2022年重庆市中考数学试卷（b卷）.doc

2022年重庆市中考数学试卷（B卷） 一．选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了序号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个正确的，请将答题卡上题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1．（4分）的相反数是　　 A． B．2 C． D． 2．（4分）下列北京冬奥会运动标识图案是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 3．（4分）如图，直线，直线与，相交，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 4．（4分）如图是小颖0到12时的心跳速度变化图，在这一时段内心跳速度最快的时刻约为　　 A．3时 B．6时 C．9时 D．12时 5．（4分）如图，与位似，点是它们的位似中心，且相似比为，则与的周长之比是　　 A． B． C． D． 6．（4分）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为　　 A．15 B．13 C．11 D．9 7．（4分）估计的值在　　 A．6到7之间 B．5到6之间 C．4到5之间 D．3到4之间 8．（4分）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 9．（4分）如图，在正方形中，对角线、相交于点．、分别为、上一点，且，连接，，．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 10．（4分）如图，是的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，若，则的长为　　 A． B． C． D．3 11．（4分）关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数的值之和是　　 A．13 B．15 C．18 D．20 12．（4分）对多项式任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：，，， 给出下列说法： ①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等； ②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0； ③所有的“加算操作”共有8种不同的结果． 以上说法中正确的个数为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 二．填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 13．（4分）　　． 14．（4分）在不透明的口袋中装有2个红球，1个白球，它们除颜色外无其他差别，从口袋中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球，两次摸出的球都是红球的概率为 　　． 15．（4分）如图，在矩形中，，，以为圆心，的长为半径画弧，交于点．则图中阴影部分的面积为 　　．（结果保留 16．（4分）特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，每包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高、、．该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量之比为，三种特产的总利润是总成本的，则每包米花糖与每包麻花的成本之比为 　　． 三．解答题（共2个小题，每小题8分，共16分） 17．（8分）计算： （1）； （2）． 18．（8分）我们知道，矩形的面积等于这个矩形的长乘宽，小明想用其验证一个底为，高为的三角形的面积公式为．想法是：以为边作矩形，点在边上，再过点作的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证．按以上思路完成下面的作图与填空： 证明：用直尺和圆规过点作的垂线交于点．（只保留作图痕迹） 在和中， ， ． ， ①　　． ， ②　　． 又③　　， ． 同理可得：④　　． ． 三．解答题（共7个小题，每小题10分，共70分） 19．（10分）在“世界读书日”到来之际，学校开展了课外阅读主题周活动，活动结束后，经初步统计，所有学生的课外阅读时长都不低于6小时，但不足12小时，从七，八年级中各随机抽取了20名学生，对他们在活动期间课外阅读时长（单位：小时）进行整理、描述和分析（阅读时长记为，，记为6；，记为7；，记为8；以此类推），下面分别给出了抽取的学生课外阅读时长的部分信息， 七年级抽取的学生课外阅读时长： 6，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，10，10，11， 七、八年级抽取的学生课外阅读时长统计表 年级 七年级 八年级 平均数 8.3 8.3 众数 9 中位数 8 8小时及以上所占百分比 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：　　，　　，　　． （2）该校七年级有400名学生，估计七年级在主题周活动期间课外阅读时长在9小时及以上的学生人数． （3）根据以上数据，你认为该校七，八年级学生在主题周活动中，哪个年级学生的阅读积极性更高？请说明理由．（写出一条理由即可） 20．（10分）反比例函数的图象如图所示，一次函数的图象与的图象交于，两点． （1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）一次函数的图象与轴交于点，连接，求的面积． 21．（10分）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠． （1）计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？ （2）因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？ 22．（10分）湖中小岛上码头处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面点处的快艇和湖岸处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头接该游客，再沿方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知在的北偏东方向上，在的北偏东方向上，且在的正南方向900米处． （1）求湖岸与码头的距离（结果精确到1米，参考数据：； （2）救援船的平均速度为150米分，快艇的平均速度为400米分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计） 23．