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19.3 课题学习 选择方案 教学设计 课题 课题学习 选择方案 第1课时 单元 19 学科 初中数学 年级 八下 学习 目标 1.函数知识解决方案选择问题，体会函数模型思想. 2.学会综合运用一次函数与方程（组）、不等式（组）等知识解决方案设计问题. 3.实际问题的讲解，培养学生收集、选择、处理数学信息，并作出合理的推断，提高学生在实际问题情境中，建立数学模型的能力. 4.通过对怎样选取上网收费方式的探究，提高阅读理解和逻辑思维能力，从而激发学习数学的兴趣. 重点 运用函数知识选择最佳方案. 难点 从实际问题情境中，建立数学模型，选择最佳方案. 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 导入新课 情境引入】 做一件事情，有时有不同的实施方案.比较这些方案，从中选择最佳方案作为行动计划，是非常必要的.应用数学的知识和方法对各种方案进行比较分析，可以帮助我们清晰地认识各种方案，作出理性的决策. 你能说说生活中需要选择方案的例子吗？ 教师活动：组织学生小组讨论，然后组内选取代表回答. 预设答案: 下面，我们通过“怎样选择上网收费方式”的问题一起来看下如何进行分析和选择. 小组之间进行交流 通过引言，让学生体会到现实中方案选择问题普遍存在，对各种方案运用数学方法作出分析，在此基础上进行理性选择，具有重要的现实意义. 讲授新课 【探究】 下表给出了A，B，C 三种上宽带网的收费方式： 选取哪种方式能节省上网费？ 【分析】设置问题串 问题1：哪种方式上网费是会变化的？哪种不变？ 预设答案：A、B会变化，C不变 问题2：方案C上网费是多少钱？ 预设答案：120元 问题3：方式A，B中，上网费由哪些部分组成？ 当上网时间不超过规定时间时，费用=月费； 当上网时间超过规定时间时，费用=月费+超时费 超时使用价格×超时时间 追问：影响A、B上网费用的因素是什么 上网时间是影响上网费的因素. 【思考】 那这就是两个变量，先变的时间，那上网时间就是自变量，我们设为xh，随之变化的是网费就是函数，我们设方案A网费为y1元，方案B网费为y2元，方案C的网费是常量. 三个方案都表示出来了，那么接下来为了找出哪种方案最省钱，我们需要： (1)先比较两个函数值的大小 (2)再用其中省钱的方式与方案C进行比较 问题1：怎么比较两函数值呢？ 预设答案：要比较它们，需要在x>0的条件下，考虑何时： ① y1=y2；② y1<y2；③ y1<y2. 问题2：你能用适当的方法表示出方式A的上网费用吗？ 分析： 追问：超出的网费应该怎么表示？ 分析：超出的网费=超时使用价格×超时时间，在方案A中超时使用价格是0.05元/min. ★注意这里的时间单位是分钟，需要换算成小时，也就是超时1小时收(0.05×60)元；超时时间呢，用“总共上网时长‒包月时长25h”，也就是(x‒25)小时. 所以超出的网费=0.05×60(x‒25) 即 化简得： 这个函数的图象如图所示： 问题3：类比方式A，你能得出方式B，C的收费金额y2，y3关于上网时间x的函数解析式吗？ 同一平面直角坐标系中画出y2，y3的图象： 引导：结合函数解析式和图象进行比较 (1)在x>0的条件下，考虑何时：①y1=y2；② y1<y2；③ y1>y2. 结合图象可知： 若y1=y2，即3x‒45=50，解方程， 即时，方式A省钱； 当时，方式B省钱. (2)再用其中省钱的方式与方案C (y3)进行比较 当时，方式A省钱；→y1与y3比较 结合图象可知： 在范围内，当取相同的自变量时，y1在y3的下方，即y1＜y3，故选择方式A最省钱. 当时，方式B省钱. →y2与y3比较 结合图象可知： 若y2=y3，即3x-100=120， 解方程， 即时，方式B省钱；当 时，方式C省钱. 汇总： 当上网时间 时，选择方式A省钱； 当上网时间 时，选择方式B省钱； 当上网时间 时，选择方式C省钱； 补充： 思路清晰了，有没有更直接的方法呢？ ★小妙招~比较函数值大小 把最低的部分描出来，就是最省钱的方案. 【归纳】 这个实际问题的解决过程中是怎样思考的？ 观察、思考、 学生分组讨论、交流. 学生独立思考得出结论 思考、小组之间进行交流 独立思考，得出结果. 