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2021年湖南省长沙市中考数学试卷 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．下列四个实数中，最大的数是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．π D．4 2．2021年5月11日，第七次全国人口普查结果发布，长沙市人口总数首次突破千万，约为10040000人，将数据10040000用科学记数法表示为（　　） A．1.004×106 B．1.004×107 C．0.1004×108 D．10.04×106 3．下列几何图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（　　） A．a3•a2＝a5 B．2a+3a＝6a C．a8÷a2＝a4 D．（a2）3＝a5 5．如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点G，H，∠AGE＝100°，则∠DHF的度数为（　　） A．100° B．80° C．50° D．40° 6．如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（　　） A．27° B．108° C．116° D．128° 7．下列函数图象中，表示直线y＝2x+1的是（　　） A．B．C．D． 8．“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是：22，23，24，23，24，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（　　） A．24，25 B．23，23 C．23，24 D．24，24 9．有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数．将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的概率是（　　） A． B． C． D． 10．在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17．根据以上信息，下列判断正确的是（　　） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 C．丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式：x2﹣2021x＝　 　． 12．如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离为2，则∠AOC的度数为 　 　． 13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点，若OE＝6，则BC的长为 　 　． 14．若关于x的方程x2﹣kx﹣12＝0的一个根为3，则k的值为 　 　． 15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为 　 　． 16．某学校组织了主题为“保护湘江，爱护家园”的手抄报作品征集活动．先从中随机抽取了部分作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，然后根据统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图．那么，此次抽取的作品中，等级为B等的作品份数为 　 　． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：． 18．（6分）先化简，再求值：（x﹣3）2+（x+3）（x﹣3）+2x（2﹣x），其中x＝﹣． 19．（6分）人教版初中数学教科书八年级上册第35﹣36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：△ABC． 求作：△A′B′C′，使得△A′B′C′≌△ABC． 作法：如图． （1）画B'C′＝BC； （2）分别以点B′，C′为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A′； （3）连接线段A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： （1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）： 证明：由作图可知，在△A′B′C′和△ABC中， ∴△A'B'C′≌　 　． （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 　 　．（填序号） ①AAS ②ASA ③SAS ④SSS 20．（8分）“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市．本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物．据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个． （1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率； （2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？ 21．（8分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB＝4． （1）求证：▱ABCD是矩形； （2）求AD的长． 22．（9分）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分． （1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？ （2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？ 23．（9分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使得CE＝CA，连接AE． （1）求证：∠B＝∠ACB； （2）若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积． 24．（10分）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”．根据该约定，完成下列各题． （1）若点A（1，r）与点B（s，4）是关于x的“T函数”y＝的图象上的一对“T点”，则r＝　 　，s＝　 　，t＝　 　（将正确答案填在相应的横线上）； （2）关于x的函数y＝kx+p（k，p是常数）是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”如果不是，请说明理由； （3）若关于x的“T函数”y＝ax2+bx+c（a＞0，且a，b，c是常数）经过坐标原点O，且与直线l：y＝mx+n（m≠0，n＞0，且m，n是常数）交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，当x1，x2满足（1﹣x1）﹣1+x2＝1时，直线l是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由． 25．（10分）如图，点O为以AB为直径的半圆的圆心，点M，N在直径AB上，点P，Q在上，四边形MNPQ为正方形，点C在上运动（点C与点P，Q不重合），连接BC并延长交MQ的延长线于点D，连接AC交MQ于点E，连接OQ． （1）求sin∠AOQ的值；（2）求的值； （3）令ME＝x，QD＝y，直径AB＝2R（R＞0，R是常数），求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围． 