2021年四川省泸州市中考数学真题（解析版）.doc

泸州市二○二一年初中学业水平考试数学试题 第Ⅰ卷 一、选择题 1. 2021的相反数是（ ） A. B. 2021 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用相反数的定义得出答案． 【详解】解：2021的相反数是：-2021． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了相反数，正确掌握相关定义是解题关键． 2. 第七次全国人口普查统计，泸州市常住人口约为4 254 000人，将4 254 000用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将4254000用科学记数法表示是4.254×106． 故选：C． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 下列立体图形中，主视图是圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别得出棱柱，圆柱，圆锥，球体的主视图，得出结论． 【详解】解：棱柱的主视图是矩形（中间只有一条线段），不符合题意； 圆柱的主视图是矩形，不符合题意； 圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意； 球体的主视图是圆，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 4. 函数的自变量x的取值范围是（ ） A. x＜1 B. x＞1 C. x≤1 D. x≥1 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解:由题意得，x-1≥0且x-1≠0， 解得x＞1． 故选：B． 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 5. 如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于点E，∠D=58°，则∠AEC的大小是（ ） A. 61° B. 109° C. 119° D. 122° 【答案】C 【解析】 【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，得到对边平行，再利用平行的性质求出，根据角平分线的性质得：AE平分∠BAD求，再根据平行线的性质得，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴， ∴ ∵AE平分∠BAD ∴ ∵ ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，能利用平行四边形的性质找到角与角的关系，是解答此题的关键． 6. 在平面直角坐标系中，将点A(-3，-2)向右平移5个单位长度得到点B，则点B关于y轴对称点的坐标为（ ） A. (2，2) B. (-2，2) C. (-2，-2) D. (2，-2) 【答案】C 【解析】 【分析】根据点的平移规律左减右加可得点B的坐标，然后再根据关于B轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案． 【详解】解：点A(-3，-2)向右平移5个单位长度得到点B(2，-2)， 点B关于y轴对称点的坐标为（-2，-2）， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了点的平移和关于y轴的对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】A、根据平行四边形的判定定理作出判断；B、根据矩形的判定定理作出判断；C、根据菱形的判定定理作出判断；D、根据正方形的判定定理作出判断． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项错误，不符合题意； B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形；故本选项正确，符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误，不符合题意； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系． 8. 在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：（其中R为ABC的外接圆半径）成立．在ABC中，若∠A=75°，∠B=45°，c=4，则ABC的外接圆面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方法一：先求出∠C，根据题目所给的定理， , 利用圆的面积公式S圆=． 方法二：设△ABC的外心为O，连结OA，OB，过O作OD⊥AB于D，由三角形内角和可求∠C=60°，由圆周角定理可求∠AOB=2∠C=120°，由等腰三角形性质，∠OAB=∠OBA=，由垂径定理可求AD=BD=，利用三角函数可求OA=，利用圆的面积公式S圆=． 【详解】解:方法一：∵∠A=75°，∠B=45°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°， 有题意可知， ∴， ∴S圆=． 方法二：设△ABC外心为O，连结OA，OB，过O作OD⊥AB于D， ∵∠A=75°，∠B=45°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°， ∴∠AOB=2∠C=2×60°=120°， ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA=， ∵OD⊥AB，AB为弦， ∴AD=BD=， ∴AD=OAcos30°， ∴OA=， ∴S圆=． 故答案为A． 【点睛】本题考查三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式，掌握三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式是解题关键． 9. 