《平行四边形的判定》创新题.doc

5.2 平行四边形的判定 一、七彩题 1．（一题多解题）如图所示，在□ABCD中，点E，F都在对角线AC上，且AE=CF，连结DE，BE，DF，BF，则四边形DEBF是平行四边形吗？为什么？ 二、知识交叉题 2．（科外交叉题）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD>BC，BC=6cm，P，Q分别是线段AD，BC上两动点，P，Q分别从A，C出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q 以2cm/s的速度由C向B运动，P，Q两点同时开始运动，且开始运动的时刻是0．P，Q 运动到顶点处即停止运动，问：第几秒时，四边形ABQP是平行四边形？ 三、实际应用题 3．如图所示，某城市中心有一个小公园，在它的四个角A，B，C，D 处均有一棵古树，城建部门准备扩建公园，要求使公园的面积扩大一倍， 而且必须保持四棵古树不动，并要求建成以后的公园呈平行四边形形状．问：该城市能否实现这一设想？若能，请你设计方案并画出图；若不能，请说明理由． 四、经典中考题 4．（达州）如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，EF分成四个部分，分别种上红，黄，紫，白四种花卉，种植面积依次是S1，S2，S3，S4．若MN ∥AB ∥DC，EF∥DA∥CB，则有（ ） A．S1=S4 B．S1+S4=S2+S3 C．S1S4=S2S3 D．都不对 五、探究学习 1．（条件开放题）如图所示，在□ABCD中，P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7是对角线BD 的八等分点，你是否可以从这七个分点中选取两个点，使得这两点和点A，点C 为顶点的四边形是平行四边形？如果可以，请你写出一个这样的平行四边形，并说明理由；如果不可以，请说明理由． 2．实际生活中，我们常碰到这样的例子：对一个物体M 同时施加两个成某个角度的力F1和F2，这个物体的实际受力效果并不是F1与F2的简单叠加，它们的合力F 的大小和方向由以F1和F2为边的平行四边形的对角线决定，如图1所示． 对于既有大小又有方向的量求和时，一般都采用上面的方法，我们把这种方法叫做平行四边形法则， 实际上求两个分为F1，F2的合力F的大小，就是求□F1MF2F的对角线MF的长．下面请利用平行四边形法则来解决一个实际问题：如图2，一条小河缓缓地流着，河水的流速是2km/h，一艘船从A点出发以4km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，实际上，它以怎样的速度向对岸行驶？ 图1 图2 3．（图形方案设计题）某企业有一块等腰三角形的铁板，如图所示， 根据需要，现要把它加工成一个平行四边形的铁板，要把材料完全利用起来， 应该怎样加工呢？把切割的路线用虚线画出来． 参考答案 一、1．解法一：是．理由：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AD=BC，AD∥BC， 所以∠DAE=∠BCF． 在△ADE和△CBF中，因为 所以△ADE≌△CBF（S．A．S．）．所以DE=BF． 同理可证△ABE≌△CDF．所以BE=DF． 所以四边形DEBF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）． 解法二：是．理由：同解法一可证△ADE≌△CBF．所以DE=BF，∠AED= ∠CFB． 所以180°-∠AED=180°-∠CFB．即∠DEF=∠BFE．所以DE∥BF． 所以四边形DEBF 是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 解法三：是．理由：连结BD．如图，交AC于点O． 因为四边形ABCD 是平行四边形，所以OA=OC，OB=OD． 又因为AE=CF，所以OA-AE=OC-CF，即OE=OF， 所以四边形DEBF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 点拨： 解法一利用了“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的判定方法；解法二利用了“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法，解法三利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判别方法． 二、2．解：设第x秒时，四边形ABQP是平行四边形，即AP=BQ， 则AP=x，BQ=BC-CQ=6-2x，所以x=6-2x，解得x=2， 所以第2秒时，四边形ABQP是平行四边形． 点拨：这是一道平行四边形的判断与物理知识的交叉题． 三、3．解：能．作法：连结BD，AC交于O点，过A，C分别作BD的平行线，过B，D 分别作AC的平行线，得四边形A′B′C′D′， 如图所示，则四边形A′B′C′D ′为所求作的平行四边形． 理由：因为A′D′∥BD，B′C′∥BD，所以A′D′∥B′C′． 同理得，A′B′∥D′C′．所以四边形A′B′C′D′是平行四边形． 由上述作法知四边形A′BOA，四边形B′COB，四边形CC′DO，四边形ODD′A均为平行四边形． 在□A′BOA中，AA′=BO，A′B=AO，BA=AB， 所以△AA′B≌△BOA．所以SAA`BO =2S△ABO． 同理得SB`COB=2S△BOC，SOC`DO=2S△COD，SAODD` =2S△AOD， 所以SA`B`C`D` =2S四边形ABCD，所以该城市能实现这一设想． 四、4．C 五、探究学习 1．解：可以．例如连结AP1，AP7，CP1，CP7，则四边形AP1CP7就是平行四边形． 理由：因为四边形ABCD是平行四边形，所以ADBC，ABCD， 所以∠ABP1=∠CDP7，所以在△ABP1和△CDP7中， 所以△ABP1≌△CDP7（S．A．S．），所以AP1=CP7． 同理可求AP7=CP1，所以四边形AP1CP7是平行四边形． 点拨：本题答案不惟一，还可取P2，P6两点得到平行四边形AP2CP6；取P3，P5 两点得到平行四边形AP3CP5．理由同上． 2．解：如图所示，以4km/h，2km/h为边构造□ABDC，使AB= 2km/h， AC=4km/h，因为四边形ABDC是平行四边形，所以BD=AC=4（km/h）． 在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AD2=AB2+BD2=22+42=20． 所以AD==2（km/h）． 答：略． 点拨：注意河水的速度与轮船的速度是互相垂直的， 所以构成的平行四边形实际上是长方形． 三、3．方法一：作法：（1）分别取AB，AC的中点D，E，分别过点D，E作DM⊥BC，EN⊥BC垂足分别为M，N；（2）将△BDM，△CEN分别裁下来，如图拼接，可得平行四边形M′MNN′，此平行四边形即为所求（如图1所示）． 图1 图2 图3 方法二：作法：（1）分别取AB，AC的中点D，E；（2）沿DE裁下△ADE并以点E 为中心旋转至△CD′E，平行四边形DD′CB即为所求（如图2所示）． 方法三：作法：（1）作△ABC的BC边上的中线AD；（2）将△ABC沿AD裁开， 并将△ABD移至△AB′C处，则平行四边形ADCB′即为所求（如图3所示）． 6 / 6