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2022年四川省德阳市中考数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的．） 1．（4分）的绝对值是　　 A． B．2 C． D． 2．（4分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 3．（4分）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 4．（4分）如图，直线，，，则　　 A． B． C． D． 5．（4分）下列事件中，属于必然事件的是　　 A．抛掷硬币时，正面朝上 B．明天太阳从东方升起 C．经过红绿灯路口，遇到红灯 D．玩“石头、剪刀、布”游戏时，对方出“剪刀” 6．（4分）在学校开展的劳动实践活动中，生物兴趣小组7个同学采摘到西红柿的质量（单位：分别是：5，9，5，6，4，5，7，则这组数据的众数和中位数分别是　　 A．6，6 B．4，6 C．5，6 D．5，5 7．（4分）八一中学校九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是和．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是　　 A． B． C． D． 8．（4分）一个圆锥的底面直径是8，母线长是9，则圆锥侧面展开图的面积是　　 A． B． C． D． 9．（4分）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是　　 A． B． C． D． 10．（4分）如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是　　 A．四边形是矩形 B．四边形的内角和小于四边形的内角和 C．四边形的周长等于四边形的对角线长度之和 D．四边形的面积等于四边形的面积的 11．（4分）如果关于的方程的解是正数，那么的取值范围是　　 A． B．且 C． D．且 12．（4分）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上） 13．（4分）分解因式：　　． 14．（4分）学校举行物理科技创新比赛，各项成绩均按百分制计，然后按照理论知识占，创新设计占，现场展示占计算选手的综合成绩（百分制）．某同学本次比赛的各项成绩分别是：理论知识85分，创新设计88分，现场展示90分，那么该同学的综合成绩是 　　分． 15．（4分）已知，，则　 　． 16．（4分）如图，直角三角形纸片中，，点是边上的中点，连结，将沿折叠，点落在点处，此时恰好有．若，那么　　． 17．（4分）古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下： 其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是，第三个三角形数是， 图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是，第三个正方形数是， 由此类推，图④中第五个正六边形数是 　　． 18．（4分）如图，已知点，，直线经过点．试探究：直线与线段有交点时的变化情况，猜想的取值范围是 　　． 三、解答题（本大题共7小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 19．（7分）计算：． 20．（12分）据《德阳县志》记载，德阳钟鼓楼始建于明朝成化年间，明末因兵灾焚毁，清乾隆五十二年重建．在没有高层建筑的时代，德阳钟鼓楼一直流传着“半截还在云里头”的故事．1971年，因破四旧再次遭废．现在的钟鼓楼是老钟鼓楼的仿制品，于2005年12月27日破土动工，2007年元旦落成，坐落东山之巅，百尺高楼金碧辉煌，流光溢彩；万丈青壁之间，银光闪烁，蔚为壮观，已经成为人们休闲的打卡胜地． 学校数学兴趣小组在开展“数学与传承”探究活动中，进行了“钟鼓楼知识知多少”专题调查活动，将调查问题设置为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四类．他们随机抽取部分市民进行问卷调查，并将结果绘制成了如下两幅统计图： （1）设本次问卷调查共抽取了名市民，图2中“不太了解”所对应扇形的圆心角是度，分别写出，的值； （2）根据以上调查结果，在12000名市民中，估计“非常了解”的人数有多少？ （3）为进一步跟踪调查市民对钟鼓楼知识掌握的具体情况，兴趣组准备从附近的3名男士和2名女士中随机抽取2人进行调查，请用列举法（树状图或列表）求恰好抽到一男一女的概率． 21．（11分）如图，一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，且点的横坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）点的坐标是，若点在轴上，且的面积与的面积相等，求点的坐标． 22．（11分）如图，在菱形中，，，过点作的垂线，交的延长线于点．点从点出发沿方向以向点匀速运动，同时，点从点出发沿方向以向点匀速运动．设点，的运动时间为（单位：，且，过作于点，连结． （1）求证：四边形是矩形； （2）连结，，点，在运动过程中，与是否能够全等？若能，求出此时的值；若不能，请说明理由． 23．（11分）习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村花费4000元集中采购了种树苗500株，种树苗400株，已知种树苗单价是种树苗单价的1.25倍． （1）求、两种树苗的单价分别是多少元？ （2）红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？ 