2023学年新教材高中数学第十章概率10.2事件的相互独立性课时作业新人教A版必修第二册.doc

10.2　事件的相互独立性 一、选择题 1．甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出密码的概率分别为和，则两人合作译出密码的概率为(　　) A.　　B. C. D. 解析：设甲独立破译密码的事件为A，乙独立破译密码的事件为B，则P(A)＝，P(B)＝，所以P()＝，P()＝，所以甲、乙两人合作译出密码的概率为1－P()P()＝1－×＝. 答案：D 2．已知A，B是相互独立事件，若P(A)＝0.2，P(AB＋B＋A)＝0.44，则P(B)等于(　　) A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 解析：∵A，B是相互独立事件， ∴，B和A，均相互独立． ∵P(A)＝0.2，P(AB＋B＋A)＝0.44， ∴P(A)P(B)＋P()P(B)＋P(A)P()＝0.44， ∴0.2P(B)＋0.8P(B)＋0.2[1－P(B)]＝0.44， 解得P(B)＝0.3. 答案：A 3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，x，y构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中满足xy＝4的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：满足xy＝4的所有可能如下： x＝1，y＝4；x＝2，y＝2；x＝4，y＝1. ∴所求事件的概率 P＝P(x＝1，y＝4)＋P(x＝2，y＝2)＋P(x＝4，y＝1) ＝×＋×＋×＝. 答案：C 4．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是(　　) A. B. C. D. 解析：由题意，P()·P()＝， P()·P(B)＝P(A)·P()． 设P(A)＝x，P(B)＝y， 则即 ∴x2－2x＋1＝， ∴x－1＝－，或x－1＝(舍去)，∴x＝. 答案：D 二、填空题 5．某市派出甲、乙两支球队参加全省青年组、少年组足球赛，两队夺冠的概率分别为和，则该市足球队取得冠军的概率为________． 解析：因为甲、乙两支球队夺冠相互不影响，是独立事件，所以该市取得冠军的概率P＝×＋×＋×＝. 答案： 6．国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是，，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________． 解析：设“国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游”分别为事件A、B、C，则A、B、C相互独立且P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，∴至少有1人去北京旅游的概率为：1－P( )＝1－P()·P()·P()＝1－××＝1－＝. 答案： 7．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)． ①P(B)＝； ②P(B|A1)＝； ③事件B与事件A1相互独立； ④A1，A2，A3是两两互斥的事件； ⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关． 解析：①P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝×＋×＋×＝，①不正确；⑤不正确；②P(B|A1)＝＝，正确；③事件B与事件A1有关系，故不正确；④A1，A2，A3不可能同时发生，是两两互斥的事件，故正确． 答案：②④ 三、解答题 8．某示范性高中的校长推荐甲、乙、丙三名学生参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等级．若考核为合格，则给予10分降分资格；若考核为优秀，则给予20分降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为，，，他们考核所得的等级相互独立． 求在这次考核中，甲、乙、丙三名学生至少有一名考核为优秀的概率． 解析：记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，“丙考核为优秀”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E. 则事件A，B，C是相互独立事件，事件 与事件E是对立事件，于是 P(E)＝1－P( )＝1－××＝. 9．某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生选修哪门课互不影响．已知学生小张只选甲的概率为0.08，只选甲和乙的概率为0.12，至少选一门课的概率为0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积． (1)求学生小张选修甲的概率； (2)记“函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率． 解析：(1)设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x，y，z，则 解得 所以学生小张选修甲的概率为0.4. (2)若函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数，则ξ＝0. 当ξ＝0时，表示小张选修三门课或三门课都不选， 所以P(A)＝P(ξ＝0)＝xyz＋(1－x)(1－y)(1－z)＝0.4×0.6×0.5＋(1－0.4)(1－0.6)(1－0.5)＝0.24，即事件A的概率为0.24. [尖子生题库] 10．某公司为了了解用户对其产品的满意度，从A，B两个地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A地区：62　73　81　92　95　85　74　64　53　76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区： 73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (1)根据两组数据完成两个地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两个地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)； (2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件C表示“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两个地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率． 解析：(1)两个地区用户的满意度评分的茎叶图如图． 通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散． (2)记CA1表示事件“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”，CA2表示事件“A地区用户的满意度等级为非常满意”，CB1表示事件“B地区用户的满意度等级为不满意”，CB2表示事件“B地区用户的满意度等级为满意”，则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，C＝CB1CA1∪CB2CA2. P(C)＝P(CB1CA1∪CB2CA2)＝P(CB1CA1)＋P(CB2CA2)＝P(CB1)P(CA1)＋P(CB2)P(CA2)． 由所给数据，得CA1，CA2，CB1，CB2发生的频率分别为，，，，故P(CA1)＝，P(CA2)＝，P(CB1)＝，P(CB2)＝，P(C)＝×＋×＝0.48. - 5 -