第二课证明不等式的基本方法【网络体系】【核心速填】1.比较法(1)作差比较法的依据:若a,b∈R,则______a>b;a-b=0a=b;______a0,b>0,则_____a>b;=1a=b;_____a0a-b<0(3)比较法的步骤:作差(商)→→变形判符号(与0(或1)比较大小)→结论.2.综合法推证过程:3.分析法推证过程:4.反证法→→→反设推理矛盾结论.5.放缩法分析待证式的形式特点,适当放大或缩小.【易错警示】(1)利用比较法证明不等式时,最后变形的结果要容易判断其符号,即变形为一个常数,或变形为若干个因式的乘积,或变形为一个或几个平方的和等.(2)用分析法证明不等式时,一定要注意用好反推符号,“”“”“”或要证明只需证明即证明等词语.(3)用放缩法时,放缩要得当,“”“不能过大也不能过”小.类型一比较法证明不等式【典例1】设a≥b>0,求证:3a3+2b3≥3a2b+2ab2.【证明】3a3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)+2b2(b-a)=(a-b)(3a2-2b2).因为a≥b>0,所以a-b≥0,3a2-2b2>2a2-2b2≥0.从而(3a2-2b2)(a-b)≥0,故3a3+2b3≥3a2b+2ab2成立.【方法技巧】比较法证明不等式的依据及步骤(1)依据:不等式的意义及实数比较大小的充要条件.(2)一般步骤:①作差;②恒等变形;③判断结果的符号;④下结论.其中,变形是证明推理中一个承上启下的关键,变形的目的在于判断差的符号,而不是考虑差能否化简或值是多少,变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,可以因式分解,可以运用一切有效的恒等变形.【变式训练】1.(2016·南阳高二检测)已知a,b是正实数,n是正整数.求证:(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1).【证明】(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1)=an+1+abn+anb+bn+1-2an+1-2bn+1=abn+anb-an+1-bn+1=a(bn-an)+b(an-bn)=(a-b)(bn-an).当a>b>0时,bn-an<0,a-b>0,此时(a-b)(bn-an)<0;当b>a>0时,bn-an>0,a-b<0,此时(a-b)(bn-an)<0;当a=b>0时,bn-an=0,a-b=0,此时(a-b)(bn-an)=0.综上所述:(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1)≤0.即(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1).2.(2016·福州高二检测)已知α∈(0,π),求证:2sin2α≤sin.1cos【证明】2sin2α-=4sinαcosα-因为α∈(0,π),所以sinα>0,1-cosα>0,又(2cosα-1)2≥0,所以2sin2α-≤0,所以2sin2α≤.sin1cossin1cos22sin(4cos4cos1)sin(2cos1),1cos1cossin1cossin1cos类型二综合法证明不等式【典例2】已知a>0,a2-2ab+c2=0且bc>a2,试证明:b>c.【证明】因为a2-2ab+c2=0,所以a2+c2=2a...
