人教版高中数学必修五同课异构课件：3.3.2 简单的线性规划问题 .1 探究导学课型 .ppt

3.3.2简单的线性规划问题第1课时简单的线性规划问题,1.了解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划的意义.3.会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值.,线性规划的基本概念(1)约束条件：由变量的不等式(或方程)组成的_.(2)线性约束条件：关于x，y的_(或方程)组成的不等式组.(3)目标函数：欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式.,不等式组,一次不等式,(4)线性目标函数：关于变量x，y的_.(5)可行解：满足_的解(x，y).(6)可行域：所有_组成的集合.(7)最优解：使目标函数取得_的可行解.(8)线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的_问题.,一次解析式,线性约束条件,可行解,最大值或最小值,最大值或最小值,1.若实数x，y满足 则S=2x+y-1的最大值是.【解析】可行域为如图所示的阴影部分，当可行解为A(2，3)时，Smax=6.答案：6,2.已知实数x，y满足 则目标函数z=x-2y的最小值是.【解析】如图，作出的阴影部分为可行域，由 得 即A(3，6)，经过分析可知直线z=x-2y经过A点时z取最小值-9.答案：-9,3.满足 的平面区域图形为.【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由x=1平行于y轴而x-2y=-1与x轴不平行，知四边形ABCD为梯形.答案：梯形,一、线性规划问题已知实数x，y满足 求z=2x+y的取值范围.请思考下面的问题：探究1：此题中线性约束条件是，目标函数是.,提示：线性约束条件是关于变量x，y的一次不等式组成的不等式组，故此题中的线性约束条件为 目标函数是欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式，故此题中的目标函数为z=2x+y.答案：z=2x+y,探究2：目标函数z=2x+y中z的几何意义是什么？提示：由z=2x+y，得到y=-2x+z，该直线的斜率是-2，在y轴上的截距是z，即z为直线在y轴上的截距.,探究3：如何求函数z=2x+y的取值范围？提示：作可行域如图阴影部分所示，求函数z=2x+y的取值范围，只需求目标函数的最大值与最小值，即求直线y=-2x+z在y轴上的截距z的最大值与最小值，如图，平移直线l，由图可知，当直线经过点A时，z有最大值，当直线经过点B时，z有最小值.解 得A(5，1)，所以zmax=25+1=11，解 得B(3，1)，所以zmin=23+1=7.所以函数z=2x+y的取值范围是7，11.,【探究总结】解线性规划问题的关注点(1)先确定线性约束条件及目标函数.(2)要确定目标函数的几何意义.(3)在求解目标函数的最值时，平移直线要做到规范、准确.(4)求目标函数的取值范围，一般不利用不等式的性质对二元一次不等式进行变形，因为这样会扩大变量的取值范围.,【拓展延伸】确定线性规划问题中最优解的方法线性目标函数z=Ax+By+C(A，B不全为0)中，当B0时，这样线性目标函数可看成斜率为 在y轴上的截距为 且随z变化的一族平行线，则把求z的最大值或最小值的问题转化为直线与可行域有公共点时，直线在y轴上的截距的最大值或最小值的问题.因此只需先作出直线y=再平行移动这条直线，最先通过或最后通过的可行域的顶点就是最优解.,二、非线性规划问题探究1：式子x2+y2表示的几何意义是什么？式子(x-a)2+(y-b)2呢？提示：x2+y2可以看成 所以x2+y2表示原点与可行域内的点(x，y)两点间距离的平方.式子(x-a)2+(y-b)2，可以看成 所以(x-a)2+(y-b)2的几何意义是点(a，b)与可行域内的点(x，y)两点间距离的平方.,探究2：式子 表示的几何意义是什么？提示：表示点(a，b)与可行域内的点(x，y)两点连线的斜率.,【探究总结】求非线性目标函数最值的关键求非线性目标函数最值的关键是弄清目标函数的几何意义，然后画出可行域，运用数形结合的方法求其最值.,类型一求线性目标函数的最值1.(2013新课标全国卷)设x，y满足约束条件 则z=2x-3y的最小值是()A.-7 B.-6 C.-5 D.-32.(2014浙江高考)若实数x，y满足 则x+y的取值范围是.,【解题指南】1.结合线性约束条件，画出可行域，将目标函数平移得最小值.2.根据约束条件画出可行域，平移目标函数求最大、最小值，即得x+y的范围.,【自主解答】1.选B.由z=2x-3y，得3y=2x-z，即y=作出可行域如图所示，平移直线y=由图象可知当直线y=经过点B时，直线y=在y轴上的截距最大，此时z取得最小值.解方程组 得 即B(3，4)，代入直线z=2x-3y，得zmin=32-34=-6，故选B.,2.作出不等式组 所表示的区域，如图所示：令z=x+y，解方程组 得C(2，1)，解方程组 得B(1，0).平移直线z=x+y，经过点C使得z取最大值，即zmax=2+1=3，,当直线z=x+y经过点B时，z取最小值，即zmin=1+0=1，所以x+y的取值范围是1，3.答案：1，3,【延伸探究】在题1中，求z=2x-3y的最大值.【解析】由可行域可知当直线y=经过C点时，直线y=在y轴上的截距最小，此时z取得最大值.解方程组 得 即C(3，-2)，代入直线z=2x-3y，得zmax=32-3(-2)=12.,【规律总结】解线性规划问题的四个步骤(1)画：画出线性约束条件所表示的可行域.(2)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线.(3)求：通过解方程组求出最优解.(4)答：根据所求得的最优解得出答案.,类型二求非线性目标函数的最值1.