思考，小组讨论 回顾解决实际问题的过程，并尝试归纳总结. 通过问题串的形式，帮助学生规划思路，让学生感知问题的整体结构和数量关系，是从粗略到精细，从定性到定量的过程. 让学生感知本题中费用随上网时间的变化而变化，并把这两个变量作为研究的对象，并不是自动生成的，需要经过构成要素分析、各要素的可变性分析、变量的确定、变量之间关系的确定及数量表示等过程. 通过前面的分析，在写出函数式的基础上，通过建立一次函数模型，把实际问题转化为一次函数的问题，这是感知问题、分析问题基础上的用一次函数模型对实际问题进行数学表征.通过这种表征，把实际问题转化为函数问题. 让学生体会根据函数图象作出整体时间分段规划，应用方程和不等式解决具体时间段中的函数值大小比较，精细分析数量关系的过程. 强调函数图象对方案选择问题的重要意义，巩固强化学生对于函数图象的理解，进一步感知利用一次函数解决实际问题的步骤. 帮助学生概括应用一次函数解决实际问题的基本思路. 教师活动：教师提出问题，对于学生的回答，给予激励性评价. 【典型例题】 【例1】某通讯运营商推出了三种手机上网流量资费优惠方案： 方案A：按流量计费，0.1元/M； 方案B：20元流量套餐包月，包含500M流量，如果超过500M，超过部分0.22元/M，如果用到1000M，超过1000M的流量不再收费； 方案C：120元包月，无限制使用. 若甲、乙两人每月使用流量分别在300~600M，800~1200M之间，请你分别给出甲乙二人经济合理的选择方案. 思路：用函数表示三种方案的费用，并画出图象. 解：设每月上网流量为xM，每月的流量费用为y元. 方案A：yA=0.1x ，(x≥0) 方案B： 化简得， 方案C：yC=120，(x≥0) 函数图象如图所示： 方案A 令yA=0.1x=20，解得x=200. 令yA=yB，即0.1x=0.22x‒90， 解得x=750. 令yB=0.22x‒90=120，解得 x=1200. 故甲选用方案B，乙选方案A比较经济合理. 【课堂练习】 教师活动：通过抢答的形式，让学生独立思考，再由老师带领整理思路过程. 练习1. 通讯公司就上宽带网推出A，B，C三种月收费方式，这三种收费方式每月所需的费用y(元)与上网时间x(h)的函数关系如图所示，则下列判断错误的是( ) A．每月上网时间不足25h时，选择A方式最省钱 B．每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多 C．每月上网时间为50h时，选择A方式最省钱 D．每月上网费用为120元时，选择C方式上网的时间最长 答案：C 练习２.现有某教学网站策划了A、B两种上网学习的月收费方式， 设每月上网学习时间为x小时，方案A，B的收费金额分别为yA，yB． (1)如图是yB与x之间函数关系的图象，则m＝ ；n＝ (2)写出yA与x之间的函数关系式． (3)选择哪种方式上网学习合算，为什么？ 解：(1)当x＝0时，y＝10，∴m＝10， ∵当x＝50时，折线拐弯，∴n＝50． (2)当0＜x≤25时，yA＝7， 当x≥25时，yA＝7+(x‒25)×0.01×60＝0.6x‒8． ∴yA与x之间的函数关系式为 (3)当0＜x≤50时，yB＝10， 当x≥50时，yB＝10+(x‒50)×0.01×60＝0.6x‒20． 令yA＝10，则有0.6x‒8＝10，解得x=30. ∵ ‒ 8＞‒20，7＜10， ∴当0＜x＜30时，选择A种方式上网学习合算；当x＝30时，选项A、B两种方式上网学习钱数相同；当x＞30时，选择B种方式上网学习合算 学生解答，教师展示给出解答示范． 自主完成练习，然后集体交流评价. 巩固所学知识，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力． 通过本环节的学习，让学生巩固所学知识． 课堂小结 以思维导图的形式呈现本节主要内容： 回顾本节课所讲的内容 通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. 板书 1.应用一次函数性质选择最佳方案的一般步骤 2.特别提醒 对于方案的比较问题，既可以用分类讨论的思想列不等式求解，也可以根据在同一平面直角坐标系中它们所对应的函数图象的情况得出结论. 3.例题讲解 学科网（北京）股份有限公司