关于x的一元二次方程的两实数根，满足，则的值是（ ） A 8 B. 16 C. 32 D. 16或40 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理，先解得或，再分别代入一元二次方程中，利用完全平方公式变形解题即可． 【详解】解：一元二次方程 或 当时， 原一元二次方程为 ， ， 当时，原一元二次方程为 原方程无解，不符合题意，舍去， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，韦达定理等知识，涉及解一元二次方程，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 10. 已知，，则的值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，可求再整体代入即可． 【详解】解: ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法逆运算，代数式求值，掌握幂的乘方，同底数幂的乘法法则，与代数式值求法是解题关键． 11. 如图，⊙O的直径AB=8，AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD=10，则BF的长是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点D作DG⊥BC于点G，延长CO交DA的延长线于点H，根据勾股定理求得，即可得AD=BG=2，BC= 8，再证明△HAO≌△BCO，根据全等三角形的性质可得AH=BC=8，即可求得HD= 10；在Rt△ABD中，根据勾股定理可得；证明△DHF∽△BCF，根据相似三角形的性质可得，由此即可求得． 【详解】过点D作DG⊥BC于点G，延长CO交DA的延长线于点H， ∵AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E， ∴AD=DE，BC=CE，∠DAB=∠ABC=90°， ∵DG⊥BC， ∴四边形ABGD为矩形， ∴AD=BG，AB=DG=8， 在Rt△DGC中，CD=10， ∴， ∵AD=DE，BC=CE，CD=10， ∴CD= DE+CE = AD+BC =10， ∴AD+BG +GC=10， ∴AD=BG=2，BC=CG+BG=8， ∵∠DAB=∠ABC=90°， ∴AD∥BC， ∴∠AHO=∠BCO，∠HAO=∠CBO， ∵OA=OB， ∴△HAO≌△BCO， ∴AH=BC=8， ∵AD=2， ∴HD=AH+AD=10； 在Rt△ABD中，AD=2，AB=8， ∴， ∵AD∥BC， ∴△DHF∽△BCF， ∴， ∴， 解得，． 故选A． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线长定理、勾股定理、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定于性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键． 12. 直线l过点(0，4)且与y轴垂直，若二次函数（其中x是自变量）的图像与直线l有两个不同的交点，且其对称轴在y轴右侧，则a的取值范围是（ ） A. a＞4 B. a＞0 C. 0＜a≤4 D. 0＜a＜4 【答案】D 【解析】 【分析】由直线l：y=4，化简抛物线，令，利用判别式，解出，由对称轴在y轴右侧可求即可． 【详解】解：∵直线l过点(0，4)且与y轴垂直， 直线l：y=4， ， ∴， ∵二次函数（其中x是自变量）的图像与直线l有两个不同的交点， ∴， ， ∴， 又∵对称轴在y轴右侧， ， ∴， ∴0＜a＜4． 故选择D． 【点睛】本题考查二次函数与直线的交点问题，抛物线对称轴，一元二次方程两个不等实根，根的判别式，掌握二次函数与直线的交点问题转化为一元二次方程实根问题，根的判别式，抛物线对称轴公式是解题关键． 第Ⅱ卷 二、填空题 13. 分解因式：___________． 【答案】． 【解析】 【分析】先提取公因式4，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 14. 不透明袋子重病装有3个红球，5个黑球，4个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】用红球的数量除以球的总数量即可解题． 【详解】解:根据题意，从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查简单概率公式，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 15. 关于x的不等式组恰好有2个整数解，则实数a的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】首先解每个不等式，根据不等式组只有2个整数解，确定整数解的值，进而求得a的范围． 【详解】解： 解①得， 解②得， 不等式组的解集是． ∵不等式组只有2个整数解， ∴整数解是2，3． 则, ∴ 故答案是： 【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，根据x的取值范围，得出x的整数解．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 16. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF=3BF，AE，BF相交于点G，则AGF的面积是________． 【答案】． 【解析】 【分析】延长AG交DC延长线于M，过G作GH⊥CD，交AB于N，先证明△ABE≌△MCE，由CF=3DF，可求DF=1，CF=3，再证△ABG∽△MFG，则利用相似比可计算出GN，再利用两三角形面积差计算S△DEG即可． 