专题3规律探究问题数学1．按一定规律排列的一列数依次为：23，1，87，119，1411，1713，…，按此规律，求这列数中的第100个数．【解析】观察分母，有什么特点？第n个能表示成什么？分子呢？解：按一定规律排列的一列数依次为：23，55，87，119，1411，1713，…，按此规律，第n个数为3n－12n＋1，∴当n＝100时，3n－12n＋1＝299201，即这列数中的第100个数是2992012．(2018·预测)设一列数中相邻的三个数依次为m，n，p，且满足p＝m2－n，若这列数为－1，3，－2，a，－7，b，…，则b＝____．【解析】根据题意如何求a？求出a，再代入关系式即可得出b的值．根据题意得：a＝32－(－2)＝11，则b＝112－(－7)＝128.1283．填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律求m.【解析】观察正方形左上数1，3，5，它的规律是什么？第一个正方形中，数1，3，5与14有什么数量关系？解：由前面数字关系：1，3，5；3，5，7；5，7，9，可得最后一个三个数分别为：11，13，15， 3×5－1＝14，5×7－3＝32，7×9－5＝58，∴m＝13×15－11＝1844．设an为正整数n4的末位数，如a1＝1，a2＝6，a3＝1，a4＝6.求a1＋a2＋a3＋…＋a2016＋a2017＋a2018的值．解：正整数n4的末位数依次是1，6，1，6，5，6，1，6，1，0，十个一循环，1＋6＋1＋6＋5＋6＋1＋6＋1＋0＝33，2018÷10＝201…8，33×201＋(1＋6＋1＋6＋5＋6＋1＋6)＝6665.故a1＋a2＋a3＋…＋a2016＋a2017＋a2018＝66655．请看杨辉三角(1)，并观察下列等式(2)：(a＋b)1＝a＋b(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4(2)根据前面各式的规律，则(a＋b)6＝_________________________________________．a6＋6a5b＋15a4b2＋20a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6【解析】通过观察可以看出(a＋b)6的展开式为六次七项式，a的次数按降幂排列，b的次数按升幂排列，各项系数分别为1，6，15，20，15，6，1.6．(2018·预测)观察下列等式：第1个等式：a1＝11＋2＝2－1，第2个等式：a2＝12＋3＝3－2，第3个等式：a3＝13＋2＝2－3，第4个等式：a4＝12＋5＝5－2，按上述规律，回答以下问题：(1)请写出第n个等式：an＝；(2)a1＋a2＋a3＋…＋an＝．【解析】(1)根据题意可知，a1＝11＋2＝2－1，a2＝12＋3＝3－2，a3＝13＋2＝2－3，a4＝12＋5＝5－2，……由此得出第n个等式：an＝1n＋n＋1＝n＋1－n；(2)将每一个等式化简即可求得答案．1n＋n＋1＝n＋1－nn＋1－1解：(1) 第1个等式：a1＝11＋2＝...
