2022年湖北省鄂州市中考数学试卷.doc

2022年湖北省鄂州市中考数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分） 1．实数9的相反数等于（　　） A．﹣9 B．+9 C． D．﹣ 2．下列计算正确的是（　　） A．b+b2＝b3 B．b6÷b3＝b2 C．（2b）3＝6b3 D．3b﹣2b＝b 3．孙权于公元221年4月自公安“都鄂”，在西山东麓营建吴王城，并取“以武而昌”之意，改鄂县为武昌．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体组成，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 5．如图，直线l1∥l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB．若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．30° 6．生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 7．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（3，1），当kx+b＜x时，根据图象可知，x的取值范围是（　　） A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1 8．工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为（　　） A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm 9．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）．有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x＞1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．如图，定直线MN∥PQ，点B、C分别为MN、PQ上的动点，且BC＝12，BC在两直线间运动过程中始终有∠BCQ＝60°．点A是MN上方一定点，点D是PQ下方一定点，且AE∥BC∥DF，AE＝4，DF＝8，AD＝24，当线段BC在平移过程中，AB+CD的最小值为（　　） A．24 B．24 C．12 D．12 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分） 11．计算：＝　 　． 12．为了落实“双减”，增强学生体质，阳光学校篮球兴趣小组开展投篮比赛活动．6名选手投中篮圈的个数分别为2，3，3，4，3，5，则这组数据的众数是 　 　． 13．若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则+的值为 　 　． 14．中国象棋文化历史久远．某校开展了以“纵横之间有智慧 攻防转换有乐趣”为主题的中国象棋文化节．如图所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使“帥”位于点（﹣1，﹣2），“馬”位于点（2，﹣2），那么“兵”在同一坐标系下的坐标是 　 　． 15．如图，已知直线y＝2x与双曲线y＝（k为大于零的常数，且x＞0）交于点A，若OA＝，则k的值为 　 　． 16．如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD＝CE＝2，则△ABP的周长为 　 　． 三、解答题（本大题共8小题，共计72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）先化简，再求值：﹣，其中a＝3． 18．（8分）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校举行了“青年大学习，强国有我”知识竞赛活动．李老师赛后随机抽取了部分学生的成绩（单位：分，均为整数），按成绩划分为A、B、C、D四个等级，并制作了如下统计图表（部分信息未给出）： （1）表中a＝　 　，C等级对应的圆心角度数为 　 　； （2）若全校共有600名学生参加了此次竞赛，成绩A等级的为优秀，则估计该校成绩为A等级的学生共有多少人？ （3）若A等级15名学生中有3人满分，设这3名学生分别为T1，T2，T3，从其中随机抽取2人参加市级决赛，请用列表或树状图的方法求出恰好抽到T1，T2的概率． 等级 成绩x/分 人数 A 90≤x≤100 15 B 80≤x＜90 a C 70≤x＜80 18 D x＜70 7 19．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF＝∠BDC、∠DCF＝∠ACD． （1）求证：DF＝CF； （2）若∠CDF＝60°，DF＝6，求矩形ABCD的面积． 20．（8分）亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽——鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为30°．若斜坡CF的坡比＝1：3，铅垂高度DG＝30米（点E、G、C、B在同一水平线上）．求： （1）两位市民甲、乙之间的距离CD； （2）此时飞机的高度AB．（结果保留根号） 21．（8分）在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家．