5.1.2 垂线.docx

5.1.2 垂线 【知识与技能】 1.能结合具体图形理解垂直的概念，能经过一点画已知直线的垂线. 2.通过画图，理解垂直公理及“垂线段最短”这个公理. 3.理解点到直线的距离这一重要概念. 4.初步锻炼作图能力，能运用本节的两个公理进行简单的说理或应用. 【过程与方法】 通过画图探究出两个公理，在不同的情况下过一点作已知直线的垂线，通过看图会找出点到直线的距离，在此基础上深入理解本节的两个公理，进而运用它们进行简单的说理或应用. 【情感态度】 进一步进行画图、探究、归纳等数学活动，特别强调动手画几何图形，体验数学的严密性、科学性、美观性. 【教学重点】 垂直定义、垂直公理的理解与运用. 【教学难点】 点到直线距离与垂线段的 区别与联系. 一、情境导入，初步认识 问题1教具：在相交线模型中，固定木条a,转动木条b，当b的位置变化时，a、b所成的角也会发生变化.体验当α=90°时，a与b互相垂直的位置关系. 问题2已知点P和直线l,过点P画直线a⊥l. 问题3在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？若比例尺为1∶100000，水渠大约要挖多长？ 【教学说明】在问题1中，教师可只作演示，从而引出互相垂直的定义，同时给出垂线、垂直等相关概念以及垂直符号的运用与读法. 在问题2中，要引导学生得出过一点只能画一条直线与已知直线垂直这一重要结论. 在问题3中，要提示学生把河中的水引到农田P处，有无数种挖渠方法，但只有一种方法挖渠最短，从而引出垂线段最短的重要结论.要完成问题3中的第2个问题，可先提醒学生复习小学已学过的“比例尺=图距∶实距”这一重要知识. 二、思考探究，获取新知 思考 1.两条直线相交，所成的4个角中.如果有一个角是90°，那么其余各角分别是多少度？ 2.连接直线l外一点P与直线l上各点O，A1，A2，A3……,其中PO⊥l(PO称为P到直线l的垂线段)，比较线段PO，PA1,PA2,PA3……的长短，这些线段中，哪一条最短？ 3.垂线段和点到直线的距离有哪些区别和联系？ 【归纳结论】1.定义： 互相垂直：两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是90°，那么这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 2.两条重要公理： 垂直公理：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 垂线段公理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，可简单说成：垂线段最短. 3.垂线段和点到直线的距离的区别与联系： 三、运用新知，深化理解 1.如图，CO⊥AB于O，OD⊥OE，∠AOE=42°，求∠DOC的度数. 2.小刚牵着一头小牛从A先到B拿东西，再到河边让小牛饮水，请画出小刚的最佳行走路线，并说明这种画法的理由. 3.如图，PR⊥l,QR⊥l,R为垂足，那么P，Q，R在同一直线上吗？ 4.如图，已知AOB为一条直线，OC为一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，试判断OD与OE的位置关系，并说明理由. 【教学说明】本环节可采用先让学生独立思考，再以小组交流的方式展开，其中题2、3、4鼓励学生用自己的语言叙述，逐步渗透用数学语言进行说明的能力. 【答案】1.解：CO⊥AB于O，OD⊥OE，由垂直的定义可得∠AOC=90°，∠DOE=90°. 则∠COE=∠AOC-∠AOE=90°-42°=48°， ∠DOC=∠DOE-∠COE=90°-48°=42°. 2.解：小刚的最佳行走路线如图. 理由：两点间的线段最短；点到直线的垂线段最短. 3.解：P、Q、R在同一直线上，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 4.解：OD⊥OE，理由如下：AOB为一条直线，∠AOB=180°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，所以∠DOC=∠BOC，∠EOC=∠AOC，所以∠DOE=∠DOC+∠EOC=(∠BOC+∠AOC）=∠AOB=90°，即OD⊥OE. 四、师生互动，课堂小结 垂直定义，点到直线的距离，垂直公理，垂线段公理. 1.布置作业：从教材“习题5.1”中选取. 2.完成练习册中本课时的练习. 在这堂课中，学生的主体地位突出了，真正亲历了知识形成的全过程.在自主学习、同桌合作交流的活动中升华了对知识的理解.教学实践也证明，在自由探索与合作交流的学习方式中，学生认识活动的强度和力度要比单纯接受知识大得多.在本节课实施中的每一个学习活动，都以学生个性思维、自我感悟为前提多次设计了让学生自主探索、合作交流的时间与空间.通过学生和谐有效地互动，强化了学生的自主学习意识.