人教版高中数学选修4-5课件：模块复习课 第三课 柯西不等式、排序不等式与数学归纳法 （共63张PPT） .pptVIP免费

第三课柯西不等式、排序不等式与数学归纳法【网络体系】【核心速填】1.二维形式的柯西不等式(1)二维形式的柯西不等式:____________________________________________.若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(2)柯西不等式的向量形式:__________________________________________.当且仅当是零向量,或存在实数k,使=k时,等号成立.设是两个向量,则||·||,αβααββαββ|·|≤(3)二维形式的三角不等式:设x1,y1,x2,y2∈R,那么________________________________________22222211221212xyxyxxyy2.一般形式的柯西不等式设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则________________________________________________.当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)23.排序不等式设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则a1bn+a2bn-1+…+anb1≤________________≤a1b1+a2b2+…+anbn.a1c1+a2c2+…+ancn4.数学归纳法一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:(1)证明当____时,命题成立.(2)假设当n=k(k∈N+,且k≥n0)时,命题成立.证明______时,命题也成立.n=n0n=k+1【易错警示】关注数学归纳法应用时常出现的三个错误(1)对假设设而不用.(2)机械套用数学归纳法中的两个步骤致误.(3)没有搞清从k到k+1的跨度.＜1-＜.类型一利用柯西不等式证明不等式【典例1】若n是不小于2的正整数,求证:4711111...2342n12n22【证明】1-所以求证式等价于<<.11111...2342n12n47111...n1n22n22111111111(1)2()2342n12n2462n1111.n1n22n12n由柯西不等式,有[(n+1)+(n+2)+…+2n]>n2,于是>==≥=.111(...)n1n22n111...n1n22n2n(n1)(n2)...(2n)2n3n1213n213247＜1-＜.又由柯西不等式,有所以111...n1n22n＜222222111(11...1)[...](n1)(n2)(2n)11n()n2n＜2.24711111...2342n12n22【方法技巧】利用柯西不等式证题的技巧(1)柯西不等式的一般形式为(a12+a22+…+an2)·(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2(ai,bi∈R,i=1,2,…,n),形式简洁、美观、对称性强,灵活地运用柯西不等式,可以使一些较为困难的不等式的证...