（10分）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数，若能被它的各数位上的数字之和整除，则称是的“和倍数”． 例如：，是13的“和倍数”． 又如：，不是“和倍数”． （1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由； （2）三位数是12的“和倍数”， ，，分别是数其中一个数位上的数字，且．在，，中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为（A），最小的两位数记为（A），若为整数，求出满足条件的所有数． 24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点为直线上方抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，点与点关于抛物线的对称轴对称．将抛物线向右平移，使新抛物线的对称轴经过点．点在新抛物线上，点在上，直接写出所有使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来． 25．（10分）在中，，，为的中点，，分别为，上任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，． （1）如图1，点与点重合，且的延长线过点，若点为的中点，连接，求的长； （2）如图2，的延长线交于点，点在上，且，求证：； （3）如图3，为线段上一动点，为的中点，连接，为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到△，连接，直接写出线段的长度的最小值． 2022年重庆市中考数学试卷（B卷） 参考答案与试题解析 一．选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了序号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个正确的，请将答题卡上题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1．（4分）的相反数是　　 A． B．2 C． D． 【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可． 【解答】解：的相反数是：， 故选：． 2．（4分）下列北京冬奥会运动标识图案是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【解答】解：．不是轴对称图形，故此选项不合题意； ．不是轴对称图形，故此选项不合题意； ．是轴对称图形，故此选项符合题意； ．不是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：． 3．（4分）如图，直线，直线与，相交，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据平行线的性质，可以得到，然后根据的度数，即可得到的度数． 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 4．（4分）如图是小颖0到12时的心跳速度变化图，在这一时段内心跳速度最快的时刻约为　　 A．3时 B．6时 C．9时 D．12时 【分析】直接由图形可得出结果． 【解答】解：由图形可知，在这一时段内心跳速度最快的时刻约为9时， 故选：． 5．（4分）如图，与位似，点是它们的位似中心，且相似比为，则与的周长之比是　　 A． B． C． D． 【分析】根据两三角形位似，周长比等于相似比即可求解． 【解答】解：与位似，点是它们的位似中心，且相似比为， 与的周长之比是， 故选：． 6．（4分）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为　　 A．15 B．13 C．11 D．9 【分析】根据前面三个图案中菱形的个数，得出规律，第个图案中菱形有个，从而得出答案． 【解答】解：由图形知，第①个图案中有1个菱形， 第②个图案中有3个菱形，即， 第③个图案中有5个菱形即， 则第个图案中菱形有个， 第⑥个图案中有个菱形， 故选：． 7．（4分）估计的值在　　 A．6到7之间 B．5到6之间 C．4到5之间 D．3到4之间 【分析】用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案． 【解答】解：， ， ， 故选：． 8．（4分）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】第三年的植树量第一年的植树量年平均增长率），把相关数值代入即可． 【解答】解：根据题意得：， 故选：． 9．（4分）如图，在正方形中，对角线、相交于点．、分别为、上一点，且，连接，，．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】利用正方形的对角线互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可． 【解答】解：是正方形， ，． ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ． 在和中， ， ． ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 故选：． 10．（4分）如图，是的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，若，则的长为　　 A． B． C． D．3 【分析】连结，根据切线的性质得到，根据，得到，根据，得到，在中，根据三角形内角和定理求得，根据含30度角的直角三角形的性质得到，在中，根据求出的半径即可得出答案． 【解答】解：如图，连结， 是的切线， ， ， ， ， ， 设， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 故选：． 11．（4分）关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数的值之和是　　 A．13 B．15 C．18 D．20 【分析】解分式方程得得出，结合题意及分式方程的意义求出且，解不等式组得出，结合题意得出，进而得出且，继而得出所有满足条件的整数的值之和，即可得出答案． 【解答】解：解分式方程得：， 且， 且， 且， 解不等式组得：， 不等式组的解集为， ， ， 且， 所有满足条件的整数的值之和为， 故选：． 12．（4分）对多项式任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：，，， 给出下列说法： ①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等； ②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0； ③所有的“加算操作”共有8种不同的结果． 