《特殊平行四边形》综合应用.doc

第6章 特殊平行四边形 一、学科内综合题 1.（1分）矩形的对角线相交构成的钝角为120°，短边等于5 cm，则对角线的长为 . 2. （1分）菱形的面积为24 cm2，边长为5 cm，则该菱形的对角线长分别为 . 3.（2分）已知□中对角线AC的垂直平分线交AD于点F，交BC于点E. 求证：四边形AECF是菱形. 证明：∵EF是AC的垂直平分线（已知） ∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）. 老师说小明的解答不正确 ⑴你能找出小明错误的原因吗？请你指出来. ⑵请你给出本题的证明过程. 4.（3分）如图，四边形ABCD是一个正方形. ⑴请你在平面内找到一个点O，并连接OA、OB、OC、OD使得到△OAB、△BOC、△COD、△OAD都是等腰三角形. ⑵这样的点，你能找到多少个？ ⑶试写出你找到的等腰三角形的顶角的度数. 5.（5分）已知□，对角线AC、BD相交于点O. ⑴若AB=BC，则□是 . ⑵若AC=BD，则□是 . ⑶若∠BCD=90°，则□是 . ⑷若OA=OB，且OA⊥OB，则□是 . ⑸若AB=BC，且AC=BD，则□是 . 6.（2分）如图，已知AE是正方形ABCD中∠BAC的平分线，AE交BD、BC于点E、F，AC、BD相交于点O. 求证：OF＝CE. 二、综合创新应用题 1.⑴四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图1所示.它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为13.每个直角三角形两直角边的和为5，求中间小正方形的面积. ⑵现在一张长为6.5，宽为2的纸片，如图2，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形.（要求：先在图2中画出分割线，再画出拼成的正方形草图并标明相应数据） 2.请你画出把下列矩形的面积两等分的直线，并且根据你所画的直线回答下列问题. ⑴在一个矩形中，把此矩形面积两等分的直线最多有多少条？它们必须都经过哪个点？ ⑵你认为还有具有这个性质的四边形吗？如果有，请你找出来. ⑶你认为具有此性质的四边形应该具有什么特征的四边形呢？ 3.木匠师傅要检查一下一扇窗是否是矩形的，可是他身上只带一把卷尺，你能说明一下木匠师傅可以用什么样的方法进行检验吗？请你说明这样操作的依据是什么？ 4.请阅读如下材料. 如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD于点O，E是AC上一点，AG⊥BE，垂足为G.求证：OE=OF. 证明：∵四边形ABCD是正方形. ∴∠BOE=∠AOF=90°,且OA=OE. 又∵AG⊥BE，∴∠1+∠3＝90°＝∠2+∠3，即∠1＝∠2. ∴Rt△BOE≌Rt△AOF,∴OE=OF. ⑴根据你的理解，上述证明思路的核心是利用 使问题得以解决，而证明过程中的关键是证出 . ⑵若上述命题改为：点E在AC的延长线上，AG⊥BE交EB的延长线于点G，延长AG交DB的延长线于点F，如图，其他条件不变. 求证：OA=OE. 5.某乡镇四个村庄A、B、C、D正好位于一个正方形的四个顶点，现计划由四个村庄联合架设一条线路，现设计了四种架设方案.如图中实线部分，请你帮助计算一下，哪种方案最省电线. 三、中考模拟题 1.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行. ⑴先截出两对符合规格的铝合金窗（如图①）使AB＝CD，EF＝GH； ⑵摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数学是： ； ⑶将直角尺靠窗框一个角（如图3）调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图4）说明窗框合格.这是窗框是 形.根据的数学道理是： . 2.如图，□的对角线交于点O，且ADCD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M，如果△CDM的周长为，那么平行四边形ABCD的周长是 . 3.如图，正方形ABCD中，点E、F分别是AB和AD上的点.已知CE⊥BF，垂足为点M. 求证：⑴∠EBM=∠ECB；⑵EB=AF. 4.如图，矩形纸片ABCD，长AD＝9 cm，宽AB＝3 cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为 和 . 5.已知在矩形ABCD中，E为DC边上一点BF⊥AE于点F，且BF＝BC. 求证：AE＝AB. 6.已知菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF. 求证：⑴△ABE≌△ADF；⑵∠AEF=∠AFE. 参考答案 一、学科内综合题 1.10 cm 2.6 cm和8 cm 3.⑴小明错在AC和EF并不是互相平分的，EF垂直平分AC，但AC并不平分EF，需要通过证明得出. ⑵∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠FAC＝∠ECA. 在△AOF与△COE中 ∴△AOF≌△COE，∴EO=FO ∴四边形AECF是菱形. 4.⑴如图所示，九个黑点就是所求的点 ⑵这样的点共有九个 ⑶这些等腰三角形的顶角可能是30°，60°，90°，150° 5.⑴菱形 ⑵矩形 ⑶矩形 ⑷正方形 ⑸正方形 6.提示：取AE的中点M连接OM，则OM＝CE,再证△OFM是等腰三角形，那得OF＝CE . 二、综合创新应用题 1.⑴设直角三角形的长边为，短边为，则解之得， ∴小正方形的面积为. ⑵如图所示. 2.⑴有无数条，它们必须都经过对角线的交点. ⑵正方形、菱形、平行四边形也都是具有这种性质的四边形. ⑶具有此性质的四边形就是中心对称图形的四边形.（答成都是平行四边形也可以） 3.提示：可以先用卷尺测量一下这个四边形的两组对边是否相等，如果相等，那么这个四边形就是平行四边形，再用卷尺测量这个四边形的两条对角线是否相等，如果相等那么这个平行四边形就是矩形. 4.⑴三角形全等，∠1＝∠2 ⑵∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOF＝∠BOE＝90°，且OA＝OB， 又∵∠F+∠FAO=90°,∠E+∠FAO=90°,即∠E=∠F ∴Rt△AOF≌Rt△BOE,∴OE=OF. 5.方案（4）最省电线， 提示：设正方形边长为，则方案①需用线3，方案②需用线3，方案③需用线，则方案④需用线. 故方案④最省线. 三、中考模拟题 1. ⑴平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ⑵矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形. 2.2.提示：由CM垂直平分AC得AM＝MC，所以AD+DC＝.故平行四边形的周长为2. 3.⑴∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABF+∠CBM＝90° ∵CE⊥BF，∴∠ECB+∠CBM=90°， ∴∠EBM=∠ECB. ⑵在Rt△ABF与Rt△CBE中， ∴Rt△ABF≌Rt△CBE（ASA）,∴EB=AF. 4.5 cm和 cm 提示：设DE为，则AE为，在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2 ，即DE＝5 cm. 过F作FM⊥AD于M，由勾股定理得EF＝ cm. 5.∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DEA，∵BF=BC，∴AD=BF. 在Rt△ADE与Rt△BFA中∴△ADE≌△BFA,∴AE=AB. 6.⑴四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠B＝∠D, 在△ABE与△ADF中∴△ABE≌△ADF. ⑵∵△ABE≌△ADF，∴AE=AF,∴∠AEF=∠AFE. 8 / 8