2021年湖南省长沙市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．下列四个实数中，最大的数是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．π D．4 【解答】解：∵﹣3＜﹣1＜π＜4， ∴最大的数是4， 故选：D． 2．2021年5月11日，第七次全国人口普查结果发布，长沙市人口总数首次突破千万，约为10040000人，将数据10040000用科学记数法表示为（　　） A．1.004×106 B．1.004×107 C．0.1004×108 D．10.04×106 【解答】解：10040000＝1.004×107． 故选：B． 3．下列几何图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：C． 4．下列计算正确的是（　　） A．a3•a2＝a5 B．2a+3a＝6a C．a8÷a2＝a4 D．（a2）3＝a5 【解答】解：A．a3•a2＝a5,故此选项符合题意； B．2a+3a＝5a,故此选项不合题意； C．a8÷a2＝a6,故此选项不合题意； D．（a2）3＝a6,故此选项不合题意； 故选：A． 5．如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点G，H，∠AGE＝100°，则∠DHF的度数为（　　） A．100° B．80° C．50° D．40° 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠CHG＝∠AGE＝100°， ∴∠DHF＝∠CHG＝100°． 故选：A． 6．如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（　　） A．27° B．108° C．116° D．128° 【解答】解：∵∠A＝54°， ∴∠BOC＝2∠A＝108°， 故选：B． 7．下列函数图象中，表示直线y＝2x+1的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵k＝2＞0，b＝1＞0， ∴直线经过一、二、三象限． 故选：B． 8．“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是：22，23，24，23，24，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（　　） A．24，25 B．23，23 C．23，24 D．24，24 【解答】解：将这组数据从小到大重新排列为22，23，23，23，24，24，25，25，26， ∴这组数据的众数为23cm，中位数为24cm， 故选：C． 9．有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数．将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的概率是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） 6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6） 由表可知共有36种等可能的情况，两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的情况有4种， ∴两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的概率为＝， 故选：A． 10．在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17．根据以上信息，下列判断正确的是（　　） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 C．丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9 【解答】解：由题意可知，一共十张卡片十个数，五个人每人两张卡片， ∴每人手里的数字不重复． 由甲：11，可知甲手中的数字可能是1和10，2和9，3和8，4和7，5和6； 由乙：4，可知乙手中的数字只有1和3； 由丙：16，可知丙手中的数字可能是6和10，7和9； 由丁：7，可知丁手中的数字可能是1和6，2和5，3和4； 由戊：17，可知戊手中的数字可能是7和10，8和9； ∴丁只能是2和5，甲只能是4和7，丙只能是6和10，戊只能是8和9． ∴各选项中，只有A是正确的， 故选：A． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式：x2﹣2021x＝　x(x﹣2021)　． 【解答】解：x2﹣2021x＝x(x﹣2021)． 故答案为：x(x﹣2021)． 12．如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离为2，则∠AOC的度数为 　45°　． 【解答】解：∵OC⊥AB, ∴AC＝BC＝＝2, ∵OC＝2, ∴△AOC为等腰直角三角形， ∴∠AOC＝45°， 故答案为：45°． 13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点，若OE＝6，则BC的长为 　12　． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，且BD⊥AC， 又∵点E是边AB的中点， ∴OE＝AE＝EB＝， ∴BC＝AB＝2OE＝6×2＝12， 故答案为：12． 14．若关于x的方程x2﹣kx﹣12＝0的一个根为3，则k的值为 　﹣1　． 【解答】解：把x＝3代入方程x2﹣kx﹣12＝0得：9﹣3k﹣12＝0， 解得：k＝﹣1， 故答案为：﹣1． 15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为 　2.4　． 【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴CD＝DE， ∵DE＝1.6， ∴CD＝1.6， ∴BD＝BC﹣CD＝4﹣1.6＝2.4． 故答案为：2.4 16．某学校组织了主题为“保护湘江，爱护家园”的手抄报作品征集活动．先从中随机抽取了部分作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，然后根据统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图．那么，此次抽取的作品中，等级为B等的作品份数为 　50　． 【解答】解：∵30÷25%＝120（份）， ∴一共抽取了120份作品， ∴此次抽取的作品中，等级为B等的作品份数为：120﹣30﹣28﹣12＝50（份）， 故答案为：50． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：． 【解答】解：原式＝﹣2×+1+ ＝﹣+1+4 ＝5． 18．（6分）先化简，再求值：（x﹣3）2+（x+3）（x﹣3）+2x（2﹣x），其中x＝﹣． 【解答】解：原式＝x2﹣6x+9+x2﹣9+4x﹣2x2 ＝﹣2x, 当x＝﹣时， 原式＝﹣2×（﹣） ＝1． 19．（6分）人教版初中数学教科书八年级上册第35﹣36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：△ABC． 求作：△A′B′C′，使得△A′B′C′≌△ABC． 