5.1.2 垂线 2.docx

5.1.2　垂 线 教学目标 1. 了解垂直概念； 2. 能说出垂线的性质“经过一点；能画出已知直线的一条垂线， 并且只能画出一条垂线”； 3. 会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线． 重点：两直线互相垂直的有关性质． 难点：过直线上（外）一点作已知直线的垂线． 教学过程 一、 创设情境，引入课题 生活中的垂线 二、目标导学,探索新知 目标导学1：垂直的定义 活动1 在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b，当b的位置变化时，a、b所成的角α也会发生变化. 当α =90°时,a与b垂直.当α ≠90°时,a与b不垂直，叫斜交. 1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角(90°)时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。 （说明）从垂直的定义可知，判断两条直线互相垂直的关键：只要找到两条直线相交时四个交角中有一个角是直角。 2. 垂直的表示：用“⊥”和直线字母表示垂直 例如、如图，a、b互相垂直, 垂足为O，则记为：a⊥b或b⊥a, 若要强调垂足，则记为：a⊥b, 垂足为O.或a⊥b于O. 实际应用：日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常见,说出图中的一些互相垂直的线条.你能再举出其他例子吗? 试一试： 1、下面四种判定两条直线垂直的方法，正确的有 （ ）个 （1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角， 则这两条直线互相垂直 （2）两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直 （3）两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线互相垂直 （4）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直 （A） 4 （B） 3 （C） 2 （D） 1 2.如图，已知ＡＯＢ为一直线，∠ＡＯＤ：∠ＢＯＤ＝３：１，ＯＤ平分∠ＣＯＢ，（１）求∠ＡＯＣ的度数；（２）判断ＡＢ与ＯＣ的位置关系． 目标导学2：垂线的书写形式 当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O． 书写形式1：因为∠AOD=90°（已知） 所以AB⊥CD（垂直的定义）反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD=90° 书写形式2：．如图．直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，OB平分∠ DOF，∠DOE=50°，求∠AOC、 ∠ EOF、 ∠ COF的度数． 垂线的定义 学习目标3：垂线的画法和垂线性质1 活动2 （一）画已知直线的垂线 （1）如图1，已知直线 m,作m的垂线。 图1 图2 （2）如图2，已知直线m和m上的一点A ,作m的垂线. （1）靠:把三角板的一直角边靠在直线上; （2）移:移动三角板到已知点; （3）画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线. 思考： (1)画已知直线m的垂线能画几条? (2)过直线m上的一点A画m的垂线,这样的垂线能画几条? (3)过直线m外的一点A画m的垂线,这样的垂线能画几条? 试一试： 过点p 向线段AB所在直线引垂线，正确的是（ ）. 垂线的性质1 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 说明： （1）“过一点”包括几种情况？线上和线外；（2）“有且只有”是什么意思？存在性与唯一性。 （二）过点P作线段或射线所在直线的垂线 注意:过一点画已知线段(或射线)的垂线,就是画这条线段(或射线)所在直线的垂线.画线段(或射线)的垂线时,有时要将线段延长(或将射线反向延长)后再画垂线. 试一试： 1. 如图，分别过A、B、C ,作BC、AC、AB的垂线。 2. 如图，过P分别作OA、OB的垂线。 学习目标3：垂线的性质 活动3 比较过直线m外一点O与m相交的所有线段中，哪一条最短？ 垂线的性质2 直线外一点与直线上各点连结的所有线段中．垂线段最短．即：垂线段最短． 点到直线的距离 直线外一点到已知直线的垂线段的长度就叫做点到直线的距离． 应用：在体育课上，老师是怎样测量同学们的跳远成绩的？