24．（12分）如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线分别与，的延长线交于点，，且． （1）求证：是的切线； （2）如果，， ①求的长； ②求的面积． 25．（14分）抛物线的解析式是．直线与轴交于点，与轴交于点，点与直线上的点关于轴对称． （1）如图①，求射线的解析式； （2）在（1）的条件下，当抛物线与折线有两个交点时，设两个交点的横坐标是，，求的值； （3）如图②，当抛物线经过点时，分别与轴交于，两点，且点在点的左侧．在轴上方的抛物线上有一动点，设射线与直线交于点．求的最大值． 2022年四川省德阳市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的．） 1．（4分）的绝对值是　　 A． B．2 C． D． 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案． 【解答】解：的绝对值是2． 故选：． 2．（4分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【解答】解：．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； ．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； ．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； ．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：． 3．（4分）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据分式的乘除法，算术平方根，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，进行计算即可进行判断． 【解答】解：．，故选项错误，不符合题意； ，故选项正确，符合题意； ．，故选项错误，不符合题意； ．，故选项错误，不符合题意． 故选：． 4．（4分）如图，直线，，，则　　 A． B． C． D． 【分析】由两直线平行，同位角相等得到，再根据三角形的外角性质即可得解． 【解答】解：如图： 直线，， ， ，， ． 故选：． 5．（4分）下列事件中，属于必然事件的是　　 A．抛掷硬币时，正面朝上 B．明天太阳从东方升起 C．经过红绿灯路口，遇到红灯 D．玩“石头、剪刀、布”游戏时，对方出“剪刀” 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【解答】解：、抛掷硬币时，正面朝上，是随机事件，不符合题意； 、明天太阳从东方升起，是必然事件，符合题意； 、经过红绿灯路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； 、玩“石头、剪刀、布”游戏时，对方出“剪刀”，是随机事件，不符合题意； 故选：． 6．（4分）在学校开展的劳动实践活动中，生物兴趣小组7个同学采摘到西红柿的质量（单位：分别是：5，9，5，6，4，5，7，则这组数据的众数和中位数分别是　　 A．6，6 B．4，6 C．5，6 D．5，5 【分析】根据中位数、众数的定义进行解答即可． 【解答】解：这组数据中，出现次数最多的是5，共出现3次，因此众数是5， 将这组数据从小到大排列，处在中间位置的一个数是5，因此中位数是5， 故选：． 7．（4分）八一中学校九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是和．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形的三边关系得到李锐两家的线段的取值范围，即可得到选项． 【解答】解：当杨冲，李锐两家在一条直线上时，杨冲，李锐两家的直线距离为或， 当杨冲，李锐两家不在一条直线上时， 设李锐两家的直线距离为， 根据三角形的三边关系得，即， 杨冲，李锐两家的直线距离可能为， 故选：． 8．（4分）一个圆锥的底面直径是8，母线长是9，则圆锥侧面展开图的面积是　　 A． B． C． D． 【分析】先求出圆锥侧面展开图扇形的弧长，再根据扇形面积的计算公式进行计算即可． 【解答】解：如图，，， 所以侧面展开图扇形的弧的长为， 由扇形面积的计算公式得， 圆锥侧面展开图的面积为， 故选：． 9．（4分）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是　　 A． B． C． D． 【分析】根据一次函数与反比例函数图象的特点，可以从，和，两方面分类讨论得出答案． 【解答】解：分两种情况： （1）当，时，一次函数的图象过第一、二、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无选项符合； （2）当，时，一次函数的图象过第一、二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，故选项正确． 故选：． 10．（4分）如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是　　 A．四边形是矩形 B．四边形的内角和小于四边形的内角和 C．四边形的周长等于四边形的对角线长度之和 D．四边形的面积等于四边形的面积的 【分析】根据三角形中位线定理可得四边形是平行四边形，进而逐一判断即可． 【解答】解：．如图，连接，， 在四边形中， 点，，，分别是，，，边上的中点， ，，，， ，， 四边形是平行四边形，故选项错误； ．四边形的内角和等于，四边形的内角和等于，故选项错误； ．