3.2圆的轴对称性（1）.doc

教 师 备 课 笔 记序号 上课日期 月 日 星期 课题 3.2 圆的轴对称性（1） 课型 新授 教学目标 １．使学生理解圆的轴对称性． ２．掌握垂径定理． ３．学会运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题． 重点和难点 教学重点 垂径定理是圆的轴对称性的重要体现，是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要依据，它有着广泛的应用，因此，本节课的教学重点是：垂径定理及其应用． 教学难点 垂径定理的推导利用了圆的轴对称性，它是一种运动变换，这种证明方法学生不常用到，与严格的逻辑推理比较，在证明的表述上学生会发生困难，因此垂径定理的推导是本节课的难点． 教具准备 师 生 活 动 过 程 一、复习提问，创设情境 1．教师演示：将一等腰三角形沿着底边上的高对折，启发学生共同回忆等腰三角形是轴对称图形，同时复习轴对称图形的概念； ２．提出问题：如果以这个等腰三角形的顶点为圆心，腰长为半径作圆，得到的圆是否是轴对称图形呢？（教师用教具演示，学生自己操作） A B C D O E 二、引入新课，揭示课题 1．在第一个环节的基础上，引导学生归纳得出结论： 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴． 强调： （1）对称轴是直线，不能说每一条直径都是它的对称轴； （2）圆的对称轴有无数条． 判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ） 设计意图：让学生更好的理解圆的轴对称轴新性，为下一环节探究新知作好准备． 三、讲解新课，探求新知 先按课本进行合作学习 1．任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD； 2．作一条和直径CD的垂线的弦，AB与CD相交于点E． 提出问题：把圆沿着直径CD所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合？ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 在学生探索的基础上，得出结论：（先介绍弧相等的概念） ①EA=EB；② AC=BC，AD=BD． 理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt∠，根据圆的轴轴对称性，可得射线EA与EB重合， ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴点A与点B重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合． ∴ EA=EB， AC=BC，AD=BD． 思考：你能利用等腰三角形的性质，说明OA平分CD吗？（课内练习1） A B C D O E 注：老教材这个内容放在圆心角、圆周角之后，垂径定理完全可以不用圆的轴对称性来证，可用等腰三角形的性质来证明，现在只能证前面一个（略）． 然后把此结论归纳成命题的形式： 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦 所对的弧． 垂径定理的几何语言 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∵CD为直径，CD⊥AB（OC⊥AB） ∴ EA=EB， AC=BC，AD=BD． ⌒ 四、应用新知，体验成功 例1 已知AB，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点．(先介绍弧中点概念) 作法： ⒈连结AB. ⒉作AB的垂直平分线 CD，　交弧AB于点E. ⌒ 点E就是所求弧AB的中点． 变式一： 求弧AB的四等分点． 思路：先将弧AB平分，再用同样方法将弧AE、弧BE平分． （图略） 有一位同学这样画，错在哪里？ 1．作AB的垂直平分线CD 2．作AT、BT的垂直平分线EF、GH（图略） ⌒ 教师强调：等分弧时一定要作弧所对的弦的垂直平分线． 变式二：你能确定弧AB的圆心吗？ 方法：只要在圆弧上任意取三点，得到三条弦，画其中两条弦的垂直平分线，交点即为圆弧的圆心． O A B C 例2 一条排水管的截面如图所示．排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面圆心O到水面的距离OC ． 思路： 先作出圆心O到水面的距离OC，即画 OC⊥AB，∴AC=BC=8， 在Rt△OCB中， ∴圆心O到水面的距离OC为6． 例3 已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D两点，且OA=OB ．求证：AC=BD ． 思路： 作OM⊥AB，垂足为M， ∴CM=DM ∵OA=OB ， ∴AM=BM ， ∴AC=BD． 概念：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距． 小结： 1．画弦心距是圆中常见的辅助线； 2．半径（r）、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长． 注：弦长、半径、弦心距三个量中已知两个，就可以求出第三个． 五、目标训练,及时反馈 1．已知⊙0的半径为13，一条弦的AB的弦心距为5，则这条弦的弦长等于 ． 答案：24 ⌒ ⌒ 2．如图，AB是⊙0的中直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（ ） A．∠COE=∠DOE B．CE=DE C．OE=BE D．BD=BC 答案：C 3．过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OM长为（ ） A．3 B．6cm C． cm D．9cm 答案：A 注：圆内过定点M的弦中，最长的弦是过定点M的直径，最短的弦是过定点M与OM垂直的弦，此结论最好让学生记住，课本作业题也有类似的题目． 4．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（ ） A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3<OM<5 D．4<OM<5 答案：A 5． 已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，则AB和CD的距离为 ． 答案：2或24 注：要分两种情况讨论：（1）弦AB、CD在圆心O的两侧；（2）弦AB、CD在圆心O的同侧． 6．如图，已知AB、AC为弦，OM⊥AB于点M， ON⊥AC于点N ，BC=4，求MN的长． 思路：由垂径定理可得M、N分别是AB、AC的中点， 所以MN=BC=2． 六、总结回顾，反思内化 师生共同总结： １．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理． 2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明． 3．解题的主要方法： （1）画弦心距是圆中常见的辅助线； （2）半径（r）、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长． 七、布置作业， 巩固新知 P65作业题1~6，第7题选做． 教学反思：