第2课时　二次函数与商品利润问题.DOCX

第2课时　二次函数与商品利润问题 教师备课　素材示例 ●置疑导入　一种商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出25件．已知该商品的进价为每件40元，请问： ①题中调整价格的方式有几种？②如何表示价格和利润之间的关系？③如何确定x的取值范围？④如何定价才能使每星期的销售利润最大？ 【教学与建议】教学：从学生感兴趣的经济问题入手，通过学生观察、思考，小组内相互交流后建立数学模型．建议：关注学生是否能够考虑到两种调整价格的方式，同时注意到两种价格调整方式中自变量的取值范围． ●复习导入　(1)请求出下列二次函数的最大值或最小值： ①y＝2x2－8x＋1；②y＝－x2－6x＋3. (2)用一根长为40 m的绳子围成一个矩形，求围成的矩形的最大面积是多少. 【教学与建议】教学：复习旧知识，强调模型化思想．建议：对于第(1)题可指导学生运用两种不同的方法进行解答；对于第(2)题应先确定矩形的长和宽，再利用矩形的面积公式列函数解析式，最后求最值. 命题角度　利用二次函数的性质解决最大利润问题 此类问题的常见题型：(1)利用二次函数解决最大利润问题；(2)一次函数与二次函数的图象结合解决最大利润问题． 【例】(1)某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系：y＝ax2＋bx－75.其图象如图． ①销售单价为__10__元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为__25__元； ②销售单价在__7≤x≤13__元时，该种商品每天的销售利润不低于16元． (2)某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y(kg)与销售单价x(元)符合一次函数关系，如图． ①求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； ②若在销售过程中每天还要支付其他费用500元，当销售单价为多少时，该经销商日获利最大？最大获利是多少元？ 解：①设y＝kx＋b，把(30，140)，(50，100)代入，由待定系数，得k＝－2，b＝200. ∴y＝－2x＋200(30≤x≤60)； ②设日获利为W，则W＝(－2x＋200)(x－30)－500＝－2x2＋260x－6 500＝－2(x－65)2＋1 950(30≤x≤60). ∵－2＜0， ∴当30≤x≤60时，W随x的增大而增大， ∴当x＝60时，W最大＝－2×(60－65)2＋1 950＝1 900， ∴销售单价为每千克60元时，该经销商日获利最大，最大获利是1 900元． 高效课堂　教学设计 1．让学生能够用二次函数知识解决商品最大利润问题． 2．让学生能够根据实际问题构建二次函数模型． ▲重点 用二次函数知识解决商品最大利润问题． ▲难点 建立二次函数模型． ◆活动1　新课导入 某市某中学要印制本校高中招生的录取通知书，有两个印刷厂前来联系制作业务．甲厂的优惠条件是：按每份定价1.5元的八折收费，另收900元制版费；乙厂的优惠条件是：每份定价1.5元的价格不变，而制版费900元六折优惠．且甲、乙两厂都规定：一次印刷数至少是500份． (1)分别求两个印刷厂收费y(元)与印刷数量x(份)的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； (2)如何根据印刷的数量选择比较合算的方案？ 解：(1)y甲＝1.5×80%·x＋900＝1.2x＋900(x≥500)； y乙＝1.5x＋900×60%＝1.5x＋540(x≥500)； (2)由题意，得1.2x＋900＝1.5x＋540，解得x＝1 200. ∴当印刷1 200份时，两个印刷厂费用一样； 当印刷数量大于1 200份时，甲印刷厂费用少； 当印刷数量大于500小于1 200份时，乙印刷厂费用少． 引入：正如一次函数能解决经济问题一样，二次函数在商品利润问题中的应用也十分广泛，让我们一起进入今天的学习吧． ◆活动2　探究新知 1．教材P50　探究2. 提出问题： (1)问题中的定价可能在现在售价的基础上涨价或降价，获取的利润会一样吗？如果你是老板，你会怎样定价？ (2)若设每件涨价x元，获得的利润为y元，则每星期少卖多少件？实际卖出多少件？销售额为多少元？买进商品时需付多少元？由此你得到的函数解析式是什么？何时有最大利润，最大利润为多少元？ (3)若设每件商品降价x元，获得的利润为y元，则每星期多卖多少件？实际卖出多少件？销售额为多少元？买进商品时需付多少元？由此你得到的函数解析式是什么？何时有最大利润，最大利润为多少元？ (4)由此可知应如何定价才能使利润最大？ 学生完成并交流展示． 2．某商场卖一种服装，由经验可知，销售利润与销售定价之间存在二次函数关系，且二次函数的系数a小于0，据调查，当定价为150元或300元时，能获得相同的利润，则要使利润最大，其售价应为多少元？ 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 1．商品单件利润＝售价－进价． 2．总利润＝单件利润×销售总数量． ◆活动4　例题与练习 例1　春节期间，物价局规定花生油最低价格为4.1 元/L，最高价格为4.5元/L，小王按4.1 元/L购入，若原价卖出，则每天平均可卖出200 L，若价格每上涨0.1元，则每天少卖20 L油，问油价定为多少时，每天获利最大？最大获利为多少？ 解：设油价定为x元/L时获利y元，则y＝(x－4.1)(200－×20)＝－200(x－4.6)2＋50. ∵4.1≤x≤4.5， ∴当x＝4.5时，y最大值＝－200×(4.5－4.6)2＋50＝48， 即油价定为4.5元/L时，每天获利最大，最大获利为48元． 例2　为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)满足一次函数关系：y＝－10x＋1 200. (1)求利润W(元)与销售单价x(元)之间的关系式(利润＝销售额－成本)； (2)当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？ 解：(1)W＝y(x－40)＝(－10x＋1 200)(x－40)＝－10x2＋1 600x－48 000； (2)W＝－10x2＋1 600x－48 000＝－10(x－80)2＋16 000， ∴当销售单价定为80元时，该公司每天获取的利润最大，最大利润是16 000元． 练习 1．教材P51　习题22.3第2题． 2．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个；若这种商品在一定范围内每降价1元，每日销量就增加1个．为了获得最大利润，则应该降价(　A　) 　A．5元　　　　B．10元　　　　C．15元　　　　D．20元 3．某商品单个利润y(元)与变化的单价x(元)之间的关系为y＝－5x2＋10x，当0.5≤x≤2时，最大利润是__5__元． ◆活动5　课堂小结 1．用二次函数解决商品利润问题的方法． 2．解决利润相关问题中需要注意的问题． 1．作业布置 (1)教材P52　习题22.3第8题； (2)对应课时练习． 2．教学反思