《一元二次方程的根与系数的关系》综合练习.doc

8.5 一元二次方程根与系数的关系 综合练习 一、填空题： 1、如果关于的方程的两根之差为2，那么 。 2、已知关于的一元二次方程两根互为倒数，则 。 3、已知关于的方程的两根为，且，则 。 4、已知是方程的两个根，那么： ； ； 。 5、已知关于的一元二次方程的两根为和，且，则 ； 。 6、如果关于的一元二次方程的一个根是，那么另一个根是 ，的值为 。 7、已知是的一根，则另一根为 ，的值为 。 8、一个一元二次方程的两个根是和，那么这个一元二次方程为： 。 二、求值题： 1、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。 2、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。 3、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。 4、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。 5、已知关于x的方程的两根满足关系式，求的值及方程的两个根。 6、已知方程和有一个相同的根，求的值及这个相同的根。 三、能力提升题： 1、实数在什么范围取值时，方程有正的实数根？ 2、已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。 （2）若这个方程的两个实数根、满足，求的值。 3、若，关于的方程有两个相等的正的实数根，求的值。 4、是否存在实数，使关于的方程的两个实根，满足，如果存在，试求出所有满足条件的的值，如果不存在，请说明理由。 5、已知关于的一元二次方程（）的两实数根为，若，求的值。 6、实数、分别满足方程和，求代数式的值。 答案与提示 一、填空题： 1、提示：，，，∴， ∴，解得： 2、提示：，由韦达定理得：，，∴， 解得：，代入检验，有意义，∴。 3、提示：由于韦达定理得：，，∵， ∴，∴，解得：。 4、提示：由韦达定理得：，， ；；由，可判定方程的两根异号。有两种情况：①设＞0，＜0，则 ；②设＜0，＞0，则。 5、提示：由韦达定理得：，，∵，∴，，∴，∴。 6、提示：设，由韦达定理得：，，∴，解得：，，即。 7、提示：设，由韦达定理得：，，∴， ∴，∴ 8、提示：设所求的一元二次方程为，那么，， ∴，即；；∴设所求的一元二次方程为： 二、求值题： 1、提示：由韦达定理得：，，∴ 2、提示：由韦达定理得：，，∴ 3、提示：由韦达定理得：，， ∴ 4、提示：设这两个数为，于是有，，因此可看作方程的两根，即，，所以可得方程：，解得：，，所以所求的两个数分别是，。 5、提示：由韦达定理得，，∵，∴， ∴，∴，化简得：；解得：，；以下分两种情况： ①当时，，，组成方程组： ；解这个方程组得：； ②当时，，，组成方程组：；解这个方程组得： 6、提示：设和相同的根为，于是可得方程组： ；①②得：，解这个方程得：； 以下分两种情况：（1）当时，代入①得；（2）当时，代入①得。 所以和相同的根为，的值分别为，。 三、能力提升题： 1、提示：方程有正的实数根的条件必须同时具备：①判别式△≥0；②＞0，＞0；于是可得不等式组： 解这个不等式组得：＞1 2、提示：（1）的判别式△ ＞0，所以无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。（2）利用韦达定理，并根据已知条件可得： 解这个关于的方程组，可得到：，，由于，所以可得，解这个方程，可得：，； 3、提示：可利用韦达定理得出①＞0，②＞0；于是得到不等式组： 求得不等式组的解，且兼顾；即可得到＞，再由可得：，接下去即可根据，＞，得到，即：＝4 4、答案：存在。 提示：因为，所以可设（）；由韦达定理得：，；于是可得方程组：解这个方程组得：①当时，；②当时，； 所以的值有两个：；； 5、提示：由韦达定理得：，，则，即，解得： 6、提示：利用求根公式可分别表示出方程和的根： ，， ∴，∴，∴， 又∵，变形得：，∴，∴ 8 / 8