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2021年山东省菏泽市中考数学试卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置.） 1．（3分）如图，数轴上点A所表示的数的倒数为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣ D． 2．（3分）下列等式成立的是（　　） A．a3+a3＝a6 B．a•a3＝a3 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（﹣2a3）2＝4a6 3．（3分）如果不等式组的解集为x＞2，那么m的取值范围是（　　） A．m≤2 B．m≥2 C．m＞2 D．m＜2 4．（3分）一副三角板按如图方式放置，含45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边平行，则∠α的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 5．（3分）如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（　　） A．12π B．18π C．24π D．30π 6．（3分）在2021年初中毕业生体育测试中，某校随机抽取了10名男生的引体向上成绩，将这组数据整理后制成如下统计表： 成绩（次） 12 11 10 9 人数（名） 1 3 4 2 关于这组数据的结论不正确的是（　　） A．中位数是10.5 B．平均数是10.3 C．众数是10 D．方差是0.81 7．（3分）关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k且k≠1 B．k≥且k≠1 C．k D．k≥ 8．（3分）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCD在第一象限，且BC∥x轴，直线y＝2x+1沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形ABCD截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形ABCD的面积为（　　） A． B．2 C．8 D．10 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内） 9．（3分）2021年5月11日，国家统计局、国务院第七次全国人口普查领导小组办公室对外发布：截至2020年11月1日零时，全国人口共约1410000000人．数据1410000000用科学记数法表示为 　 　． 10．（3分）因式分解：﹣a3+2a2﹣a＝　 　． 11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，D、E分别为AC、BC的中点，DE＝2，过点B作BF∥AC，交DE的延长线于点F，则四边形ABFD的面积为 　 　． 12．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝5，BC＝10，四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，且点E、F、G、N、M都在△ABC的边上，那么△AEM与四边形BCME的面积比为 　 　． 13．（3分）定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[m，1﹣m，2﹣m]的二次函数的一些结论：①当m＝1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m＝2时，函数图象过原点；③当m＞0时，函数有最小值；④如果m＜0，当x＞时，y随x的增大而减小．其中所有正确结论的序号是 　 　． 14．（3分）如图，一次函数y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，过点A作AB⊥OA，交x轴于点B；作BA1∥OA，交反比例函数图象于点A1；过点A1作A1B1⊥A1B交x轴于点B；再作B1A2∥BA1，交反比例函数图象于点A2，依次进行下去，…，则点A2021的横坐标为 　 　． 三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内） 15．（6分）计算：（2021﹣π）0﹣|3﹣|+4cos30°﹣（）﹣1． 16．（6分）先化简，再求值：1+÷，其中m，n满足＝﹣． 17．（6分）如图，在菱形ABCD中，点M、N分别在AB、CB上，且∠ADM＝∠CDN，求证：BM＝BN． 18．（6分）某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于A处的济南舰突然发现北偏西30°方向上的C处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里B处的西安舰，西安舰测得C处位于其北偏西60°方向上，请问此时两舰距C处的距离分别是多少？ 19．（7分）列方程（组）解应用题 端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克22元； 小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克． 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？ 20．（7分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在坐标轴上，且OA＝2，OC＝4，连接OB．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与AB、BC分别交于点E、F．