小明离家的距离y（km）与他所用的时间x（min）的关系如图所示： （1）小明家离体育场的距离为 　 　km，小明跑步的平均速度为 　 　km/min； （2）当15≤x≤45时，请直接写出y关于x的函数表达式； （3）当小明离家2km时，求他离开家所用的时间． 22．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB＝∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D． （1）试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若PC＝4，tanA＝，求△OCD的面积． 23．（10分）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF＝． 例如：抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF＝MN，FH＝2OH＝1． 【基础训练】 （1）请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：　 　，　 　． 【技能训练】 （2）如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标； 【能力提升】 （3）如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值； 【拓展升华】 （4）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”数，把点C称为线段AB的黄金分割点． 如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值． 24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在y轴的正半轴上，且OA＝6，斜边OB＝10，点P为线段AB上一动点． （1）请直接写出点B的坐标； （2）若动点P满足∠POB＝45°，求此时点P的坐标； （3）如图2，若点E为线段OB的中点，连接PE，以PE为折痕，在平面内将△APE折叠，点A的对应点为A′，当PA′⊥OB时，求此时点P的坐标； （4）如图3，若F为线段AO上一点，且AF＝2，连接FP，将线段FP绕点F顺时针方向旋转60°得线段FG，连接OG，当OG取最小值时，请直接写出OG的最小值和此时线段FP扫过的面积． 2022年湖北省鄂州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分） 1．实数9的相反数等于（　　） A．﹣9 B．+9 C． D．﹣ 【分析】直接利用相反数的定义得出答案． 【解答】解：实数9的相反数是：﹣9． 故选：A． 【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键． 2．下列计算正确的是（　　） A．b+b2＝b3 B．b6÷b3＝b2 C．（2b）3＝6b3 D．3b﹣2b＝b 【分析】按照整式幂的运算法则和合并同类项法则逐一计算进行即可得答案． 【解答】解：∵b与b2不是同类项， ∴选项A不符合题意； ∵b6÷b3＝b3， ∴选项B不符合题意； ∵（2b）3＝8b3， ∴选项C不符合题意； ∵3b﹣2b＝b， ∴选项D符合题意， 故选：D． 【点评】此题考查了整式幂与合并同类项的相关运算能力，关键是能准确理解并运用相关计算法则． 3．孙权于公元221年4月自公安“都鄂”，在西山东麓营建吴王城，并取“以武而昌”之意，改鄂县为武昌．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：D． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 4．如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体组成，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三视图的定义解答即可． 【解答】解：该几何体的主视图为：一共有两列，左侧有三个正方形，右侧有一个正方形，所以A选项正确， 故选：A． 【点评】本题主要考查了三视图，熟练掌握三视图的定义是解答本题的关键． 5．如图，直线l1∥l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB．若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．30° 【分析】由题意可得AC＝BC，则∠CAB＝∠CBA，由∠BCA＝150°，∠BCA+∠CAB+∠CBA＝180°，可得∠CAB＝∠CBA＝15°，再结合平行线的性质可得∠1＝∠CBA＝15°． 【解答】解：由题意可得AC＝BC， ∴∠CAB＝∠CBA， ∵∠BCA＝150°，∠BCA+∠CAB+∠CBA＝180°， ∴∠CAB＝∠CBA＝15°， ∵l1∥l2， ∴∠1＝∠CBA＝15°． 故选：B． 【点评】本题考查作图﹣基本作图、平行线的性质、三角形内角和定理，能根据题意得出BC＝AC是解答本题的关键． 6．生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【分析】通过观察可知2的乘方的尾数每4个循环一次，则22022与22的尾数相同，即可求解． 【解答】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……， ∴2的乘方的尾数每4个循环一次， ∵2022÷4＝505…2， ∴22022与22的尾数相同， 故选：C． 