤8，所以分以下几种情况讨论： ①当4－a＞0，即2≤a＜4时，y′随x的增大而增大，所以当x＝0时，y′有最小值，最小值为10 040－60a； ②当4－a＜0，即4＜a≤8时，y′随x的增大而减小，所以当x＝200时，y′有最小值，最小值为10 840－260a； ③当4－a＝0，即a＝4时，y′＝9 800. 综上所述，当2≤a＜4时，从A城运往D乡200 t，从B城运往C乡240 t，从B城运往D乡60 t，此时总运费最少，最少总运费为(10 040－60a)元；当4＜a≤8时，从A城运往C乡200 t，从B城运往C乡40 t，从B城运往D乡260 t，此时总运费最少，最少总运费为(10 840－260a)元；当a＝4时，在满足实际的情况下可自由调运，总运费恒定不变，为9 800元．