你能尝试说明其中的理由吗？ 做法：将尺子拉直与踏板边所在直线垂直，取最近的脚印后跟与踏板边沿之间的距离就是跳远成绩． 理由：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短． 四、垂线的定义与性质的应用 1.如图．直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，OB平分∠ DOF，∠DOE=50°，求∠AOC、 ∠ EOF、 ∠ COF的度数． 解：因为AB⊥OE （已知） 所以 ∠EOB=90°(垂直的定义) 因为∠DOE= 50° （已知） 所以 ∠DOB=40°(互余的定义) 所以∠AOC= ∠DOB=40°（对顶角相等） 又因为OB平分∠DOF 所以∠BOF= ∠DOB=40°（角平分线定义） 所以∠EOF= ∠EOB+ ∠BOF=90°+40°=130° 所以∠COF=∠COD－∠DOF=180°－80°=100° (邻补角定义) 2.如图,一辆汽车在一段笔直的公路上从Ａ村开往B村,Ｐ村不在路AB 上． （1）如果有一人想在Ａ、Ｂ两村之间下车,前往P村,他在哪里下车走的路程最短？请画出图形,并说明原因． （2）汽车在哪一段路上行驶时,与P村的距离越来越近？汽车在哪一段路上行驶时,与P村的距离越来越远？ 答案：（1）在O点下车走的路程最短. 原因：垂线段最短． （2）在AO路段上行驶时,与P村的距离 越来越近,在OB路段上行驶时,与P 村的距离越来越远． 3.下面四种判定两条直线的垂直的方法．正确的个数为（ ） ①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角．则这两条直线互相垂直 ②两条直线相交．只要有一组邻补角相等．则这两条直线互相垂直 ③两条直线相交．所成的四个角相等．这两条直线互相垂直 ④两条直线相交．有一组对顶角互补．则这两条直线互相垂直 A．5 B．4 C．3 D．2 三、 巩固训练，熟练技能 1..两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是 （ ） （A） 有两个角相等 （ B）有两对角相等 （C） 有三个角相等 （ D）有四对邻补角 2.如图所示，在△ABC中，∠ABC=90， ①过点B作三角形ABC的AC边上的高BD，过D点作三角形 ABD的AB边上的高DE。 ②点A到直线BC的距离是线段__________的长度. 点B到直线AC的距离是线段__________的长度. 点D到直线AB的距离是线段__________的长度 线段AD的长度是点________到直线_______的距离. l 如图AB⊥CD垂足为O,∠COF=56°，求∠AOE. 4.如图：直线AB和 CD相交于点O,OE⊥AＢ,OF⊥ＣＤ,∠ＢOF=40º,求∠ＤOE和∠AOC的度数. 四、 归纳总结，板书设计 1. 垂直的概念：如果两条直线相交所成的四个角中,有一个是直角,就说这两条直线互相垂直. 2. 垂线的性质1：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 3. 垂线的性质2：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中．垂线段最短． 五、课后作业，目标检测 见本教辅同步内容 【教学备注】 【教学提示】引导学生通过木条的转动过程得出垂线的定义。 【教学提示】对垂线概念进行小结。 【教学提示】通过画垂线的过程，引导学生思考，得出性质1. 教学反思 垂线是平面几何所要研究的基本内容之一．垂线的概念、画法和性质是重要的基础知识，是进一步学习平面直角坐标系、三角形的高、切线的性质和判定、以及空间里的垂直关系等知识的基础，与其他数学知识一样，它在现实生活中有着广泛的应用．垂线的概念和性质，蕴含着“从一般到特殊”的认识规律，是培养学生思维能力的重要内容之一．垂线的概念和性质是本节课的重点，也是全章的内容之一；经过一点画已知直线的垂线，是本节课的一个难点，在这个地方应让学生多观察，多思考．让学生动手画一画，试一试.鼓励学生思考并在小组内交流，全班交流．教师引导学生总结以上两个结论．全班内交流成果．教师板书学生的结论:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.引导学生分清“互相垂直”与“垂线”的区别与联系：（１）“互相垂直”指两条直线的位置关系；（２）“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名． 如果说两条直线“互相垂直”时，其中一条必定是另一条的“垂线”， 如果一条直线是另一条直线的“垂线”，则它们必定“互相垂直”.