21.3 第2课时二次函数与一元二次不等式.docx

21.3二次函数与一元二次方程 第2课时 二次函数与一元二次不等式 教学目标 【知识与能力】 1．通过探索，理解二次函数与一元二次不等式之间的联系； 2．会用二次函数的图象求出一元二次不等式的解集。 【过程与方法】 经历探究二次函数与一元二次方程、一元二次不等式关系的过程,体会函数、方程、不等式之间的联系。 【情感态度价值观】 进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神。 教学重难点 【教学重点】 二次函数与一元二次不等式之间的联系。 【教学难点】 用二次函数的图象求出一元二次不等式的解集。 课前准备 课件等。 教学过程 一、情境导入 如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，你能通过观察图象得到关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集吗？请你直接写出来． 二、合作探究 探究点一：二次函数与一元二次不等式的关系 【类型一】 利用抛物线解一元二次不等式 例1 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(　　) A．x＜2 B．x＞－3 C．－3＜x＜1 D．x＜－3或x＞1 解析：观察图象，可知当x<－3或x>1时，抛物线在x轴上方，此时y＞0，即ax2＋bx＋c＞0，∴关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是x<－3或x>1.故选D. 方法总结：抛物线y＝ax2＋bx＋c在x轴上方部分的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方部分的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集，所以利用二次函数的图象，可以直观地求得一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0的解集． 【类型二】 确定抛物线相应位置的自变量的取值范围 例2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则函数值y在x轴下方时，x的取值范围是(　　) A．x＜－1 B．x＞3 C．－1＜x＜3 D．x＜－1或x＞3 解析：由二次函数图象可知，当－1＜x＜3时，函数图象在x轴的下方．故选C. 方法总结：利用数形结合思想来求解．当y＝0时，对应x的值为x1＝－1，x2＝3，当y＞0时，看抛物线在x轴上方的部分，x的取值范围是x＜－1或x＞3；当y＜0时，看抛物线在x轴下方的部分，x的取值范围是－1＜x＜3. 例3 已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，与y轴的交点坐标为(0，3)． (1)求出b，c的值，并写出此二次函数的关系式； (2)根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围． 解析：用待定系数法将已知两点的坐标代入二次函数关系式，即可求出b，c的值，然后通过解一元二次方程求抛物线与x轴的另一个交点坐标，由图象法求得函数值y为正数时，自变量x的取值范围． 解：(1)由题意得 解得 故所求关系式为y＝－x2＋2x＋3； (2)令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)． ∴由图象可知函数值y为正数时，自变量x的取值范围是－1＜x＜3. 探究点二：抛物线y＝ax2＋bx＋c的位置与b2－4ac的关系 例4 求证：无论a是什么实数，二次函数y＝x2＋ax＋a－2的图象都与x轴有两个不同的交点． 解析：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，于是问题就转化成证明Δ>0的问题． 证明：由题意知Δ＝a2－4(a－2)＝a2－4a＋8＝(a－2)2＋4.∵无论a取什么实数，(a－2)2≥0，∴(a－2)2＋4>0，即Δ>0.∴无论a是什么实数，二次函数y＝x2＋ax＋a－2的图象都与x轴有两个不同的交点． 三、板书设计 教学反思 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，学会利用图象的直观性和性质来解决问题，体会数形结合思想． - 3 -