以上说法中正确的个数为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据括号前是“”，添括号后，各项的符号都不改变判断①；根据相反数判断②；通过例举判断③． 【解答】解：①如，，故①符合题意； ②的相反数为，不论怎么加括号都得不到这个代数式，故②符合题意； ③第1种：结果与原多项式相等； 第2种：； 第3种：； 第4种：； 第5种：； 第6种：； 第7种：； 第8种：；故③符合题意； 正确的个数为3， 故选：． 二．填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 13．（4分）　3　． 【分析】根据绝对值的性质和零指数幂的性质计算可得答案． 【解答】解：原式． 故答案为：3． 14．（4分）在不透明的口袋中装有2个红球，1个白球，它们除颜色外无其他差别，从口袋中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球，两次摸出的球都是红球的概率为 　　． 【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中两次摸出的球都是红球的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次摸出的球都是红球的结果有4种， 两次摸出的球都是红球的概率为， 故答案为：． 15．（4分）如图，在矩形中，，，以为圆心，的长为半径画弧，交于点．则图中阴影部分的面积为 　　．（结果保留 【分析】先根据锐角三角函数求出，再根据扇形面积公式求出阴影部分的面积． 【解答】解：以为圆心，的长为半径画弧，交于点， ， 在矩形中，，，， ， ， ， ， 阴影部分的面积：， 故答案为：． 16．（4分）特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，每包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高、、．该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量之比为，三种特产的总利润是总成本的，则每包米花糖与每包麻花的成本之比为 　　． 【分析】先根据比例设该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量分别为，，，每包麻花的成本为元，每包米花糖的成本为元，则每包桃片的成本是元，由三种特产的总利润是总成本的列方程可得，从而解答此题． 【解答】解：设该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量分别为，，，每包麻花的成本为元，每包米花糖的成本为元，则每包桃片的成本是元， 由题意得：， ， ， 则每包米花糖与每包麻花的成本之比为． 故答案为：． 三．解答题（共2个小题，每小题8分，共16分） 17．（8分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）根据平方差公式、单项式乘多项式可以解答本题； （2）根据分式的加法和除法可以解答本题． 【解答】解：（1） ； （2）原式 ． 18．（8分）我们知道，矩形的面积等于这个矩形的长乘宽，小明想用其验证一个底为，高为的三角形的面积公式为．想法是：以为边作矩形，点在边上，再过点作的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证．按以上思路完成下面的作图与填空： 证明：用直尺和圆规过点作的垂线交于点．（只保留作图痕迹） 在和中， ， ． ， ①　　． ， ②　　． 又③　　， ． 同理可得：④　　． ． 【分析】根据矩形的性质、垂直的定义得出，再根据，推出，进而证明，同理可得：④，最后得出三角形的面积公式为． 【解答】证明： ， ． ， ， ， ， ， 在与中 ， ． 同理可得：④， ． 故答案为：①，②，③，④． 三．解答题（共7个小题，每小题10分，共70分） 19．（10分）在“世界读书日”到来之际，学校开展了课外阅读主题周活动，活动结束后，经初步统计，所有学生的课外阅读时长都不低于6小时，但不足12小时，从七，八年级中各随机抽取了20名学生，对他们在活动期间课外阅读时长（单位：小时）进行整理、描述和分析（阅读时长记为，，记为6；，记为7；，记为8；以此类推），下面分别给出了抽取的学生课外阅读时长的部分信息， 七年级抽取的学生课外阅读时长： 6，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，10，10，11， 七、八年级抽取的学生课外阅读时长统计表 年级 七年级 八年级 平均数 8.3 8.3 众数 9 中位数 8 8小时及以上所占百分比 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：　8　，　　，　　． （2）该校七年级有400名学生，估计七年级在主题周活动期间课外阅读时长在9小时及以上的学生人数． （3）根据以上数据，你认为该校七，八年级学生在主题周活动中，哪个年级学生的阅读积极性更高？请说明理由．（写出一条理由即可） 【分析】（1）根据众数的定义可求出七年级学生的课外阅读时长的众数，即的值；根据中位数的定义可求出八年级学生的课外阅读时长的中位数，即的值，根据频率可求出八年级学生的课外阅读时长在8小时及以上所占百分比，即的值； （2）求出样本中七年级学生课外阅读时长在9小时及以上的学生所占的百分比，即可估计总体中所占的百分比，进而求出相应人数； （3）由中位数、众数的比较得出结论． 【解答】解：（1）七年级学生的课外阅读时长出现次数最多的是8小时，因此七年级学生的课外阅读时长的众数是8小时，即； 将八年级学生的课外阅读时长从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是8.5小时，即； ， 故答案为：8，8.5，； （2）（人， 答：七年级在主题周活动期间课外阅读时长在9小时及以上的大约有160人； （3）八年级参与的积极性更高，理由：八年级学生课外阅读时长的中位数，众数均比七年级的高． 20．（10分）反比例函数的图象如图所示，一次函数的图象与的图象交于，两点． （1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）一次函数的图象与轴交于点，连接，求的面积． 【分析】（1）将，两坐标先代入反比例函数求出，，然后由待定系数法求函数解析式． （2）根据直线在曲线下方时的取值范围求解． （3）由直线解析式求得点的坐标，然后根据三角形面积公式即可求解． 【解答】解：（1），在反比例函数的图象上， ， 解得，， ，， 把，代入中得， 解得， 一次函数解析式为． 画出函数图象如图； （2）由图象可得当或时，直线在反比例函数图象下方， 的解集为或． （3）把代入得， 解得， 点坐标为， ． 