2014年全国各地中考数学真题分类解析汇编：04 一元一次方程及其应用.doc

一元一次方程及其应用 一、选择题 1．（2014·台湾，第19题3分）桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形的杯子，杯深均为15公分，各装有10公分高的水，且表记录了甲、乙、丙三个杯子的底面积．今小明将甲、乙两杯内一些水倒入丙杯，过程中水没溢出，使得甲、乙、丙三杯内水的高度比变为3︰4︰5．若不计杯子厚度，则甲杯内水的高度变为多少公分？(　　) 底面积(平方公分) 甲杯 60 乙杯 80 丙杯 100 A．5.4 B．5.7 C．7.2 D．7.5 分析：根据甲、乙、丙三杯内水的高度比变为3︰4︰5，设后来甲、乙、丙三杯内水的高度为3x、4x、5x，由表格中的数据列出方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出甲杯内水的高度． 解：设后来甲、乙、丙三杯内水的高度为3x、4x、5x， 根据题意得：60×10＋80×10＋100×10＝60×3x＋80×4x＋100×5x， 解得：x＝2.4， 则甲杯内水的高度变为3×2.4＝7.2(公分)． 故选C． 点评：此题考查了一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键． 2.（2014•滨州，第4题3分）方程2x﹣1=3的解是（ ）[来源:学科网] 　 A． ﹣1 B． C． 1 D． 2 考点： 解一元一次方程 分析： 根据移项、合并同类项、系数化为1，可得答案． 解答： 解：2x﹣1=3，移项，得 2x=4， 系数化为1得 x=2． 故选：D． 点评： 本题考查了解一元一次方程，根据解一元次方程的一般步骤可得答案． 二、填空题 1．（2014•浙江湖州，第11题4分）方程2x﹣1=0的解是x=　　． 分析：此题可有两种方法： （1）观察法：根据方程解的定义，当x=时，方程左右两边相等； （2）根据等式性质计算．即解方程步骤中的移项、系数化为1． 解：移项得：2x=1，系数化为1得：x=． 点评：此题虽很容易，但也要注意方程解的表示方法：填空时应填x=，不能直接填． 2. （2014•湘潭，第15题，3分）七、八年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观，共589人，到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍多56人．设到雷锋纪念馆的人数为x人，可列方程为　2x+56=589﹣x　． [来源:学*科*网Z*X*X*K] 考点： 由实际问题抽象出一元一次方程． 分析： 设到雷锋纪念馆的人数为x人，则到毛泽东纪念馆的人数为（589﹣x）人，根据到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍多56人．列方程即可． 解答： 解：设到雷锋纪念馆的人数为x人，则到毛泽东纪念馆的人数为（589﹣x）人， 由题意得，2x+56=589﹣x． 故答案为：2x+56=589﹣x． 点评： 本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，列出方程．[来源:学|科|网] [来源:Zxxk.Com] 三、解答题 1. （2014•益阳，第18题，8分）“中国﹣益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BAD=76.1°，∠BCA=68.2°，CD=82米．求AB的长（精确到0.1米）． 参考数据： sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0； sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5． （第1题图） 考点： 解直角三角形的应用． 分析： 设AD=x米，则AC=（x+82）米．在Rt△ABC中，根据三角函数得到AB=2.5（x+82），在Rt△ABD中，根据三角函数得到AB=4x，依此得到关于x的方程，进一步即可求解．[来源:Zxxk.Com] 解答： 解：设AD=x米，则AC=（x+82）米． 在Rt△ABC中，tan∠BCA=， ∴AB=AC•tan∠BCA=2.5（x+82）． 在Rt△ABD中，tan∠BDA=， ∴AB=AD•tan∠BDA=4x． ∴2.5（x+82）=4x， 解得x=． ∴AB=4x=4×≈546.7． 答：AB的长约为546.7米． 点评： 此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题． 2. （2014•益阳，第19题，10分）某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况： 销售时段[来源:学科网] 销售数量 销售收入[来源:学&科&网][来源:学科网][来源:学|科|网] A种型号 B种型号 第一周 3台 5台 1800元 第二周 4台 10台 3100元 （进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本） （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 考点： 二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用． 分析： （1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号5台B型号的电扇收入1800元，4台A型号10台B型号的电扇收入3100元，列方程组求解； （2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台，根据金额不多余5400元，列不等式求解； （3）设利润为1400元，列方程求出a的值为20，不符合（2）的条件，可知不能实现目标． 