【点评】本题考查数字的变化规律，能够根据所给式子，探索出尾数的规律是解题的关键． 7．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（3，1），当kx+b＜x时，根据图象可知，x的取值范围是（　　） A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1 【分析】根据题意和函数图象，可以写出当kx+b＜x时，x的取值范围． 【解答】解：由图象可得， 当x＞3时，直线y＝x在一次函数y＝kx+b的上方， ∴当kx+b＜x时，x的取值范围是x＞3， 故选：A． 【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 8．工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为（　　） A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm 【分析】连接OE，交AB于点F，连接OA，∵AC⊥CD、BD⊥CD，由矩形的判断方法得出四边形ACDB是矩形，得出AB∥CD，AB＝CD＝16cm，由切线的性质得出OE⊥CD，得出OE⊥AB，得出四边形EFBD是矩形，AF＝AB＝×16＝8（cm），进而得出EF＝BD＝4cm，设⊙O的半径为rcm，则OA＝rcm，OF＝OE﹣EF＝（r﹣4）cm，由勾股定理得出方程r2＝82+（r﹣4）2，解方程即可求出半径，继而求出这种铁球的直径． 【解答】解：如图，连接OE，交AB于点F，连接OA， ∵AC⊥CD、BD⊥CD， ∴AC∥BD， ∵AC＝BD＝4cm， ∴四边形ACDB是平行四边形， ∴四边形ACDB是矩形， ∴AB∥CD，AB＝CD＝16cm， ∵CD切⊙O于点E， ∴OE⊥CD， ∴OE⊥AB， ∴四边形EFBD是矩形，AF＝AB＝×16＝8（cm）， ∴EF＝BD＝4cm， 设⊙O的半径为rcm，则OA＝rcm，OF＝OE﹣EF＝（r﹣4）cm， 在Rt△AOF中，OA2＝AF2+OF2， ∴r2＝82+（r﹣4）2， 解得：r＝10， ∴这种铁球的直径为20cm， 故选：C． 【点评】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，掌握矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，切线的性质，垂径定理，勾股定理是解决问题的关键． 9．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）．有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x＞1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图象的性质确定a、b、c的正负即可解答；③将点A的坐标代入即可解答；④根据函数图象即可解答；⑤运用作差法判定即可． 【解答】解：①由抛物线的开口方向向下， 则a＜0，故①正确； ②∵抛物线的顶点为P（1，m）， ∴﹣＝1，b＝﹣2a， ∵a＜0， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在正半轴， ∴c＞0， ∴abc＜0，故②错误； ③∵抛物线经过点A（2，1）， ∴1＝a•22+2b+c，即4a+2b+c＝1，故③正确； ④∵抛物线的顶点为P（1，m），且开口方向向下， ∴x＞1时，y随x的增大而减小，即④正确； ⑤∵a＜0， ∴at2+bt﹣（a+b） ＝at2﹣2at﹣a+2a ＝at2﹣2at+a ＝a（t2﹣2t+1） ＝a（t﹣1）2≤0， ∴at2+bt≤a+b，则⑤正确 综上，正确的共有4个． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，灵活运用二次函数图象的性质以及掌握数形结合思想成为解答本题的关键． 10．如图，定直线MN∥PQ，点B、C分别为MN、PQ上的动点，且BC＝12，BC在两直线间运动过程中始终有∠BCQ＝60°．点A是MN上方一定点，点D是PQ下方一定点，且AE∥BC∥DF，AE＝4，DF＝8，AD＝24，当线段BC在平移过程中，AB+CD的最小值为（　　） A．24 B．24 C．12 D．12 【分析】沿BC的方向将PQ和MN平移重合，即B和C点重合，点D平移至T，连接AT，即AB+CD最小，进一步求得结果． 【解答】解：如图， 作DL⊥PQ于L，过点A作PQ的垂线，过点D作PQ的平行线，它们交于点R，延长DF至T，使DT＝BC＝12，连接AT， AT交MN于B′，作B′C′∥BC，交PQ于C′，则当BC在B′C′时，AB+CD最小，最小值为AT的长， 可得AK＝AE•sin60°＝＝2，DL＝＝4，＝6， ∴AR＝2+6+4＝12， ∵AD＝24， ∴sin∠ADR＝＝， ∴∠ADR＝30°， ∵∠PFD9＝60°， ∴∠ADT＝90°， ∴AT＝＝＝12， 故答案为：C． 【点评】本题考查了平移性质和平移的运用，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，将B和C两地变为“一个点”． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分） 11．计算：＝　2　． 【分析】如果一个正数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求解． 【解答】解：∵22＝4， ∴＝2． 故答案为：2 【点评】此题主要考查了学生开平方的运算能力，比较简单． 12．为了落实“双减”，增强学生体质，阳光学校篮球兴趣小组开展投篮比赛活动．