【详解】解：延长AG交DC延长线于M，过G作GH⊥CD，交AB于N，如图， ∵点EBC中点， ∴BE=CE， 在△ABE和△MCE中， ， ∴△ABE≌△MCE（ASA）， ∴AB=MC=4， ∵CF=3DF，CF+DF=4， ∴DF=1，CF=3，FM=FC+CM=3+4=7， ∵AB∥MF， ∴∠ABG=∠MFG，∠AGB=∠MGF， ∴△ABG∽△MFG， ∴， ∵， ∴， S△AFG=S△AFB-S△AGB=， 故答案为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，割补法求三角形面积，掌握正方形的性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，割补法求三角形面积，熟练运用相似比计算线段的长是解题关键． 三、解答题 17. 计算：． 【答案】12． 【解析】 【分析】根据零指数幂，负整指数幂，去括号法则，特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了零指数幂，负整指数幂，去括号法则，特殊角的三角函数值等知识点，熟悉相关知识点是解题的关键 18. 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BD=CE 【答案】证明见详解． 【解析】 【分析】根据“ASA”证明△ABE≌△ACD，然后根据全等三角形的对应边相等即可得到结论. 【详解】证明：在△ABE和△ACD中， ∵, △ABE≌△ACD (ASA)， ∴AE=AD， ∴BD=AB–AD=AC-AE=CE． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 19. 化简：． 【答案】． 【解析】 【分析】首先将括号里面进行通分运算，进而合并分子化简，再利用分式除法法则计算得出答案． 【详解】解： = = = =． 【点睛】此题主要考查了分式的混合运算，正确进行分式的通分运算是解答此题的关键． 20. 某合作社为帮助农民增收致富，利用网络平台销售当地的一种农副产品．为了解该农副产品在一个季度内每天的销售额，从中随机抽取了20天的销售额（单位：万元）作为样本，数据如下：16，14，13，17，15，14，16，17，14，14，15，14，15，15，14，16，12，13，13，16 （1）根据上述样本数据，补全条形统计图； （2）上述样本数据的众数是_____，中位数是_____； （3）根据样本数据，估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额． 【答案】（1）见解析；（2）14万元，14.5万元；（3）14.65万元 【解析】 【分析】（1）分别找出数据“14”和“16”的频数即可补全条形统计图； （2）根据众数和中位数的定义进行解答即可； （3）根据加权平均数的计算方法求出样本平均数，再估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额即可． 【详解】解：（1）根据所给的20个数据得出： 销售额是14万元的有6天； 销售额是16万元的有4天； 补全条形统计图如下： （2）在数据：16，14，13，17，15，14，16，17，14，14，15，14，15，15，14，16，12，13，13，16中， 销售额是14万元的最多，有6天，故众数是14万元； 将数据按大小顺序排列，第10，11个数据分别是14万元和15万元， 所以，中位数是：（万元）； 故答案为：14万元，14.5万元； （3）20天的销售额的平均值为：（万元） 所以，可以估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额为14.65万元． 【点睛】此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数． 21. 某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨． （1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？ （2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完(A、B两种货车均满载)，其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少． 【答案】（1）1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨；（2）共有3种租车方案，方案1：租用A型车8辆，B型车2辆；方案2：租用A型车5辆，B型车6辆；方案3：租用A型车2辆，B型车10辆；租用A型车8辆，B型车2辆最少． 【解析】 【分析】（1）设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据“3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨”列方程组求解可得； （2）设货运公司安排A货车m辆，则安排B货车n辆．根据“共有190吨货物”列出二元一次方程组，结合m，n均为正整数，即可得出各运输方案．再根据方案计算比较得出费用最小的数据． 【详解】解：（1）1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨， 根据题意可得：， 解得：， 答：1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨； （2）设安排A型车m辆，B型车n辆， 依题意得：20m+15n=190，即， 又∵m，n均为正整数， ∴或或， ∴共有3种运输方案， 方案1：安排A型车8辆，B型车2辆； 方案2：安排A型车5辆，B型车6辆； 方案3：安排A型车2辆，B型车10辆． 方案1所需费用：5008+4002=4800(元)； 方案2所需费用：5005+4006=4900(元)； 方案3所需费用：5002+40010=5000(元)； ∵4800＜4900＜5000， ∴安排A型车8辆，B型车2辆最省钱，最省钱的运输费用为4800元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；根据据总费用=500×安排A型车的辆数+400×B型车的辆数分别求出三种运输方案的总费用． 22. 一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数的图象相交于A(2，3)，B(6，n)两点 （1）求一次函数的解析式 （2）将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求的值 【答案】（1）一次函数y=，（2）． 