人教版高中数学选修4-4课件：2.2圆锥曲线的参数方程 .ppt

二圆锥曲线的参数方程,【自主预习】椭圆、双曲线、抛物线的普通方程和参数方程,y2=2px(p0),【即时小测】1.参数方程(为参数)表示的曲线为(),【解析】选B.由参数方程(为参数)得 将两式平方相加,得x2+=1,表示焦点在y轴上的椭圆.,2.直线y=2x-与曲线(为参数)的交点坐标是_.,【解析】因为cos2=1-2sin2,所以曲线方程化为y=1-2x2,与直线y=2x-联立,解得:,由-1sin1,故 不符合题意,舍去,则直线与曲线的交点坐标为 答案:,【知识探究】探究点圆锥曲线的参数方程1.椭圆的参数方程中参数的几何意义是什么?,提示:椭圆的参数方程中,参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角,要把它和这一点的旋转角区分开来,除了点M在四个顶点处,离心角和旋转角数值可相等外(即在0到2的范围内),在其他任何一点,两个角的数值都不相等.但当0 时,相应地也有0,在其他象限内也有类似范围.,2.抛物线y2=2px(p0)的参数方程(t为参数)中参数t的几何意义是什么?提示:由抛物线参数方程的推导过程可知,参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.,【归纳总结】1.椭圆的参数方程 中的参数与圆的参数方程 中的参数意义的区别从椭圆参数方程的推导过程可以看出参数是椭圆上的点M所对应的大圆的半径OA的旋转角,不是OM的旋转角,而圆的参数方程中的是半径OM的旋转角,椭圆参数方程中的称为点M的离心角.,2.余切函数、正割函数、余割函数与双曲线的参数方程(1)定义.如图,已知点P(x,y)是角的终边上异于原点的任一点(角的始边是x轴的正半轴,顶点是坐标原点),其到原点的距离为|OP|=r,则 分别叫做角的余切函,数、正割函数、余割函数,表示为cot=|k,kZ;sec=|k+kZ;csc=|k,kZ.,(2)双曲线(a0,b0)的参数方程为(为参数,且k+kZ)双曲线(a0,b0)的参数方程为(为参数,且 k,kZ),类型一椭圆的参数方程与应用【典例】已知曲线C1的参数方程是(为参数)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是=2,正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为,(1)求点A,B,C,D的直角坐标.(2)求曲线C1的普通方程,判断曲线形状.(3)设P为C1上任意一点,求 的取值范围.,【解题探究】(1)典例(1)中如何求各点的直角坐标?提示:先求A点的直角坐标,由对称性求其余各点的坐标.(2)曲线C1的形状是什么?提示:将曲线C1的参数方程化为普通方程,是椭圆.,(3)如何求距离平方和的取值范围?提示:利用椭圆的参数方程转化为三角函数的最值问题.,【解析】(1)由曲线C2的极坐标方程=2,可知曲线C2是圆心在极点,半径为2的圆,正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为 故 由对称性得,直角坐标分别为,(2)由曲线C1的参数方程(为参数)得 两式平方相加得 所以曲线是焦点在y轴上的椭圆.,(3)由于点P为曲线C1 上任意一点,得P(2cos,3sin),则|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=(2cos-1)2+(3sin-)2+(2cos+)2+(3sin-1)2+(2cos+1)2+(3sin+)2+,(2cos-)2+(3sin+1)2=16cos2+36sin2+16=32+20sin2,因为3232+20sin252,所以|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围是32,52.,【方法技巧】椭圆的参数方程应用技巧(1)椭圆的参数方程:中心在原点的椭圆的参数方程(为参数,ab0)常数a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴,焦点F(c,0)在x轴上,其中a2=b2+c2.