6名选手投中篮圈的个数分别为2，3，3，4，3，5，则这组数据的众数是 　3　． 【分析】根据众数的概念求解即可． 【解答】解：因为这组数据中3出现3次，次数最多， 所以这组数据的众数是3， 故答案为：3． 【点评】本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． 13．若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则+的值为 　　． 【分析】由实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，知a、b可看作方程x2﹣4x+3＝0的两个不相等的实数根，据此可得a+b＝4，ab＝3，将其代入到原式＝即可得出答案． 【解答】解：∵实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b， ∴a、b可看作方程x2﹣4x+3＝0的两个不相等的实数根， 则a+b＝4，ab＝3， 则原式＝＝， 故答案为：． 【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是根据方程的特点得出a、b可看作方程x2﹣4x+3＝0的两个不相等的实数根及韦达定理． 14．中国象棋文化历史久远．某校开展了以“纵横之间有智慧 攻防转换有乐趣”为主题的中国象棋文化节．如图所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使“帥”位于点（﹣1，﹣2），“馬”位于点（2，﹣2），那么“兵”在同一坐标系下的坐标是 　（﹣3，1）　． 【分析】应用平面内点的平移规律进行计算即可得出答案． 【解答】解：根据平面内点的平移规律可得， 把“帅”向左平移两个单位，向上平移3个单位得到“兵”的位置， ∴（﹣1﹣2，﹣2+3）， 即（﹣3，1）． 故答案为：（﹣3，1）． 【点评】本题主要考查了点的坐标，熟练掌握平面内点的坐标平移规律进行求解即可得出答案． 15．如图，已知直线y＝2x与双曲线y＝（k为大于零的常数，且x＞0）交于点A，若OA＝，则k的值为 　2　． 【分析】由点A在直线y＝2x上，且OA＝，可求得A点坐标为（ 1，2）把已知点的坐标代入解析式可得，k＝2． 【解答】解：设A（x，y）， ∵点A在直线y＝2x上，且OA＝， ∴A点坐标为（ 1，2）， ∵点A在双曲线y＝（x＞0）上， ∴2＝k， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握一次函数、反比例函数的图象与性质，是数形结合题． 16．如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD＝CE＝2，则△ABP的周长为 　　． 【分析】根据SAS证△ABD≌△BCE，得出∠APB＝120°，在CB上取一点F使CF＝CE＝2，则BF＝BC﹣CF＝4，证△APB∽△BFE，根据比例关系设BP＝x，则AP＝2x，作BH⊥AD延长线于H，利用勾股定理列方程求解即可得出BP和AP的长． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°， 在△ABD和△BCE中， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BAD＝∠CBE， ∴∠APE＝∠ABP+∠BAD＝∠ABP+∠CBE＝∠ABD＝60°， ∴∠APB＝120°， 在CB上取一点F使CF＝CE＝2，则BF＝BC﹣CF＝4， ∴∠C＝60°， ∴△CEF是等边三角形， ∴∠BFE＝120°， 即∠APB＝∠BFE， ∴△APB∽△BFE， ∴＝＝2， 设BP＝x，则AP＝2x， 作BH⊥AD延长线于H， ∵∠BPD＝∠APE＝60°， ∴∠PBH＝30°， ∴PH＝，BH＝， ∴AH＝AP+PH＝2x+＝x， 在Rt△ABH中，AH2+BH2＝AB2， 即（x）2+（x）2＝62， 解得x＝或﹣（舍去）， ∴AP＝，BP＝， ∴△ABP的周长为AB+AP+BP＝6++＝6+＝， 故答案为：． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握这些基础知识是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共计72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）先化简，再求值：﹣，其中a＝3． 【分析】根据同分母分式加法的法则计算即可，然后将a的值代入化简后的式子计算即可． 【解答】解：﹣ ＝ ＝ ＝a﹣1， 当a＝3时，原式＝3﹣1＝2． 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式加法的运算法则和因式分解的方法． 18．（8分）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校举行了“青年大学习，强国有我”知识竞赛活动．李老师赛后随机抽取了部分学生的成绩（单位：分，均为整数），按成绩划分为A、B、C、D四个等级，并制作了如下统计图表（部分信息未给出）： （1）表中a＝　20　，C等级对应的圆心角度数为 　108°　； （2）若全校共有600名学生参加了此次竞赛，成绩A等级的为优秀，则估计该校成绩为A等级的学生共有多少人？ （3）若A等级15名学生中有3人满分，设这3名学生分别为T1，T2，T3，从其中随机抽取2人参加市级决赛，请用列表或树状图的方法求出恰好抽到T1，T2的概率． 