人教版高中数学必修五同课异构课件：3.4 基本不等式.1 探究导学课型 .ppt

3.4基本不等式：第1课时基本不等式,1.理解基本不等式及其证明过程.2.能用基本不等式证明不等式及比较大小.,重要不等式与基本不等式(1)重要不等式：a2+b2_2ab，条件：a，bR；“=”成立的条件是：_.(2)基本不等式：_，条件：a0，b0，“=”成立的条件是_.(3)有关概念：_叫做正数a，b的算术平均数，_叫做正数a，b的几何平均数.,a=b,a=b,1.a，b，c是互不相等的正数，且a2+c2=2bc，则下列关系中可能成立的是()A.abcB.bcaC.bacD.acb,【解析】选C.因为a，c均为正数，且ac，所以a2+c22ac，又因为a2+c2=2bc，所以2bc2ac，所以ba，可排除A，D.取a=1，b=2，则有c2-4c+1=0，解得c=2，当c=2-时，有bac.,2.不等式a+12(a0)中等号成立的条件是.【解析】a+12 可变形为 等号成立的条件为a=1.答案：a=1,3.若P=x2+1，Q=2x，则P与Q的大小关系是.【解析】根据重要不等式知P=x2+12x，故PQ.答案：PQ,基本不等式探究1：观察如图所示图形，其中AB是O的直径，点C是AB上的一点，CDAB，AC=a，BC=b，据此思考下列问题：,(1)用a，b如何表示CD？提示：由条件知RtACDRtDCB，所以CD2=CACB，所以CD=.(2)AB与DE的大小关系怎样？提示：ABDE.,(3)成立吗？提示：成立.因为ABDE，即a+b2，所以(4)C点在何位置时，上述不等式等号成立？提示：当且仅当点C与圆心重合，即a=b时，等号成立.,探究2：根据基本不等式及其成立的条件，回答下列问题：(1)若a，b同号，则 的关系如何？提示：当a，b0时，当a，b0，,(2)当a，b异号时，不等式 成立吗？提示：一定不成立，因为当a，b异号时，ab0，所以 无意义，故不等式一定不成立.,【探究总结】对基本不等式的四点说明(1)“当且仅当”的含义是a=b(2)基本不等式的几何意义是：圆的半径不小于垂直于直径的半弦长.(3)基本不等式亦可表述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.(4)基本不等式 与不等式a2+b22ab成立的条件不同，前者是a，bR+，后者是a，bR.,【拓展延伸】基本不等式的常用结论(1)当x0时，x+2；当x0时，当ab0时，(3)若a，bR，则 ab，当且仅当a=b时，等号成立.(4)若a，bR+，则 当且仅当a=b时，等号成立.即调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数.,类型一 利用基本不等式比较大小1.(2014济宁高二检测)设a0，b0，则下列不等式中，不成立的是()2.若ab1，P=Q=(lg a+lg b)，R=试比较P，Q，R的大小关系.,【解题指南】1.对每一选项利用基本不等式逐一判断.2.在ab1的条件下，可得lgalgb0，进而可利用基本不等式比较P与Q的大小；再根据基本不等式及对数函数的单调性得出Q与R的大小.,【自主解答】1.选D.对于A：不等式成立.对于B：因为相乘得 成立.对于C：因为又 成立.对于D：因为,2.因为ab1，所以lg alg b0，所以Q=(lg a+lg b)=P；Q=所以PQR.,【规律总结】利用基本不等式比较实数大小的注意事项(1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)，同时要注意结合函数的性质(单调性).(2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a0，b0.,【变式训练】已知a，b，c都是非负实数，试比较 与(a+b+c)的大小.【解析】因为a2+b22ab，所以2(a2+b2)(a+b)2，,类型二利用基本不等式证明不等式1.(2014天津高二检测)设a，b是正实数，以下不等式：a|a-b|-b；a2+b24ab-3b2；ab+2.其中恒成立的是()A.B.C.D.2.设a，b，c都是正数，试证明不等式：,【解题指南】1.根据基本不等式及其变形形式证明.2.原不等式左边可化为 再利用基本不等式证明.,【自主解答】1.选D.由题知，a0，b0.中 可化为a+b 缺少两者相等的情况，故错误.中，因为a+b|a-b|成立，所以a|a-b|-b，故正确.中a2+b24ab-3b2，可化为a2+4b24ab，由基本不等式知，缺少两者相等的情况，故错误.中，故正确.,2.因为a0，b0，c0，所以所以 6，当且仅当即a=b=c时，等号成立.所以 6.,【延伸探究】在题2条件不变的情况下，证明ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)6abc.【证明】因为a，b，c都是正数，所以ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)=a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2=(a2b+bc2)+(b2c+ca2)+(c2a+ab2)=6abc，所以原不等式成立，当且仅当a=b=c时，等号成立.,【规律总结】利用基本不等式证明不等式时应注意的问题(1)基本不等式成立的前提条件.(2)通过加减项的方法拼凑成可以使用基本不等式的形式.(3)注意“1”的代换.(4)灵活变换基本不等式的形式并注意其变形形式的运用.提醒：(1)多次使用基本不等式时，注意等号能否成立.(2)利用不等式性质累加时，注意等号成立的条件.,【拓展延伸】基本不等式的推广设aiR+(i=1，2，n)，这n个数：(1)算术平均数An=(2)几何平均数Gn=(3)调和平均数Hn=(4)平方平均数Qn=则以上平均值的关系是：HnGnAnQn.,【变式训练】已知a，b，c为正实数，且a+b+c=1，求证：【解题指南】其他同样放缩.,【证明】因为a，b，c为正实数，且a+b+c=1，所以同理，上述三个不等式两边均为正，相乘得当且仅当a=b=c=时，取等号.,