解答： 解：（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元， 依题意得：， 解得：， 答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元； （2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台． 依题意得：200a+170（30﹣a）≤5400， 解得：a≤10． 答：超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元； （3）依题意有：（250﹣200）a+（210﹣170）（30﹣a）=1400， 解得：a=20， ∵a＞10， ∴在（2）的条件下超市不能实现利润1400元的目标． 点评： 本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解． 3. （2014•株洲，第20题，6分）家住山脚下的孔明同学想从家出发登山游玩，据以往的经验，他获得如下信息： （1）他下山时的速度比上山时的速度每小时快1千米； （2）他上山2小时到达的位置，离山顶还有1千米； （3）抄近路下山，下山路程比上山路程近2千米； （4）下山用1个小时； 根据上面信息，他作出如下计划： （1）在山顶游览1个小时； （2）中午12：00回到家吃中餐． 若依据以上信息和计划登山游玩，请问：孔明同学应该在什么时间从家出发？ 考点： 一元一次方程的应用． 分析： 由（1）得 v下=（v上+1）千米/小时． 由（2）得 S=2v上+1 由（3）、（4）得 2v上+1=v下+2． 根据S=vt求得计划上、下山的时间，然后可以得到共需的时间为：上、下上时间+山顶游览时间． 解答： 解：设上山的速度为v，下山的速度为（v+1），则 2v+1=v+1+2， 解得 v=2． 即上山速度是2千米/小时． 则下山的速度是3千米/小时，山高为5千米． 则计划上山的时间为：5÷2=2.5（小时）， 计划下山的时间为：1小时， 则共用时间为：2.5+1+1=4.5（小时）， 所以出发时间为：12：00﹣4小时30分钟=7：30． 答：孔明同学应该在7点30分从家出发． 点评： 本题考查了应用题．该题的信息量很大，是不常见的应用题．需要进行相关的信息整理，只有理清了它们的关系，才能正确解题． 4. （2014年江苏南京，第25题）从甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路，小明骑车从甲地出发，到达乙地后立即原路返回甲地，途中休息了一段时间，假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进．已知小明骑车上坡的速度比在平路上的速度每小时少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5km．设小明出发x h后，到达离甲地y km的地方，图中的折线OABCDE表示y与x之间的函数关系． （1）小明骑车在平路上的速度为　　km/h；他途中休息了　　h； （2）求线段AB、BC所表示的y与x之间的函数关系式； （3）如果小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h，那么该地点离甲地多远？ （第4题图） 考点：一次函数的解析式的运用，一元一次方程的运用 分析： （1）由速度=路程÷时间就可以求出小明在平路上的速度，就可以求出返回的时间，进而得出途中休息的时间； （2）先由函数图象求出小明到达乙地的时间就可以求出B的坐标和C的坐标就可以由待定系数法求出解析式； （3）小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h，由题意可以得出这个地点只能在破路上．设小明第一次经过该地点的时间为t，则第二次经过该地点的时间为（t+0.15）h，根据距离甲地的距离相等建立方程求出其解即可． 解答：（1）小明骑车在平路上的速度为：4.5÷0.3=15， ∴小明骑车在上坡路的速度为：15﹣5=10， 小明骑车在上坡路的速度为：15+5=20． ∴小明返回的时间为：（6.5﹣4.5）÷2+0.3=0.4小时， ∴小明骑车到达乙地的时间为：0.3+2÷10=0.5． ∴小明途中休息的时间为：1﹣0.5﹣0.4=0.1小时． 故答案为：15，0.1 （2）小明骑车到达乙地的时间为0.5小时，∴B（0.5，6.5）． 小明下坡行驶的时间为：2÷20=0.1，∴C（0.6，4.5）． 设直线AB的解析式为y=k1x+b1，由题意，得，解得：， ∴y=10x+1.5（0.3≤x≤0.5）； 设直线BC的解析式为y=k2+b2，由题意，得，解得：， ∴y=﹣20x+16.5（0.5＜x≤0.6） （3）小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h，由题意可以得出这个地点只能在破路上．设小明第一次经过该地点的时间为t，则第二次经过该地点的时间为（t+0.15）h，由题意，得 10t+1.5=﹣20（t+0.15）+16.5，解得：t=0.4，∴y=10×0.4+1.5=5.5，∴该地点离甲地5.5km． 点评：本题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元一次方程的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键． 5. （2014•泰州，第20题，8分）某篮球运动员去年共参加40场比赛，其中3分球的命中率为0.25，平均每场有12次3分球未投中． （1）该运动员去年的比赛中共投中多少个3分球？ （2）在其中的一场比赛中，该运动员3分球共出手20次，小亮说，该运动员这场比赛中一定投中了5个3分球，你认为小亮的说法正确吗？请说明理由． 考点： 一元一次方程的应用；概率的意义 分析： （1）设该运动员共出手x个3分球，则3分球命中0.25x个，未投中0.75x个，根据“某篮球运动员去年共参加40场比赛，平均每场有12次3分球未投中”列出方程，解方程即可； （2）根据概率的意义知某事件发生的概率，就是在大量重复试验的基础上事件发生的频率稳定到的某个值；由此加以理解即可． 