21.2.2　公式法.DOCX

21.2.2　公式法 教师备课　素材示例 ●类比导入　解下列一元二次方程： (1)x2＋4x＋4＝0；(2)6x2－7x＋1＝0；(3)5x2－15x＋14＝0；(4)2x2＋6x＋15＝0. 然后让学生仔细观察四个方程的解答过程，由此发现有什么相同之处，有什么不同之处？ 接着再改变上面每个方程的其中一个系数，得到四个新的方程： (1)2x2＋4x＋4＝0；(2)6x2－5x＋1＝0；(3)5x2－15x－40＝0；(4)2x2＋x＋15＝0. 问题1：新方程与原方程的解答过程相比，有什么变化？ 【归纳】用配方法解不同的一元二次方程的过程中，相同之处是配方的过程(程序化的操作)，不同之处是方程的根的情况及其方程的根. 问题2：既然过程是相同的，为什么根会不同？方程的根与什么有关？有怎样的关系？如何进一步探究？ 【归纳】因为系数发生了变化，所以根会不同．方程的根与系数有关系． 【教学与建议】教学：①复习巩固旧知识，为本节课的学习打下更好的基础；②让学生充分感受用配方法解各种题型；③引导学生感受、猜测方程的根与系数有一定的关系．建议：在学生利用配方法解一元二次方程时，分组解答． ●复习导入　提问：怎样用配方法解一元二次方程？ (1)①移项； ②化二次项系数为1； ③方程两边都加上一次项系数的一半的平方； ④原方程变形为(x＋m)2＝n的形式； ⑤如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． (2)用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0). 移项，得__ax2＋bx＝－c__．二次项系数化为1，得__x2＋x＝－__． 配方，得__x2＋x＋()2＝－＋()2__，即(x＋)2＝. 因为a≠0，所以4a2＞0. 当b2－4ac＞0时，得__x＋＝±__，所以__x＝－±__， 即x1＝，x2＝. 当b2－4ac＝0时，得x1＝x2＝－. 当b2－4ac<0时，方程无实数根． 【教学与建议】教学：让学生回顾旧知，加深对配方法的理解．建议：全班同学在练习本上运算，请两名小组代表去黑板上练习． 命题角度1　利用b2－4ac判断一元二次方程根的情况 用式子b2－4ac判断方程根的情况：若b2－4ac＞0，则方程有两个不等的实数根；若b2－4ac＝0，则方程有两个相等的实数根；若b2－4ac＜0，则方程无实数根． 【例1】(1)一元二次方程x2－2x－1＝0根的情况是(D) A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 (2)不解方程，直接判定下列一元二次方程根的情况． ①2x2＋3x－4＝0; ②3x2＋2＝2x. 解：①Δ＝32－4×2×(－4)＝41＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； ②方程化为一般式为3x2－2x＋2＝0， Δ＝(－2)2－4×3×2＝0，∴方程有两个相等的实数根． 命题角度2　利用公式法解一元二次方程 用公式法解一元二次方程时，先将方程化为一般形式，再代入公式，判断b2－4ac与0的大小关系，最后代入公式求根． 【例2】解方程：16x2＋8x＝3. 解：方程化为16x2＋8x－3＝0.a＝16，b＝8，c＝－3. Δ＝b2－4ac＝82－4×16×(－3)＝256＞0. 方程有两个不相等的实数根x＝＝＝， 即x1＝，x2＝－. 命题角度3　根据方程根的情况求字母系数的值或取值范围 利用方程根的情况与b2－4ac的值的对应关系确定字母系数的值或取值范围． 【例3】(1)若关于x的一元二次方程x2＋3x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为(B) A．m≤ B．m＜ C．m≤ D．m＞ (2)若关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个相等的实数根，则k的值为__－1__． (3)若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋3x＋2＝0有实数根，则m的取值范围是__m≤且m≠1__． 命题角度4　一元二次方程根的判别式的实际应用 在解决实际问题时，利用根的判别式判断一元二次方程解的情况. 【例4】小林准备进行如下操作试验：把一根长为20 dm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于12 dm2.”他的说法对吗？请说明理由． 解：小峰的说法是对的．理由如下：假设这两个正方形的面积之和可以等于12 dm2.设此时其中一个正方形的边长为x dm，则另一个正方形的边长是(5－x)dm.由题意可得x2＋(5－x)2＝12.化简，得2x2－10x＋13＝0. ∵b2－4ac＝(－10)2－4×2×13＝－4<0，∴此方程没有实数根， ∴小峰的说法是对的． 考古结果表明，在大约公元前2000年，由于生产的需要，古巴比伦人就能解部分较为特殊的一元二次方程了，公元前300年左右，欧几里得提出了抽象的图解法来解一元二次方程，但缺陷是只能求正根．公元前250年左右，丢番图在《算术》中提出一元二次方程问题，但是当时的人们未找到它的求根公式． 公元7世纪，印度的婆罗摩笈多首次使用代数方法解出一元二次方程，且同时容许有正负数的根． 