作法：如图． （1）画B'C′＝BC； （2）分别以点B′，C′为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A′； （3）连接线段A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： （1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）： 证明：由作图可知，在△A′B′C′和△ABC中， ∴△A'B'C′≌　△ABC(SSS)　． （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 　④　．（填序号） ①AAS ②ASA ③SAS ④SSS 【解答】解：（1）由作图可知，在△A′B′C′和△ABC中， , ∴△A'B'C′≌△ABC(SSS)． 故答案为：△ABC(SSS)． （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是SSS, 故答案为：④． 20．（8分）“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市．本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物．据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个． （1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率； （2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？ 【解答】解：（1）参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率为＝0.25； （2）设袋子中白球的数量为x， 则＝0.25， 解得x＝36， 经检验x＝36是分式方程的解且符合实际， 所以估计纸箱中白球的数量接近36． 21．（8分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB＝4． （1）求证：▱ABCD是矩形； （2）求AD的长． 【解答】（1）证明：∵△AOB为等边三角形， ∴∠BAO＝∠AOB＝60°，OA＝OB， ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OB＝OD＝BD，OA＝OC＝AC， ∴BD＝AC， ∴▱ABCD是矩形； （2）解：∵▱ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°， ∵∠ABO＝60°， ∴∠ADB＝90°﹣60°＝30°， ∴AD＝AB＝4． 22．（9分）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分． （1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？ （2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？ 【解答】解：（1）设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了（25﹣1﹣x）道题， 依题意得：4x﹣（25﹣1﹣x）＝86， 解得：x＝22． 答：该参赛同学一共答对了22道题． （2）设参赛者需答对y道题才能被评为“学党史小达人”，则答错了（25﹣y）道题， 依题意得：4y﹣（25﹣y）≥90， 解得：y≥23． 答：参赛者至少需答对23道题才能被评为“学党史小达人”． 23．（9分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使得CE＝CA，连接AE． （1）求证：∠B＝∠ACB； （2）若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积． 【解答】解：（1）证明：在△ADB和△ADC中： ， ∴△ADB≌△ADC（SAS）， ∴∠B＝∠ACB； （2）在Rt△ADB中，BD＝＝＝3, ∴BD＝CD＝3,AC＝AB＝CE＝5， ∴BE＝2BD+CE＝2×3+5＝11， 在Rt△ADE中，AE＝＝＝4， ∴C△ABE＝AB+BE+AE＝5+11+4＝16+4， S△ABE＝＝＝22． 24．（10分）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”．根据该约定，完成下列各题． （1）若点A（1，r）与点B（s，4）是关于x的“T函数”y＝的图象上的一对“T点”，则r＝　4　，s＝　﹣1　，t＝　4　（将正确答案填在相应的横线上）； （2）关于x的函数y＝kx+p（k，p是常数）是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”如果不是，请说明理由； （3）若关于x的“T函数”y＝ax2+bx+c（a＞0，且a，b，c是常数）经过坐标原点O，且与直线l：y＝mx+n（m≠0，n＞0，且m，n是常数）交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，当x1，x2满足（1﹣x1）﹣1+x2＝1时，直线l是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由． 【解答】解：（1）∵A，B关于y轴对称， ∴s＝﹣1，r＝4， ∴A的坐标为（1，4）， 把A（1，4）代入是关于x的“T函数”中，得：t＝4， 故答案为r＝4，s＝﹣1，t＝4； （2）当k＝0时，有y＝p， 此时存在关于y轴对称得点， ∴y＝kx+p是“T函数”， 当k≠0时，不存在关于y轴对称的点， ∴y＝kx+p不是“T函数”； （3）∵y＝ax2+bx+c过原点， ∴c＝0， ∵y＝ax2+bx+c是“T函数”， ∴b＝0， ∴y＝ax2， 联立直线l和抛物线得： ， 即：ax2﹣mx﹣n＝0， ，， 又∵， 化简得：x1+x2＝x1x2， ∴，即m＝﹣n， ∴y＝mx+n＝mx﹣m， 当x＝1时，y＝0， ∴直线l必过定点（1，0）． 25．（10分）如图，点O为以AB为直径的半圆的圆心，点M，N在直径AB上，点P，Q在上，四边形MNPQ为正方形，点C在上运动（点C与点P，Q不重合），连接BC并延长交MQ的延长线于点D，连接AC交MQ于点E，连接OQ． （1）求sin∠AOQ的值； （2）求的值； （3）令ME＝x，QD＝y，直径AB＝2R（R＞0，R是常数），求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围． 【解答】解：（1）如图，连接OP． ∵四边形MNPQ是正方形， ∴∠OMN＝∠ONP＝90°，MQ＝PN， ∵OQ＝OP， ∴△OMQ≌△ONP（HL）， ∴OM＝ON， 设OM＝ON＝m，则MQ＝2m，OQ＝＝m， ∴sin∠AOQ＝＝＝． （2）由（1）可知OM＝ON＝m，OQ＝OA＝m，MN＝2m， ∴AM＝OA﹣OM＝m﹣m， ∴＝＝． （3）∵AB＝2R， ∴OA＝OB＝OQ＝r， ∵QM＝2MO， ∴OM＝，MQ＝， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝∠DCE＝90°， ∵∠CED＝∠AEM， ∴∠A＝∠D， ∵∠AME＝∠DMB＝90°， ∴△AME∽△DMB， ∴＝， ∴＝， ∴y＝﹣， 当点C与P重合时，＝， ∴＝， ∴x＝R， ∴R＜x＜R． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2021/6/26 7:54:43；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@；学号：500557 第13页（共13页）