点，，，分别是，，，边上的中点， ，， ， 同理：， 四边形的周长等于四边形的对角线长度之和，故选项正确； ．四边形的面积不等于四边形的面积的，故选项错误． 故选：． 11．（4分）如果关于的方程的解是正数，那么的取值范围是　　 A． B．且 C． D．且 【分析】先去分母将分式方程化成整式方程，再求出方程的解，利用和得出不等式组，解不等式组即可求出的范围． 【解答】解：两边同时乘得， ， 解得：， 又方程的解是正数，且， ，即， 解得：， 的取值范围为：且． 故答案为：． 12．（4分）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用三角形内心的性质得到，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质对②进行判断；根据垂径定理则可对③进行判断；通过证明得到，则可对④进行判断． 【解答】解：是的内心， 平分， ，故①正确； 如图，连接，， 是的内心， ，， ， ， ，故②正确； ， ， 点为的中点， ， ，故③正确； 如图，连接， 平分， ， ， ， ， ，故④正确． 一定正确的①②③④，共4个． 故选：． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上） 13．（4分）分解因式：　　． 【分析】应先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解． 【解答】解：， ， ． 14．（4分）学校举行物理科技创新比赛，各项成绩均按百分制计，然后按照理论知识占，创新设计占，现场展示占计算选手的综合成绩（百分制）．某同学本次比赛的各项成绩分别是：理论知识85分，创新设计88分，现场展示90分，那么该同学的综合成绩是 　88　分． 【分析】根据加权平均数的计算方法进行计算即可． 【解答】解：（分， 故答案为：88． 15．（4分）已知，，则　4　． 【分析】已知两式左边利用完全平方公式展开，相减即可求出的值． 【解答】解：，， 两式相减得：， 则． 故答案为：4 16．（4分）如图，直角三角形纸片中，，点是边上的中点，连结，将沿折叠，点落在点处，此时恰好有．若，那么　　． 【分析】如图，设交于点．证明，求出，证明，可得结论． 【解答】解：如图，设交于点． ，， ， ， 由翻折的性质可知， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 17．（4分）古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下： 其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是，第三个三角形数是， 图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是，第三个正方形数是， 由此类推，图④中第五个正六边形数是 　45　． 【分析】根据前三个图形的变化寻找规律，即可解决问题． 【解答】解：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是，第三个三角形数是， 图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是，第三个正方形数是， 图③的点数叫做五边形数，从上至下第一个五边形数是1，第二个五边形数是，第三个五边形数是， 由此类推，图④中第五个正六边形数是． 故答案为：45． 18．（4分）如图，已知点，，直线经过点．试探究：直线与线段有交点时的变化情况，猜想的取值范围是 　或　． 【分析】利用临界法求得直线和的解析式即可得出结论． 【解答】解：当时， 直线经过点，， ， ； ； 当时， 直线经过点，， ， ． ； 综上，直线与线段有交点时，猜想的取值范围是：或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共7小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 19．（7分）计算：． 【分析】利用零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，即可解决问题． 【解答】解：原式 ． 20．（12分）据《德阳县志》记载，德阳钟鼓楼始建于明朝成化年间，明末因兵灾焚毁，清乾隆五十二年重建．在没有高层建筑的时代，德阳钟鼓楼一直流传着“半截还在云里头”的故事．1971年，因破四旧再次遭废．现在的钟鼓楼是老钟鼓楼的仿制品，于2005年12月27日破土动工，2007年元旦落成，坐落东山之巅，百尺高楼金碧辉煌，流光溢彩；万丈青壁之间，银光闪烁，蔚为壮观，已经成为人们休闲的打卡胜地． 学校数学兴趣小组在开展“数学与传承”探究活动中，进行了“钟鼓楼知识知多少”专题调查活动，将调查问题设置为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四类．他们随机抽取部分市民进行问卷调查，并将结果绘制成了如下两幅统计图： （1）设本次问卷调查共抽取了名市民，图2中“不太了解”所对应扇形的圆心角是度，分别写出，的值； （2）根据以上调查结果，在12000名市民中，估计“非常了解”的人数有多少？ （3）为进一步跟踪调查市民对钟鼓楼知识掌握的具体情况，兴趣组准备从附近的3名男士和2名女士中随机抽取2人进行调查，请用列举法（树状图或列表）求恰好抽到一男一女的概率． 【分析】（1）利用图表信息解答即可； （2）利用统计的基本方法，用样本的特性估计总体的相应特性即可； （3）利用列表法解答即可． 【解答】解：（1）由图（1）可知：“基本了解”的人数为40人， 由图（2）可知：“基本了解”的人数占总数的， （人； 由图（1）可知：“比较了解”有100人， “比较了解”所对应扇形的圆心角是， 由图2知：“不太了解”所对应扇形的圆心角是度； （2）由图2知：“非常了解”的人数占总人数的， 于是估计在12000名市民中，“非常了解”的人数有（人． 