椭圆的参数方程也可以是(为参数,ab0),(2)与椭圆上的动点有关的最大值、最小值或取值范围问题,常常利用椭圆的参数方程转化为三角函数解决.,【变式训练】1.椭圆(为参数)在坐标轴的正半轴上的焦点坐标为_.,【解析】将椭圆的参数方程(为参数)化为普通方程为 由a2=25,b2=9,得c2=a2-b2=16,所以c=4,椭圆在坐标轴的正半轴上的焦点坐标为(4,0).答案:(4,0),2.在平面直角坐标系xOy中,设P(x,y)是椭圆 上的动点,求S=x+y的最大值.,【解析】椭圆 的参数方程为(为参数)故可设动点P的坐标为(cos,sin),其中02.所以S=x+y=cos+sin=所以当 时,S取得最大值,Smax=2.,类型二双曲线的参数方程与应用【典例】已知等轴双曲线C的实轴长为2,焦点在x轴上.(1)求双曲线的普通方程和参数方程.(2)已知点P(0,1),点Q在双曲线C上,求 的最小值.,【解题探究】(1)求典例中的普通方程和参数方程的思路是什么?提示:运用待定系数法,设普通方程为x2-y2=a2,求参数a的值,再化为参数方程.(2)如何求线段长度的最小值?提示:利用双曲线的参数方程转化为三角函数解决.,【解析】(1)设等轴双曲线C的普通方程为x2-y2=a2,依题意,得2a=2,所以a=1,所以x2-y2=1,化为参数方程为(为参数),(2)因为点P(0,1),Q在双曲线C上,设Q(sec,tan),则 当且仅当tan=时,【延伸探究】1.若本例条件不变,求双曲线C的焦点到渐近线的距离.【解析】由于等轴双曲线C的普通方程为x2-y2=1,一个焦点为F(,0),一条渐近线方程为x-y=0,所以焦点到渐近线的距离为,2.若本例条件变为:已知P(0,b),点Q在双曲线(ab0)上,如何求|PQ|的最小值?,【解析】由双曲线 得参数方程为(为参数)则,当且仅当 时,【方法技巧】双曲线的参数方程中的应用技巧(1)双曲线的参数方程(为参数)中,所以cos0,所以k+kZ,这也与使tan有意义的的取值范围相一致.故我们通常规定参数的范围为0,2),且,(2)双曲线的参数方程中,常用的三角函数关系式为sin2+cos2=11+tan2=sec2sec2-tan2=1.,【补偿训练】1.参数方程(为参数)表示曲线的离心率为_.,【解析】参数方程(为参数)即 所以 表示双曲线,其中c2=a2+b2=9+16=25,所以 答案:,2.(2015湖北高考)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为(sin-3cos)=0,曲线C的参数方程为(t为参数)l与C相交于A,B两点,则|AB|=_.,【解题指南】先将极坐标方程(sin-3cos)=0和曲线C的参数方程(t为参数)化成普通方程,再求解.,【解析】由(sin-3cos)=0知,直线的方程是y=3x,由曲线C的参数方程为(t为参数)消去参数得,y2-x2=4,解方程组,得 答案:,自我纠错等价转化求轨迹方程【典例】已知A,B是抛物线y2=2x上异于顶点的两动点,且OAOB,OMAB,并与AB相交于点M,求点M的轨迹.,【失误案例】,分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:错误的根本原因一是忽视了动点M不能到达原点导致求方程增解出错,另外,没有判断轨迹形状导致错误.正确解答过程如下:,【解析】方法一:设M(x,y),由(2t1t2)2+22t1t2=0,因为A,B是抛物线上异于顶点的两动点,所以t1t2=-1.,所以x(t1+t2)+y=0,(x0)又 且A,M,B共线.所以,即y(t1+t2)-2t1t2-x=0.将代入,得到x2+y2-2x=0,由于动点M不能到达原点,故轨迹方程为x2+y2-2x=0(x0),所以动点M的轨迹是圆心在(1,0),半径为1的圆,且去掉原点.,方法二:设 因为OAOB,所以 得y1y2=-4,直线AB的方程为,即 所以直线AB过定点C(2,0),又OMAB,所以点M的轨迹是以OC为直径的圆,则点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x0).所以动点M的轨迹是圆心在(1,0),半径为1的圆,且去掉原点.,