一次函数y＝k2x+b的图象经过E、F两点． （1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式； （2）点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，点P的坐标为 　 　． 21．（10分）2021年5月，菏泽市某中学对初二学生进行了国家义务教育质量检测，随机抽取了部分参加15米折返跑学生的成绩，学生成绩划分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．根据图中提供的信息解答下列问题： （1）请把条形统计图补充完整； （2）合格等级所占百分比为 　 　%；不合格等级所对应的扇形圆心角为 　 　度； （3）从所抽取的优秀等级的学生A、B、C…中，随机选取两人去参加即将举办的学校运动会，请利用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到A、B两位同学的概率． 22．（10分）如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB，垂足为H，E为上一点，F为弦DC延长线上一点，连接FE并延长交直径AB的延长线于点G，连接AE交CD于点P，若FE＝FP． （1）求证：FE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为8，sinF＝，求BG的长． 23．（10分）在矩形ABCD中，BC＝CD，点E、F分别是边AD、BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处． （1）如图1，当EH与线段BC交于点P时，求证：PE＝PF； （2）如图2，当点P在线段CB的延长线上时，GH交AB于点M，求证：点M在线段EF的垂直平分线上； （3）当AB＝5时，在点E由点A移动到AD中点的过程中，计算出点G运动的路线长． 24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，交y轴于点C． （1）求该抛物线的表达式； （2）点P为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过点C作CQ∥BP交x轴于点Q，连接PQ，求△PBQ面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4向右平移经过点（，0）时，得到新抛物线y＝a1x2+b1x+c1，点E在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点F，使得以A、P、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 参考：若点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则线段P1P2的中点P0的坐标为（，）． 2021年山东省菏泽市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置.） 1．（3分）如图，数轴上点A所表示的数的倒数为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣ D． 【解答】解：点A表示的数为﹣3， ﹣3的倒数为﹣， 故选：C． 2．（3分）下列等式成立的是（　　） A．a3+a3＝a6 B．a•a3＝a3 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（﹣2a3）2＝4a6 【解答】解：A．a3+a3＝2a3，故本选项不合题意； B．a•a3＝a4，故本选项不合题意； C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故本选项不合题意； D．（﹣2a3）2＝4a6，故本选项符合题意； 故选：D． 3．（3分）如果不等式组的解集为x＞2，那么m的取值范围是（　　） A．m≤2 B．m≥2 C．m＞2 D．m＜2 【解答】解：解不等式x+5＜4x﹣1，得：x＞2， ∵不等式组的解集为x＞2， ∴m≤2， 故选：A． 4．（3分）一副三角板按如图方式放置，含45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边平行，则∠α的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【解答】解：如图： ∵AB∥CD， ∴∠BAD＝∠D＝30°， ∵∠BAE＝45°， ∴∠α＝45°﹣30°＝15°． 故选：B． 5．（3分）如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（　　） A．12π B．18π C．24π D．30π 【解答】解：由三视图可得，几何体是空心圆柱，其小圆半径是1，大圆半径是2， 则大圆面积为：π×22＝4π，小圆面积为：π×12＝π， 故这个几何体的体积为：6×4π﹣6×π＝24π﹣6π＝18π． 故选：B． 6．（3分）在2021年初中毕业生体育测试中，某校随机抽取了10名男生的引体向上成绩，将这组数据整理后制成如下统计表： 成绩（次） 12 11 10 9 人数（名） 1 3 4 2 关于这组数据的结论不正确的是（　　） A．中位数是10.5 B．平均数是10.3 C．众数是10 D．方差是0.81 【解答】解：根据题目给出的数据，可得： 中位数是＝10（分）， 平均数为：＝10.3， ∵10出现了4次，出现的次数最多， ∴众数是10； 方差是：[（12﹣10.3）2+3×（11﹣10.3）2+4×（10﹣10.3）2+2×（9﹣10.3）2]＝0.81． 这组数据的结论不正确的是A． 故选：A． 7．