答：在12000名市民中，估计“非常了解”的人数有3360人． （3）从3名男士和2名女士中随机抽取2人进行调查，抽查情况列表如下： 由上表可知，一共有20种等可能，其中恰好抽到一男一女的情况有12中， 恰好抽到一男一女的概率为． 21．（11分）如图，一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，且点的横坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）点的坐标是，若点在轴上，且的面积与的面积相等，求点的坐标． 【分析】（1）首先确定点的坐标，再利用待定系数法求出即可； （2）设，构建方程求解． 【解答】解（1）一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，点的横坐标为， 当时，， ， ， ， 反比例函数的解析式为； （2）设， 的面积与的面积相等， ， ， 或． 22．（11分）如图，在菱形中，，，过点作的垂线，交的延长线于点．点从点出发沿方向以向点匀速运动，同时，点从点出发沿方向以向点匀速运动．设点，的运动时间为（单位：，且，过作于点，连结． （1）求证：四边形是矩形； （2）连结，，点，在运动过程中，与是否能够全等？若能，求出此时的值；若不能，请说明理由． 【分析】（1）根据平行线的判定定理得到，由题意知，，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到四边形是矩形； （2）根据菱形的性质得到，，求得，，解直角三角形即可得到结论． 【解答】（1）证明：，， ， 由题意知，， 在菱形中，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2）与能够全等， 理由：在菱形中，，， ，，， ，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 当时，， ， ． 23．（11分）习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村花费4000元集中采购了种树苗500株，种树苗400株，已知种树苗单价是种树苗单价的1.25倍． （1）求、两种树苗的单价分别是多少元？ （2）红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？ 【分析】（1）设种树苗每株元，种树苗每株元，根据条件“种比种每株多20元，买1株种树苗和2株种树苗共需200元”建立方程求出其解即可； （2）设种树苗购买株，则种树苗购买株，根据条件种树苗数量不少于种数量的一半建立不等式，求出其解即可． 【解答】解：（1）设种树苗每株元，种树苗每株元，由题意，得 ， 解得， 答：种树苗每株4元，种树苗每株5元； （2）设购买种树苗株，则购买种树苗株，总费用为元， 由题意得：，， ， ， 解得：， ， 是整数， 取20，21，22，23，24，25， 共有6种购买方案， 方案一：购买种树苗20株，购买种树苗80株， 方案二：购买种树苗21株，购买种树苗79株， 方案三：购买种树苗22株，购买种树苗78株， 方案四：购买种树苗23株，购买种树苗77株， 方案五：购买种树苗24株，购买种树苗76株， 方案六：购买种树苗25株，购买种树苗75株， ，， 随的增大而减小， 时，最小， 第六种方案费用最低，最低费用是475元． 答：共有6种购买方案，费用最省的购买方案是购买树苗25株，种树苗75株，最低费用是475元． 24．（12分）如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线分别与，的延长线交于点，，且． （1）求证：是的切线； （2）如果，， ①求的长； ②求的面积． 【分析】（1）连接，利用圆周角定理，垂径定理，同圆的半径线段，等腰三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）①利用勾股定理和相似三角形的判定定理与性质定理解答即可； ②过点作，交的延长线于点，设，则，利用相似三角形的判定与性质和平行线分线段成比例定理求得，再利用三角形的面积公式解答即可． 【解答】（1）证明：连接，如图， 是的直径，， ， ． ， ． ， ． ， ， ， ． ． 是的半径， 是的切线； （2）解：①， ， 是的直径，， ． ， ，， ， ， ， ． ； ②过点作，交的延长线于点，如图， ，， ． ， 设，则， ， ，， ． ， ， 解得：． ． 的面积． 25．（14分）抛物线的解析式是．直线与轴交于点，与轴交于点，点与直线上的点关于轴对称． （1）如图①，求射线的解析式； （2）在（1）的条件下，当抛物线与折线有两个交点时，设两个交点的横坐标是，，求的值； （3）如图②，当抛物线经过点时，分别与轴交于，两点，且点在点的左侧．在轴上方的抛物线上有一动点，设射线与直线交于点．求的最大值． 【分析】（1）求出点，点的坐标，设直线的解析式为，构建方程组求出，即可； （2）说明抛物线与折线有两个交点关于抛物线的对称轴对称，可得结论； （3）如图②中，过点作交直线于点．设，则，，由，推出，利用二次函数的性质，可得结论． 【解答】解：（1）点与直线上的点关于轴对称， ， 直线与轴交于点， ， 设直线的解析式为， 则有， 解得， 射线的解析式为； （2）如图①中，设折线与抛物线的交点为，． 抛物线的对称轴，点， 点值抛物线的对称轴上， 直线的解析式为，直线的解析式为， 直线，直线关于直线对称， ，关于直线对称， ， ； （3）如图②中，过点作交直线于点． ， 抛物线的解析式为， ，， 设，则，， ， ， ， 有最大值，最大值为． 第29页（共29页）