公元8世纪，阿拉伯的花拉子米独立地发展了一套公式来求方程的正数解，并首次提出了方程一般解法，萨瓦索达在Liber embadorum中首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲． 我国是世界最早研究一元二次方程的国家之一．约公元前480年，中国人已经使用配方法求得了方程的正根．《九章算术》“勾股”章里就有涉及求方程x2＋34x－71 000＝0的正根的问题．三国时期赵爽巧妙应用出入相补原理，从几何直观出发，在《勾股圆方图注》中列出了关于直角三角形三边关系和引申的有关二次方程的命题和结果．公元729年唐朝天文学家张遂在《大衍历》中，用文字叙述给出了一元二次方程x2＋px＋q＝0(p＞0，q＜0)的求根公式．宋朝著名数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》(1275年)一书中，详细记载了一元二次方程的四种解法(含配方法)． 高效课堂　教学设计 1．理解一元二次方程求根公式的推导． 2．会用求根公式解简单数字系数的一元二次方程． ▲重点 求根公式的推导和公式法的应用． ▲难点 一元二次方程求根公式的推导． ◆活动1　新课导入 用配方法解方程：(1)x2＋3x＋2＝0；(2)2x2－3x－5＝0. 解：(1)x1＝－1，x2＝－2；(2)x1＝－1，x2＝. 任何一个一元二次方程都可以写成ax2＋bx＋c＝0的形式，我们是否也能用配方法求出它的解呢？想想看，该怎样做？ ◆活动2　探究新知 教材P9　探究． 提出问题： (1)运用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ (2)请结合“步骤”解方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，移项得__ax2＋bx＝－c__，二次项系数化为1得__x2＋x＝－__，两边同时加一次项系数一半平方得__x2＋x＋＝－__．左边写成完全平方式，右边整理得__(x＋)2＝__； (3)(x＋)2＝两边能直接开平方求解吗？为什么？你觉得应该怎么办？ 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当__b2－4ac≥0__时，x＝，这个式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的__求根公式__． 2．式子__b2－4ac__叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式．Δ＞0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__有两个不相等的实数根__；Δ＝0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__有两个相等的实数根__；Δ＜0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__没有实数根__． 提出问题： (1)一元二次方程根的情况是由什么决定的？ (2)用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？需要注意什么问题？ ◆活动4　例题与练习 例1　教材P11　例2. 例2　不解方程，判断下列方程的根的情况． (1)x2－2x＋1＝0；(2)3x2＋4x＋5＝0；(3)－x2＋7x＋6＝0. 解：(1)b2－4ac＝0，∴方程有两个相等的实数根； (2)b2－4ac＝－44＜0，∴方程无实数根； (3)b2－4ac＝73＞0，∴方程有两个不相等的实数根． 例3　关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－1＝0有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根． 解：(1)依题意，得Δ＝(2m＋1)2－4(m2－1)＝4m＋5＞0，解得m＞－； (2)答案不唯一，如：m＝1.此时方程为x2＋3x＝0，解得x1＝－3，x2＝0. 练习 1．教材P12　练习第1，2题． 2．关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个相等的实根，则(　B　) A．k＝－4　　　　B．k＝4　　　　C．k≥－4　　　　D．k≥4 3．关于x的一元二次方程x2＋ax－1＝0的根的情况是(　D　) A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 4．若关于x的一元二次方程x2－4x－m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是__m＞－4__． ◆活动5　课堂小结 1．求根公式的概念及其推导过程． 2．公式法的概念． 3．运用公式法解一元二次方程的步骤：(1)将所给的方程化成一般形式，注意移项要变号，尽量让a＞0；(2)找出系数a，b，c，注意各项系数及符号；(3)计算b2－4ac的值，若结果为负数，方程无解；若结果为非负数，代入求根公式算出结果． 1．作业布置 (1)教材P17　习题21.2第4，5题； (2)对应课时练习． 2．教学反思