4.6一元二次方程根与系数的关系.pptx

4.6一元二次方程根与系数的关系,1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点）2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点）,学习目标,复习引入,1.一元二次方程的求根公式是什么？,想一想：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其他关系吗？,2.如何用判别式b2-4ac来判断一元二次方程根的情况？,对一元二次方程：ax2+bx+c=0(a0)b2-4ac 0 时,方程有两个不相等的实数根.b2-4ac=0 时,方程有两个相等的实数根.b2-4ac 0 时,方程无实数根.,导入新课,算一算 解下列方程并完成填空：（1）x2+3x-4=0;(2)x2-5x+6=0;(3)2x2+3x+1=0.,-4,1,2,3,-1,x1+x2=-3,x1 x2=-4,x1+x2=5,x1 x2=6,讲授新课,猜一猜,（1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？,重要发现如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1 x2=q.,(x-x1)(x-x2)=0.,x2-(x1+x2)x+x1x2=0，,x2+px+q=0，,x1+x2=-p,x1 x2=q.,猜一猜,（2）通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根分别是x1，x2，那么，你可以发现什么结论？,证一证：,一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）,如果 ax2+bx+c=0(a0)的两个根为x1，x2，那么,满足上述关系的前提条件,b2-4ac0.,归纳总结,例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.（1）x2+7x+6=0;,解：这里 a=1,b=7,c=6.=b2-4ac=72 4 1 6=25 0.方程有两个实数根.设方程的两个实数根是 x1,x2,那么 x1+x2=-7,x1 x2=6.,（2）2x2-3x-2=0.,解：这里 a=2,b=-3,c=-2.=b2-4ac=（-3）2 4 2(-2)=25 0,方程有两个实数根.设方程的两个实数根是 x1,x2,那么 x1+x2=,x1 x2=-1.,例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.,解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2.所以：x1 x2=2x2=即：x2=由于x1+x2=2+=得：k=7.答：方程的另一个根是，k=7.,变式：已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.,解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.所以：x1+x2=1+x2=6，即：x2=5.由于x1x2=15=得：m=15.答：方程的另一个根是5，m=15.,例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.,解：根据根与系数的关系可知：,设x1,x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:（1）x1+x2=,(2)x1x2=,(3),(4).,4,1,14,12,练一练,例4：设x1，x2是方程 x2-2(k-1)x+k2=0 的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值.,解：由方程有两个实数根，得=4（k-1）2-4k2 0 即-8k+4 0.由根与系数的关系得 x1+x2=2(k-1),x1 x2=k 2.x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4.由 x12+x22=4，得 2k2-8k+4=4,解得 k1=0,k2=4.经检验，k2=4 不合题意，舍去.,总结常见的求值:,求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.,1.如果-1是方程2x2x+m=0的一个根，则另一个根是_，m=_.,2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1，则：p=,q=.,1,-2,-3,随堂练习,3.已知方程 3x2-19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.,解：将x=1代入方程中：3-19+m=0.解得 m=16,设另一个根为x1,则：1 x1=x1=,4.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4；（1）求k的值；（2）求(x1-x2)2的值.,解：(1)根据根与系数的关系 所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=解得：k=-7；,（2）因为k=-7,所以 则：,5.设x1,x2是方程3x2+4x 3=0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值.(1)(x1+1)(x2+1);(2),解:根据根与系数的关系得：（1）(x1+1)(x2+1)=x1 x2+x1+x2+1=（2）,6.当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1.,解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1.,(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1，,拓展提升,由根与系数的关系，得,7.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+m-2=0（1）若方程有实数根,求实数m的取值范围.（2）若方程两根x1,x2满足x1-x2=1 求m的值.,解：(1)方程有实数根，,m的取值范围为m0.,(2)方程有实数根x1,x2，,(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1，,解得m=8.,经检验m=8是原方程的解,根与系数的关系（韦达定理）,内 容,如果一元二次方ax2+bx+c=0(a0)的两个根分别是x1，x2，那么,应 用,课堂小结,