（3分）关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k且k≠1 B．k≥且k≠1 C．k D．k≥ 【解答】解：当k﹣1≠0，即k≠1时，此方程为一元二次方程． ∵关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根， ∴△＝（2k+1）2﹣4×（k﹣1）2×1＝12k﹣3≥0， 解得k≥； 当k﹣1＝0，即k＝1时，方程为3x+1＝0，显然有解； 综上，k的取值范围是k≥， 故选：D． 8．（3分）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCD在第一象限，且BC∥x轴，直线y＝2x+1沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形ABCD截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形ABCD的面积为（　　） A． B．2 C．8 D．10 【解答】解：如图所示，过点B、D分别作y＝2x+1的平行线，交AD、BC于点E、F． 由图象和题意可得AE＝4﹣3＝1，CF＝8﹣7＝1，BE＝DF＝，BF＝DE＝7﹣4＝3， 则AB＝＝＝2，BC＝BF+CF＝3+1＝4， ∴矩形ABCD的面积为AB•BC＝2×4＝8． 故选：C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内） 9．（3分）2021年5月11日，国家统计局、国务院第七次全国人口普查领导小组办公室对外发布：截至2020年11月1日零时，全国人口共约1410000000人．数据1410000000用科学记数法表示为 　1.41×109　． 【解答】解：1410000000＝1.41×109， 故答案为：1.41×109． 10．（3分）因式分解：﹣a3+2a2﹣a＝　﹣a（a﹣1）2　． 【解答】解：原式＝﹣a（a2﹣2a+1） ＝﹣a（a﹣1）2． 故答案为：﹣a（a﹣1）2． 11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，D、E分别为AC、BC的中点，DE＝2，过点B作BF∥AC，交DE的延长线于点F，则四边形ABFD的面积为 　8　． 【解答】解：∵D、E分别为AC、BC的中点， ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AB，DE＝AB， ∴AB＝2DE，DF∥AB， 又∵BF∥AC， ∴BF∥AD， ∴四边形ABFD是平行四边形， ∵AB⊥BE， ∴S平行四边形ABFD＝AB•BE， ∵DE＝2， ∴AB＝2×2＝4， 在Rt△ABC中， ∵∠C＝30°， ∴AC＝2AB＝2×4＝8， ∴BC＝＝＝4， ∴BE＝BC＝2， ∴S平行四边形ABFD＝4×2＝8， 故答案为8． 12．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝5，BC＝10，四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，且点E、F、G、N、M都在△ABC的边上，那么△AEM与四边形BCME的面积比为 　1：3　． 【解答】解：∵四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形， ∴EF＝EH＝HM，EM∥BC， ∴△AEM∽△ABC， ∴， ∴， ∴EF＝， ∴EM＝5， ∵△AEM∽△ABC， ∴＝（）2＝， ∴S四边形BCME＝S△ABC﹣S△AEM＝3S△AEM， ∴△AEM与四边形BCME的面积比为1：3， 故答案为：1：3． 13．（3分）定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[m，1﹣m，2﹣m]的二次函数的一些结论：①当m＝1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m＝2时，函数图象过原点；③当m＞0时，函数有最小值；④如果m＜0，当x＞时，y随x的增大而减小．其中所有正确结论的序号是 　①②③　． 【解答】解：由特征数的定义可得：特征数为[m，1﹣m，2﹣m]的二次函数的表达式为y＝mx2+（1﹣m）x+2﹣m． ∵此抛物线的的对称轴为直线x＝＝＝， ∴当m＝1时，对称轴为直线x＝0，即y轴．故①正确； ∵当m＝2时，此二次函数表达式为y＝2x2﹣x，令x＝0，则y＝0， ∴函数图象过原点，故②正确； ∵当m＞0时，二次函数图象开口向上，函数有最小值，故③正确； ∵m＜0， ∴对称轴x＝＝，抛物线开口向下， ∴在对称轴的右侧，y随x的增大而减小． 即x＞时，y随x的增大而减小． 故④错误． 故答案为：①②③． 14．（3分）如图，一次函数y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，过点A作AB⊥OA，交x轴于点B；作BA1∥OA，交反比例函数图象于点A1；过点A1作A1B1⊥A1B交x轴于点B；再作B1A2∥BA1，交反比例函数图象于点A2，依次进行下去，…，则点A2021的横坐标为 　+　． 【解答】解：如图，分别过点A，A1，A2，作x轴的垂线，垂足分别为C，D，E， ∵一次函数y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A， ∴联立，解得A（1，1）， ∴AC＝OC＝1，∠AOC＝45°， ∵AB⊥OA， ∴△OAB是等腰直角三角形， ∴OB＝2OC＝2， ∵A1B∥OA， ∴∠A1BD＝45°， 设BD＝m，则A1D＝m， ∴A1（m+2，m）， ∵点A1在反比例函数y＝上， ∴m（m+2）＝1，解得m＝﹣1+，（m＝﹣1﹣，负值舍去）， ∴A1（+1，﹣1）， ∵A1B1⊥A1B， ∴BB1＝2BD＝2﹣2， ∴OB1＝2． ∵B1A2∥BA1， ∴∠A2B1E＝45°， 设B1E＝t，则A2E＝t， ∴A2（t+2，t）， ∵点A2在反比例函数y＝上， ∴t（t+2）＝1，解得t＝﹣+，（t＝﹣﹣，负值舍去）， ∴A2（，﹣）， 同理可求得A3（2+，2﹣）， 以此类推，可得点A2021的横坐标为+． 