第14讲与几何图形有关的探究题图形变化问题【例1】(2017·黑龙江)△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°.连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH.(1)如图①，易证：OH＝12AD且OH⊥AD(不需证明)；(2)将△COD绕点O旋转到图②，图③所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．解：(1)证明：如图1中， △OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，∴OC＝OD，OA＝OB， 在△AOD与△BOC中，OA＝OB，∠AOD＝∠BOC，OD＝OC，∴△AOD≌△BOC(SAS)，∴∠ADO＝∠BCO，∠OAD＝∠OBC， 点H为线段BC的中点，∴OH＝HB，∴∠OBH＝∠HOB＝∠OAD，又 ∠OAD＋∠ADO＝90°，∴∠ADO＋∠BOH＝90°，∴OH⊥AD(2)解：①结论：OH＝12AD，OH⊥AD，如图2中，延长OH到E，使得HE＝OH，连接BE，易证△BEO≌△ODA，∴OE＝AD，∴OH＝12OE＝12AD，由△BEO≌△ODA，知∠EOB＝∠DAO，∴∠DAO＋∠AOH＝∠EOB＋∠AOH＝90°，∴OH⊥AD.②如图3中，结论不变．延长OH到点E，使得HE＝OH，连接BE，延长EO交AD于G.易证△BEO≌△ODA，∴OE＝AD，∴OH＝12OE＝12AD，由△BEO≌△ODA，知∠EOB＝∠DAO，∴∠DAO＋∠AOG＝∠EOB＋∠AOG＝90°，∴∠AGO＝90°，∴OH⊥AD[对应训练]1．(导学号：65244081)(2017·葫芦岛)如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E在AC上(且不与点A，C重合)，在△ABC的外部作△CED，使∠CED＝90°，DE＝CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF.(1)请直接写出线段AF，AE的数量关系____；(2)将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；(3)在图②的基础上，将△CED绕点C继续逆时针旋转，请判断(2)问中的结论是否发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由．解：(1)如图①中，结论：AF＝2AE.理由： 四边形ABFD是平行四边形，∴AB＝DF， AB＝AC，∴AC＝DF， DE＝EC，∴AE＝EF， ∠DEC＝∠AEF＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF＝2AE(2)如图②中，结论：AF＝2AE.理由：连接EF，DF交BC于点K. 四边形ABFD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠DKE＝∠ABC＝45°，∴∠EKF＝180°－∠DKE＝135°，EK＝ED， ∠ADE＝180°－∠EDC＝180°－45°＝135°，∴∠EKF＝∠ADE， ∠DKC＝∠C，∴DK＝DC， DF＝AB＝AC，∴KF＝AD，在△EKF和△EDA中，EK＝ED，∠EKF＝∠EDA，KF＝AD，∴△EKF≌△EDA，∴EF＝EA，∠KEF＝∠...
