专题十与几何图形有关的探究题数学本题型基本上是每年中考的必考题，且多以几何压轴题的形式出现，常把圆、四边形与三角函数的知识结合起来考查，综合程度较高，所以难度较大．预计2018年仍会考查与几何图形有关的探究题．【例1】(2017·天水)△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE；(2)如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP＝2，CQ＝9时BC的长．【思路引导】(1)由△ABC是等腰直角三角形，得∠B＝∠C＝45°，AB＝AC，又由AP＝AQ，E是BC的中点，利用SAS，可证得△BPE≌△CQE.(2)由已知，易得∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，然后利用三角形的外角的性质，即可得∠BEP＝∠EQC，从而可证得△BPE∽△CEQ；再根据相似三角形的对应边成比例，从而可求得BE的长，由此可得BC的长．证明：(1) △ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°，AB＝AC. AP＝AQ，∴BP＝CQ. E是BC的中点，∴BE＝CE，在△BPE和△CQE中，BE＝CE，∠B＝∠C，BP＝CQ，∴△BPE≌△CQE(SAS)．证明：(2)连接PQ， △ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°. ∠BEQ＝∠EQC＋∠C，即∠BEP＋∠DEF＝∠EQC＋∠C，∴∠BEP＋45°＝∠EQC＋45°.∴∠BEP＝∠EQC.∴△BPE∽△CEQ，∴BPCE＝BECQ. BP＝2，CQ＝9，BE＝CE，∴BE2＝18.∴BE＝CE＝32.∴BC＝62.【例2】(2017·东营)如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，点D是BC边上的一个动点(不与B，C重合)，在AC上取一点E，使∠ADE＝30°.(1)求证：△ABD∽△DCE；【思路引导】根据已知条件找到两组对应角相等，从而证明△ABD∽△DCE.证明： △ABC是等腰三角形，且∠BAC＝120°，∴∠ABD＝∠ACB＝30°.∴∠ABD＝∠ADE＝30°. ∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝∠ABD＋∠DAB，∴∠EDC＝∠DAB.∴△ABD∽△DCE.(2)设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；【思路引导】如图，作高AF，根据含30°角的直角三角形的性质求AF的长，根据勾股定理求BF的长，则可得BC的长，根据(1)中的相似三角形列比例式可得函数解析式，并确定自变量的取值范围．解：如图， AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，过点A作AF⊥BC于点F，∴∠AFB＝90°. AB＝2，∠ABF＝30°，∴AF＝12AB...