故答案为：+． 三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内） 15．（6分）计算：（2021﹣π）0﹣|3﹣|+4cos30°﹣（）﹣1． 【解答】解：原式＝1﹣（2﹣3）+4×﹣4 ＝1﹣2+3+2﹣4 ＝0． 16．（6分）先化简，再求值：1+÷，其中m，n满足＝﹣． 【解答】解：原式＝1+• ＝1﹣ ＝﹣ ＝， ∵＝﹣， ∴m＝﹣n， 则原式＝＝＝﹣6． 17．（6分）如图，在菱形ABCD中，点M、N分别在AB、CB上，且∠ADM＝∠CDN，求证：BM＝BN． 【解答】证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴AD＝CD＝AB＝BC，∠A＝∠C． 在△AMD和△CND中， ， ∴△AMD≌△CND（ASA）． ∴AM＝CN， ∴AB﹣AM＝BC﹣CN， 即BM＝CN． 18．（6分）某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于A处的济南舰突然发现北偏西30°方向上的C处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里B处的西安舰，西安舰测得C处位于其北偏西60°方向上，请问此时两舰距C处的距离分别是多少？ 【解答】解：过点C作CD⊥BA的延长线于点D，如图． 由题意可得：∠CAD＝60°，∠CBD＝30°＝∠DCA， ∴∠BCA＝∠CAD﹣∠CBD＝60°﹣30°＝30°． 即∠BCA＝∠CBD， ∴AC＝AB＝200（海里）． 在Rt△CDA中，CD＝sin∠CAD×AC＝＝100（海里）． 在Rt△CDB中，CB＝2CD＝200（海里）． 故位于A处的济南舰距C处的距离200海里，位于B处的西安舰距C处的距离200海里． 19．（7分）列方程（组）解应用题 端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克22元； 小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克． 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？ 【解答】解：设降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得， （38﹣x﹣22）（160+×120）＝3640， 整理得x2﹣12x+27＝0， ∴x＝3或x＝9． ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴x＝9， ∴售价为38﹣9＝29元． 答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3640元． 20．（7分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在坐标轴上，且OA＝2，OC＝4，连接OB．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与AB、BC分别交于点E、F．一次函数y＝k2x+b的图象经过E、F两点． （1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式； （2）点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，点P的坐标为 　（，0）　． 【解答】解：（1）∵四边形OABC为矩形，OA＝BC＝2，OC＝4， ∴B（4，2）． 由中点坐标公式可得点D坐标为（2，1）， ∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OB的中点D， ∴k1＝xy＝2×1＝2， 故反比例函数表达式为y＝． 令y＝2，则x＝1；令x＝4，则y＝． 故点E坐标为（1，2），F（4，）． 设直线EF的解析式为y＝kx+b，代入E、F坐标得： ，解得：． 故一次函数的解析式为y＝． （2）作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P，则此时PE+PF最小．如图． 由E坐标可得对称点E'（1，﹣2）， 设直线E'F的解析式为y＝mx+n，代入点E'、F坐标，得： ，解得：． 则直线E'F的解析式为y＝， 令y＝0，则x＝． ∴点P坐标为（，0）． 故答案为：（，0）． 21．（10分）2021年5月，菏泽市某中学对初二学生进行了国家义务教育质量检测，随机抽取了部分参加15米折返跑学生的成绩，学生成绩划分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．根据图中提供的信息解答下列问题： （1）请把条形统计图补充完整； （2）合格等级所占百分比为 　30　%；不合格等级所对应的扇形圆心角为 　36　度； （3）从所抽取的优秀等级的学生A、B、C…中，随机选取两人去参加即将举办的学校运动会，请利用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到A、B两位同学的概率． 【解答】解：（1）抽取的学生人数为：12÷40%＝30（人）， 则优秀的学生人数为：30﹣12﹣9﹣3＝6（人）， 把条形统计图补充完整如下： （2）合格等级所占百分比为：9÷30×100%＝30%， 不合格等级所对应的扇形圆心角为：360°×＝36°， 故答案为：30，36； （3）优秀等级的学生有6人，为A、B、C、D、E、F， 画树状图如图： 共有30种等可能的结果，恰好抽到A、B两位同学的结果有2种， ∴恰好抽到A、B两位同学的概率为＝． 