等级 成绩x/分 人数 A 90≤x≤100 15 B 80≤x＜90 a C 70≤x＜80 18 D x＜70 7 【分析】（1）由A的人数除以所占比例得出抽取的学生人数，即可解决问题； （2）由全校参加此次竞赛共有的人数乘以成绩为A等级的学生所占比例即可； （3）画树状图，共有6种等可能的结果，其中恰好抽到T1，T2的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）抽取的学生人数为：15÷＝60（人）， ∴a＝60﹣15﹣18﹣7＝20，C等级对应的圆心角度数为：360°×＝108°， 故答案为：20，108°； （2）600×＝150（人）， 答：估计该校成绩为A等级的学生共有150人； （3）画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中恰好抽到T1，T2的结果有2种， ∴恰好抽到T1，T2的概率为＝． 【点评】此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了统计表和扇形统计图． 19．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF＝∠BDC、∠DCF＝∠ACD． （1）求证：DF＝CF； （2）若∠CDF＝60°，DF＝6，求矩形ABCD的面积． 【分析】（1）元矩形的性质得OC＝OD，得∠ACD＝∠BDC，再证∠CDF＝∠DCF，即可得出结论； （2）证△CDF是等边三角形，得CD＝DF＝6，再证△OCD是等边三角形，得OC＝OD＝6，则BD＝2OD＝12，然后由勾股定理得BC＝6，即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴OC＝AC，OD＝BD，AC＝BD， ∴OC＝OD， ∴∠ACD＝∠BDC， ∵∠CDF＝∠BDC，∠DCF＝∠ACD， ∴∠CDF＝∠DCF， ∴DF＝CF； （2）解：由（1）可知，DF＝CF， ∵∠CDF＝60°， ∴△CDF是等边三角形， ∴CD＝DF＝6， ∵∠CDF＝∠BDC＝60°，OC＝OD， ∴△OCD是等边三角形， ∴OC＝OD＝6， ∴BD＝2OD＝12， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD＝90°， ∴BC＝＝＝6， ∴S矩形ABCD＝BC•CD＝6×6＝36． 【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键． 20．（8分）亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽——鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为30°．若斜坡CF的坡比＝1：3，铅垂高度DG＝30米（点E、G、C、B在同一水平线上）．求： （1）两位市民甲、乙之间的距离CD； （2）此时飞机的高度AB．（结果保留根号） 【分析】（1）根据斜坡CF的坡比＝1：3，可得GC＝3DG＝90米，然后在Rt△DGC中，利用勾股定理进行计算即可解答； （2）过点D作DH⊥AB，垂足为H，则DG＝BH＝30米，DH＝BG，设BC＝x米，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数 定义求出AB的长，从而求出AH，DH的长，然后在Rt△ADH中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵斜坡CF的坡比＝1：3，DG＝30米， ∴＝， ∴GC＝3DG＝90（米）， 在Rt△DGC中，DC＝＝＝30（米）， ∴两位市民甲、乙之间的距离CD为30米； （2）过点D作DH⊥AB，垂足为H， 则DG＝BH＝30米，DH＝BG， 设BC＝x米， 在Rt△ABC中，∠ACB＝45°， ∴AB＝BC•tan45°＝x（米）， ∴AH＝AB﹣BH＝（x﹣30）米， 在Rt△ADH中，∠ADH＝30°， ∴tan30°＝＝＝， ∴x＝60+30， 经检验：x＝60+90是原方程的根， ∴AB＝（60+90）米， ∴此时飞机的高度AB为（60+90）米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 21．（8分）在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家．小明离家的距离y（km）与他所用的时间x（min）的关系如图所示： （1）小明家离体育场的距离为 　2.5　km，小明跑步的平均速度为 　　km/min； （2）当15≤x≤45时，请直接写出y关于x的函数表达式； （3）当小明离家2km时，求他离开家所用的时间． 【分析】（1）根据图象可以直接看到小明家离体育场的距离为2.5km，小明跑步的平均速度为：路程÷时间； （2）是分段函数，利用待定系数法可求； （3）小明离家2km时，有两个时间，第一个时间是小明从家跑步去体育场的过程中存在离家2km，利用路程÷速度可得此时间，第二个时间利用BC段解析式可求得． 【解答】解：（1）小明家离体育场的距离为2.5km，小明跑步的平均速度为＝km/min； 故答案为：2.5，； （2）如图，B（30，2.5），C（45，1.5）， 设BC的解析式为：y＝kx+b， 则， 解得：， ∴BC的解析式为：y＝﹣x+4.5， ∴当15≤x≤45时，y关于x的函数表达式为：y＝； （3）当y＝2时，﹣x+4.5＝2， ∴x＝， 2＝12， ∴当小明离家2km时，他离开家所用的时间为12min或min． 【点评】本题考查了函数的图象，能够从函数的图象中获取信息是解题的关键，注意他所用的时间单位是min． 22．