解答： 解：（1）设该运动员共出手x个3分球，根据题意，得 =12， 解得x=640， 0.25x=0.25×640=160（个）， 答：运动员去年的比赛中共投中160个3分球； （2）小亮的说法不正确； 3分球的命中率为0.25，是相对于40场比赛来说的，而在其中的一场比赛中，虽然该运动员3分球共出手20次，但是该运动员这场比赛中不一定投中了5个3分球． 点评： 此题考查了一元一次方程的应用及概率的意义．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程及正确理解概率的含义． 6．（2014·浙江金华，第20题8分）一种长方形餐桌的四周可坐6 从用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式拼接. （1）若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？ （2）若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？ 【答案】（1）18，34；（2）22. 【解析】 7．（2014•浙江宁波，第24题10分）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用） A方法：剪6个侧面； B方法：剪4个侧面和5个底面． 现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法． （1）用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数； （2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 考点： 一元一次方程的应用；列代数式． 分析： （1）由x张用A方法，就有（19﹣x）张用B方法，就可以分别表示出侧面个数和底面个数； （2）由侧面个数和底面个数比为3：2建立方程求出x的值，求出侧面的总数就可以求出结论． 解答： 解：（1）∵裁剪时x张用A方法， ∴裁剪时（19﹣x）张用B方法． ∴侧面的个数为：6x+4（19﹣x）=（2x+76）个， 底面的个数为：5（19﹣x）=（95﹣5x）个； （2）由题意，得 ， 解得：x=7， ∴盒子的个数为：=30． 答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做30个盒子． 点评： 本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，列代数式的运用，解答时根据裁剪出的侧面和底面个数相等建立方程是关键． 8.（2014•滨州，第19题3分）（1）解方程：2﹣= 考点： 解一元一次方程． 专题： 计算题． 分析： （1）方程去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解； 解答： 解：（1）去分母得：12﹣2（2x+1）=3（1+x）， 去括号得：12﹣4x﹣2=3+3x， 移项合并得：﹣7x=﹣7， 解得：x=1； 点评： 此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 9．（2014•德州，第20题8分）目前节能灯在城市已基本普及，今年山东省面向县级及农村地区推广，为响应号召，某商场计划购进甲，乙两种节能灯共1200只，这两种节能灯的进价、售价如下表： 进价（元/只） 售价（元/只） 甲型 25 30 乙型 45 60 （1）如何进货，进货款恰好为46000元？ （2）如何进货，商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%，此时利润为多少元？ 考点： 一次函数的应用；一元一次方程的应用 分析： （1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1200﹣x）只，根据两种节能灯的总价为46000元建立方程求出其解即可； （2）设商场购进甲型节能灯a只，则购进乙型节能灯（1200﹣a）只，商场的获利为y元，由销售问题的数量关系建立y与a的解析式就可以求出结论． 解答： 解：（1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1200﹣x）只，由题意，得 25x+45（1200﹣x）=46000， 解得：x=400． ∴购进乙型节能灯1200﹣400=800只． 答：购进甲型节能灯400只，购进乙型节能灯800只进货款恰好为46000元； （2）设商场购进甲型节能灯a只，则购进乙型节能灯（1200﹣a）只，商场的获利为y元，由题意，得 y=（30﹣25）a+（60﹣45）（1200﹣a）， y=﹣10a+18000． ∵商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%， ∴﹣10a+18000≤[25a+45（1200﹣a）]×30%， ∴a≥450． ∵y=﹣10a+18000， ∴k=﹣10＜0， ∴y随a的增大而减小， ∴a=450时，y最大=13500元． ∴商场购进甲型节能灯450只，购进乙型节能灯750只时的最大利润为13500元． 点评： 本题考查了单价×数量=总价的运用，列了一元一次方程解实际问题的运用，一次函数的解析式的运用，解答时求出求出一次函数的解析式是关键． 10.（2014•菏泽，第17题7分）（1）食品安全是关乎民生的问题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输，某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶，问A、B两种饮料各生产了多少瓶？ 考点： 一元一次方程的应用； 分析： （1）设A饮料生产了x瓶，则B饮料生产了（100﹣x）瓶，根据270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶，列方程求解； 解答： 解：（1）设A饮料生产了x瓶，则B饮料生产了（100﹣x）瓶， 由题意得，2x+3（100﹣x）=270， 解得：x=30，100﹣x=70， 答：A饮料生产了30瓶，则B饮料生产了70瓶； 点评： 本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程组求解．