21．（10分）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠． （1）计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？ （2）因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？ 【分析】（1）根据题意可知：甲原来工作5天的工作量后来2天的工作量，可以列出相应的方程，然后求解即可； （2）根据题意可知：甲、乙施工的长度都是900米，再根据题意可知，两个工程队施工天数相同，即可列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验． 【解答】解：（1）设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠米，则原计划每天施工米， 由题意可得：， 解得， 答：甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100米； （2）设乙施工队原来每天修建灌溉水渠米，则技术更新后每天修建水渠米， 由题意可得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 答：乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米． 22．（10分）湖中小岛上码头处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面点处的快艇和湖岸处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头接该游客，再沿方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知在的北偏东方向上，在的北偏东方向上，且在的正南方向900米处． （1）求湖岸与码头的距离（结果精确到1米，参考数据：； （2）救援船的平均速度为150米分，快艇的平均速度为400米分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计） 【分析】（1）延长到，则于点，根据题意可得，米，，所以，然后根据含30度角的直角三角形即可解决问题； （2）设快艇在分钟内将该游客送上救援船，根据救援船的平均速度为150米分，快艇的平均速度为400米分，列出方程，进而可以解决问题． 【解答】解：（1）如图，延长到，则于点， 根据题意可知：，米，， ， 米， ， 米， （米， （米 答：湖岸与码头的距离约为1559米； （2）设快艇在分钟内将该游客送上救援船， 救援船的平均速度为150米分，快艇的平均速度为400米分， ， ， 答：快艇能在5分钟内将该游客送上救援船． 23．（10分）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数，若能被它的各数位上的数字之和整除，则称是的“和倍数”． 例如：，是13的“和倍数”． 又如：，不是“和倍数”． （1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由； （2）三位数是12的“和倍数”， ，，分别是数其中一个数位上的数字，且．在，，中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为（A），最小的两位数记为（A），若为整数，求出满足条件的所有数． 【分析】（1）根据“和倍数”的定义依次判断即可； （2）设，根据“和倍数”的定义表示（A）和（A），代入中，根据为整数可解答． 【解答】解：（1）， 不是“和倍数”； ， 是9的“和倍数”； （2）设， 由题意得：（A），（A）， ， ，为整数， ， ， ，5，7，9， ，7，5，3， ①当，时，（舍，， 则或372； ②当，时，， 则或516； ③当，时，此种情况没有符合的值； ④当，时，此种情况没有符合的值； 综上，满足条件的所有数为：732或372或156或516． 24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点为直线上方抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，点与点关于抛物线的对称轴对称．将抛物线向右平移，使新抛物线的对称轴经过点．点在新抛物线上，点在上，直接写出所有使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来． 【分析】（1）将点、坐标分别代入抛物线解析式，解方程即可； （2）利用，得，则，设，，，用含的代数式表示出，利用二次函数的性质可得答案； （3）根据原来抛物线和新抛物线的对称轴知，抛物线向右平移个单位，则平移后抛物线解析式为，设，，分与为对角线或与为对角线或与为对角线，分别利用中点坐标公式可得方程，从而解决问题． 【解答】解：（1）抛物线与轴交于点，与轴交于点． ， ． 抛物线的函数表达式为； （2），， ，， 由勾股定理得，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 设，，， ， ， 开口向下，， 当时，的最大值为，此时； （3）由知，对称轴， ， 直线， 抛物线向右平移个单位， 平移后抛物线解析式为， 设，， ①与为对角线时， ， ， ， ②与为对角线时， ， ， ， ③与为对角线时， ， ， ， 综上：或或． 25．（10分）在中，，，为的中点，，分别为，上任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，． （1）如图1，点与点重合，且的延长线过点，若点为的中点，连接，求的长； （2）如图2，的延长线交于点，点在上，且，求证：； （3）如图3，为线段上一动点，为的中点，连接，为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到△，连接，直接写出线段的长度的最小值． 【分析】（1）连接，判断出为等腰直角三角形，进而判断出，进而得出，再求出，即可求出答案； （2）过点作交的延长线于，先判断出，得出，，进而判断出，即可得出结论； （3）先求出，再判断出点是以点为圆心，为半径的圆上，再判断出点在点 右侧过点与垂直且等长的线段上，进而得出最大时，最小，即可求出答案． 【解答】（1）解：如图1，连接， 由旋转知，，， 为等腰直角三角形， 点是的中点， ， 点是的中点， ， 在中，， ， ； （2）证明：如图2， 过点作交的延长线于， ， 由旋转知，，， ， ， ，点是的中点， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：点是的中点， ， 根据勾股定理得，， 由折叠直，， 点是以点为圆心，为半径的圆上， 由旋转知，， 点在点 右侧过点与垂直且等长的线段上， 的最小值为， 要最小，则最大，即最大， 点在上， 点在点或点时，最大，最大值为， 线段的长度的最小值． 第36页（共36页）