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB＝∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D． （1）试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若PC＝4，tanA＝，求△OCD的面积． 【分析】（1）由圆周角定理得出∠ACB＝90°，进而得出∠OAC+∠OBC＝90°，由等腰三角形的性质得出∠OBC＝∠OCB，结合已知得出∠PCB+∠OCB＝90°，得出OC⊥PC，即可得出PC是⊙O的切线； （2）由tanA＝，得出＝，由△PCB∽△PAC，得出＝＝＝，进而求出PB＝2，PA＝8，OC＝3，由平行线分线段成比例定理得出，进而求出CD＝6，即可求出△OCD的面积． 【解答】解：（1）PC是⊙O的切线，理由如下： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠OAC+∠OBC＝90°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵∠PCB＝∠OAC， ∴∠PCB+∠OCB＝90°， ∴∠PCO＝90°，即OC⊥PC， ∵OC是半径， ∴PC是⊙O的切线； （2）在Rt△ACB中，tanA＝， ∵tanA＝， ∴＝， ∵∠PCB＝∠OAC，∠P＝∠P， ∴△PCB∽△PAC， ∴＝＝＝， ∵PC＝4， ∴PB＝2，PA＝8， ∴AB＝PA﹣PB＝8﹣2＝6， ∴OC＝OB＝OA＝3， ∵BC∥OD， ∴，即， ∴CD＝6， ∵OC⊥CD， ∴＝×3×6＝9． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，掌握圆周角定理，切线的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，三角形面积的计算公式是解决问题的关键． 23．（10分）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF＝． 例如：抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF＝MN，FH＝2OH＝1． 【基础训练】 （1）请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：　（0，）　，　y＝﹣　． 【技能训练】 （2）如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标； 【能力提升】 （3）如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值； 【拓展升华】 （4）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”数，把点C称为线段AB的黄金分割点． 如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值． 【分析】（1）根据焦点的坐标公式和准线l的方程直接得出结论即可； （2）可求出点P的纵坐标，从而确定P点的横坐标； （3）作AG⊥l于G，作BK⊥l于K，由BK∥FH∥AG得△CBK∽△CFH，△CBK∽△CAG，从而，，进一步求得结果； （4）设点M（m，m2），根据＝2列出方程，求得m的值，进一步求得结果． 【解答】解：（1）∵a＝2， ∴＝， 故答案为：（0，），y＝﹣； （2）∵a＝， ∴﹣＝﹣4， ∴准线为：y＝﹣4， ∴点P的纵坐标为：2， ∴＝2， ∴x＝±4， ∴P（4，2）或（﹣4，2）； （3）如图， 作AG⊥l于G，作BK⊥l于K， ∴AG＝AF＝4，BK＝BF，FH＝， ∵BK∥FH∥AG， ∴△CBK∽△CFH，△CBK∽△CAG， ∴，， ∴＝＝，， ∴a＝； （4）设点M（m，m2）， ∵＝， ∴＝2， ∴＝2， ∴m1＝﹣2，m2＝2（舍去）， ∴M（﹣2，1）， ∵E为线段HF的黄金分割点， ∴EH＝＝﹣1或EH＝2﹣（﹣1）＝3﹣， 当EH＝﹣1时，S△HME＝＝＝﹣1， 当EH＝3﹣时，S△HME＝3﹣， ∴△HME的面积是﹣1或3﹣． 【点评】本题考查了阅读运用新知识能力，相似三角形的判定和性质，一元二次方程等知识，解决问题的关键是充分利用新知识的结论． 24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在y轴的正半轴上，且OA＝6，斜边OB＝10，点P为线段AB上一动点． （1）请直接写出点B的坐标； （2）若动点P满足∠POB＝45°，求此时点P的坐标； （3）如图2，若点E为线段OB的中点，连接PE，以PE为折痕，在平面内将△APE折叠，点A的对应点为A′，当PA′⊥OB时，求此时点P的坐标； （4）如图3，若F为线段AO上一点，且AF＝2，连接FP，将线段FP绕点F顺时针方向旋转60°得线段FG，连接OG，当OG取最小值时，请直接写出OG的最小值和此时线段FP扫过的面积． 【分析】（1）利用勾股定理求出AB即可； （2）如图1中，过点P作PH⊥OB于点H．设PH＝OH＝x，构建方程求出x，再利用相似三角形的性质求出PB即可； （3）如图2中，设PA′交OB于点T．利用相似三角形的性质求出ET，再求出PB，可得结论； （4）如图3中，以AF为边向右作等边△AFK，连接KG，延长KG交x轴于点R，过点K作KJ⊥AF于点J．KQ⊥OR于点Q，过点O作OW⊥KR于W．证明△AFP≌△KFG（SAS），推出∠PAF＝∠GKF＝90°，推出点G在直线KR上运动，当点G与W重合时，OG的值最小． 【解答】解：（1）如图1中，在Rt△AOB中，