【解析】 【分析】（1）利用点A(2，3)，求出反比例函数，求出 B(6，1)，利用待定系数法求一次函数解析式； （2）利用平移求出y=，联立，求出P(-6,-1),Q(-2,-3),在Rt△MON中，由勾股定理MN=,PQ=即可． 【详解】解：（1）∵反比例函数的图象过A(2，3)， ∴m=6, ∴6n=6， ∴n=1， ∴B（6,1） 一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数的图象相交于A(2，3)，B(6，1)两点， ∴， 解得， 一次函数y=， （2）直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，得y=， 当y=0时，，，当x=0时，y=-4， ∴M（-8，0），N（0，-4）， ， 消去y得， 解得， 解得，， ∴P(-6,-1),Q(-2,-3), 在Rt△MON中， ∴MN=, ∴PQ=， ∴． 【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，利用平移求平移后直线l.，解方程组，一元二次方程，勾股定理，掌握待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，利用平移求平移后直线l.，解方程组，一元二次方程，勾股定理是解题关键． 23. 如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为海里． （1）求观测点B与C点之间的距离； （2）有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间． 【答案】（1）观测点B与C点之间的距离为50海里；（2）救援船到达C点需要的最少时间为小时． 【解析】 【分析】（1）过C作CE⊥AB于E，分别在Rt△ACE和Rt△BCE中，解直角三角形即可求解； （2）过C作CF⊥BD，交DB延长线于F，求得四边形BFCE为矩形，在Rt△CDF中，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）过C作CE⊥AB于E， 由题意得：∠CAE=45°，∠CBE=90°-60°=30°，AC=25， 在Rt△ACE中， AE=CE=AC=25=25(海里)， 在Rt△BCE中， BC=2CE=50(海里)，BE==25 (海里)， ∴观测点B与C点之间的距离为50海里； （2）过C作CF⊥BD，交DB延长线于F， ∵CE⊥AB，CF⊥BD，∠FBE=90°， ∴四边形BFCE为矩形， ∴CF=BE=25 (海里)，BF=CE=25(海里)， 在Rt△CDF中，CF=25 (海里)，DF=55(海里)， ∴CD=70(海里)， 救援船到达C点需要的最少时间为(小时)． ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 24. 如图，ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，AE是⊙O的直径，连接EC （1）求证：； （2）若，于点，，，求的值 【答案】（1）证明见详解；（2）18． 【解析】 【分析】（1）连接，根据是⊙O的切线，AE是⊙O的直径，可得，利用，得到，根据圆周角定理可得，则可证得； （2）由（1）可知，易得，则有,则可得，并可求得，连接，易证，则有，可得． 详解】解：（1）连接 ∵是⊙O的切线，AE是⊙O的直径， ∴， ∴ ∴ 又∵ ∴ 根据圆周角定理可得： ∴， ∴； （2）由（1）可知， ∵ ∴ ∴ ∴, ∵，， ∴ ∴ ∴ 又∵中， ∴， 如图示，连接 ∵， ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，三角形相似的判定与性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与两坐标轴分别相交于A，B，C三点 （1）求证：∠ACB=90° （2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F． ①求DE+BF的最大值； ②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，求点D的坐标． 【答案】（1）（2）①9；②或． 【解析】 【分析】（1）分别计算A，B，C三点的坐标，再利用勾股定理求得AB、BC、AC的长，最后利用勾股定理逆定理解题； （2）①先解出直线BC的解析式，设，接着解出，利用二次函数的配方法求最值；②根据直角三角形斜边的中线性质，解得AG的长，再证明，再分两种情况讨论以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，结合相似三角形对应边成比例性质解题即可． 【详解】解：（1）令x=0，得 令得 ， （2）①设直线BC的解析式为：，代入，得 设 即DE+BF的最大值为9； ②点G是AC的中点， 在中， 即为等腰三角形， 若以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似， 则① 又 ， 或 经检验：不符合题意，舍去， ②， 又 整理得， ， 或， 同理：不合题意，舍去， 综上所述，或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理及其逆定理、二次函数的最值、解一元二次方程等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键． 本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（）专业教师团队编校出品。 登录组卷网可对本试卷进行单题组卷、细目表分析、布置作业、举一反三等操作。 试卷地址：在组卷网浏览本卷 组卷网是学科网旗下的在线题库平台，覆盖小初高全学段全学科、超过900万精品解析试题。 关注组卷网服务号，可使用移动教学助手功能（布置作业、线上考试、加入错题本、错题训练）。 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