22．（10分）如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB，垂足为H，E为上一点，F为弦DC延长线上一点，连接FE并延长交直径AB的延长线于点G，连接AE交CD于点P，若FE＝FP． （1）求证：FE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为8，sinF＝，求BG的长． 【解答】解：（1）如图，连接OE， ∵OA＝OE， ∴∠A＝∠AEO， ∵CD⊥AB， ∴∠AHP＝90°， ∵FE＝FP， ∴∠FPE＝∠FEP， ∵∠A+∠APH＝∠A+∠FPE＝90°， ∴∠FEP+∠AEO＝90°＝∠FEO， ∴OE⊥EF， ∴FE是⊙O的切线； （2）∵∠FHG＝∠OEG＝90°， ∴∠G+∠EOG＝90°＝∠G+∠F， ∴∠F＝∠EOG， ∴sinF＝sin∠EOG＝＝， 设EG＝3x，OG＝5x， ∴OE＝＝＝4x， ∵OE＝8， ∴x＝2， ∴OG＝10， ∴BG＝10﹣8＝2． 23．（10分）在矩形ABCD中，BC＝CD，点E、F分别是边AD、BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处． （1）如图1，当EH与线段BC交于点P时，求证：PE＝PF； （2）如图2，当点P在线段CB的延长线上时，GH交AB于点M，求证：点M在线段EF的垂直平分线上； （3）当AB＝5时，在点E由点A移动到AD中点的过程中，计算出点G运动的路线长． 【解答】（1）证明：如图1中， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFB， 由翻折变换可知，∠DEF＝∠PEF， ∴∠PEF＝∠PFE， ∴PE＝PF． （2）证明：如图2中，连接AC交EF于O，连接PM，PO． ∵AE∥CF， ∴∠EAO＝∠FCO， ∵AE＝CF，∠AOE＝∠COF， ∴△AEO≌△CFO（AAS）， ∴OE＝OF， ∵PE＝PF， ∴PO平分∠EPF， ∵PE＝PF，AD＝BC，AE＝FC， ∴ED＝BF， 由折叠的性质可知ED＝EH，所以BF＝EH， ∴PE﹣EH＝PF﹣BF， ∴PB＝PH， ∵∠PHM＝∠PBM＝90°，PM＝PM， ∴Rt△PMH≌Rt△PMB（HL）， ∴PM平分∠EPF， ∴P．M，O共线， ∵PO⊥EF，OE＝OF， ∴点M在线段EF的垂直平分线上． （3）如图3中，由题意，点E由点A移动到AD中点的过程中，点G运动的路径是图中弧BC． 在Rt△BCD中，tan∠CBD＝＝， ∴∠CBD＝30°， ∴∠ABO＝∠OAB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA＝OD＝OB＝OC＝AB＝5，∠BOC＝120°， ∴点G运动的路径的长＝＝π． 故答案为：π． 24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，交y轴于点C． （1）求该抛物线的表达式； （2）点P为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过点C作CQ∥BP交x轴于点Q，连接PQ，求△PBQ面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4向右平移经过点（，0）时，得到新抛物线y＝a1x2+b1x+c1，点E在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点F，使得以A、P、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 参考：若点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则线段P1P2的中点P0的坐标为（，）． 【解答】解：（1）由题意得：，解得， 故抛物线的表达式为y＝x2﹣3x﹣4； （2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣4）， 设点P的坐标为（m，m2﹣3m﹣4）， 设直线PB的表达式为y＝kx+t， 则，解得， ∵CQ∥BP， 故设直线CQ的表达式为y＝（m+1）x+p， 该直线故点C（0，﹣4），即p＝﹣4， 故直线CQ的表达式为y＝（m+1）x﹣4， 令y＝（m+1）x﹣4＝0，解得x＝，即点Q的坐标为（，0）， 则BQ＝4﹣＝， 设△PBQ面积为S， 则S＝×BQ×（﹣yP）＝﹣××（m2﹣3m﹣4）＝﹣2m2+8m， ∵﹣2＜0，故S有最大值， 当m＝2时，△PBQ面积为8， 此时点P的坐标为（2，﹣6）； （3）存在，理由： 将抛物线y＝ax2+bx﹣4向右平移经过点（，0）时，即点A过改点，即抛物线向右平移了+1＝个单位， 则函数的对称轴也平移了个单位，即平移后的抛物线的对称轴为+＝3，故设点E的坐标为（3，m）， 设点F（s，t）， ①当AP是边时， 则点A向右平移3个单位向下平移6个单位得到点P， 同样点F（E）向右平移3个单位向下平移6个单位得到点E（F）且AE＝PF（AF＝PE）， 则或， 解得或， 故点F的坐标为（3，﹣）或（3，2）； ②当AP是对角线时， 由中点坐标公式和AP＝EF得：， 解得或， 故点F的坐标为（3，﹣3+）或（3，﹣3﹣）； 综上，点F的坐标为（3，﹣3+）或（3，﹣3﹣）或（3，﹣）或（3，2）． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2021/6/27 12:33:02；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@；学号：500557 第26页（共26页）