(2013山东高考)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组 所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为()A.2 B.1 C.D.,2.已知 求(x+1)2+(y+1)2的最大值、最小值.【解题指南】1.本题可先根据题意画出平面区域，然后利用数形结合找出斜率的最值.2.由于(x+1)2+(y+1)2的几何意义表示点(x，y)与点(-1，-1)之间距离的平方，故画出可行域后，观察并找出可行域内与(-1，-1)距离最远和最近的点，并求出这两个距离的平方.,【自主解答】1.选C.作出可行域如图，由图象可知当M位于点D处时，OM的斜率最小.由 得即D(3，-1)，此时OM的斜率为,2.作出可行域，如图所示，设d=(x+1)2+(y+1)2，则它表示可行域内的点与定点E(-1，-1)的距离的平方.由图可知，点C到定点E的距离最小，点B到定点E的距离最大.由 解得B(3，4)，由 解得C(2，1).所以当x=3，y=4时，dmax=(3+1)2+(4+1)2=41，当x=2，y=1时，dmin=(2+1)2+(1+1)2=13，即(x+1)2+(y+1)2的最大值为41，最小值为13.,【规律总结】非线性目标函数最值的常见类型及其解法(1)型求最值.根据 的几何意义，可转化为求可行域内的点(x，y)与点(a，b)连线的斜率的最值.(2)(x-a)2+(y-b)2型求最值.根据(x-a)2+(y-b)2的几何意义，可转化为求可行域内的点(x，y)与点(a，b)两点间距离的平方的最值.,【变式训练】已知 求：(1)z=x2+y2-10y+25的最小值.(2)z=的取值范围.,【解析】作出可行域如图所示，A(1，3)，B(3，1)，C(7，9).,(1)z=x2+(y-5)2表示可行域内任一点(x，y)到点M(0，5)的距离的平方，过M作AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故MN=所以 所以z的最小值为,(2)z=2 表示可行域内点(x，y)与定点连线斜率的2倍，因为所以z的取值范围是,类型三根据目标函数的最值求参数1.(2015沈阳高二检测)实数x，y满足 若目标函数z=x+y的最大值为4，则实数a的值为.2.(2014浙江高考)当实数x，y满足 时，1ax+y4恒成立，则实数a的取值范围是.,【解题指南】1.结合线性约束条件，画出可行域，由目标函数取得最大值4，结合图形可求得a.2.先画出可行域，利用数形结合求解.,【自主解答】1.作不等式组所表示的可行域如图所示，即点A(a，a)，作直线l：z=x+y，则z为直线l在y轴上的截距，当直线l经过可行域上的点A(a，a)时，直线l在y轴上的截距最大，此时z取最大值，即zmax=a+a=2a=4，所以a=2.答案：2,2.作出不等式组 所表示的区域，由1ax+y4，由图可知，a0且在(1，0)点取得最小值，在(2，1)点取得最大值，所以a1，2a+14，故a的取值范围为1，.答案：1，,【规律总结】根据目标函数的最值求参数的解题思路采用数形结合，先画出可行域，根据目标函数表示的意义，画出目标函数取最值的直线，它与相应直线的交点就是最优解，再将所求出的最优解代入含有参数的约束条件，即可求出参数的值或范围.,【变式训练】(2013北京高考)设关于x，y的不等式组 表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0-2y0=2，求得m的取值范围是(),【解析】选C.作出可行域如图所示：,要使可行域存在，必有-m，m2m+1，要求可行域内包含直线y=x1上的点，只要边界点(m，12m)在直线y=x1上方，且(m，m)在直线y=x1下方，解不等式组,【加固训练】已知变量x，y满足约束条件若目标函数z=ax+y(其中a0)仅在点(3，1)处取得最大值，求a的取值范围.【解析】由约束条件画出可行域，如图所示，点C的坐标为(3，1).因为目标函数仅在点C(3，1)处取得最大值，所以-a1.,【拓展类型】线性规划与其他知识的结合问题1.在平面直角坐标系xOy中，不等式组 确定的平面区域为D，在区域D中任取一点A(a，b)，则A满足a+2b10的概率为()2.设数列an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，若S113，S410，S515，求a4的最大值.,【解题指南】1.画出不等式组表示的平面区域，找出满足a+2b10所对应的区域，根据几何概型的概率公式求解.2.根据题意找出数列an的首项a1与公差d所满足的不等式组，将其转化为线性规划问题求解.,【解析】1.选B.不等式组表示的平面区域如图所示，由图可知满足条件的区域D为正方形区域，点A(a，b)满足a+2b10的区域为阴影部分，设区域D的面积为S，阴影部分的面积为S，则A满足a+2b10的概率为 故选B.,2.可将此题看成关于a1和d的线性规划问题，根据题意可知 化简为 求a4=a1+3d的最大值，将其转化为 求z=x+3y的最大值问题，不等式组表示的平面区域如图所示.,由z=x+3y，得y=平移直线y=由图可知，当直线y=过点A时，z有最大值.由 得A(1，1)，所以zmax=1+13=4，即a4的最大值为4.,【规律总结】线性规划问题在数学中的应用及其关注问题(1)主要应用方面：不等式、概率、数列、向量等.(2)线性规划问题在数学中的应用非常广泛，且越来越新颖、灵活、实用性更强.对此主要把握以下三点：解线性规划问题关键是在图上完成，所以图应该尽可能准确，图上操作尽可能规范；,要对数学模块知识理解深刻，且了解模块与模块之间的深层联系；要在平时学习中不断总结、归纳和积累.,【变式训练】已知P(x，y)在由不等式组 确定的平面区域内，O为坐标原点，点A(-1，2)，则 cosAOP的最大值为.,【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，,考虑向量数量积及其几何意义，因为 所以 要求 cosAOP的最大值，需要求-x+2y的最大值，令z=-x+2y，于是转化为求线性目标函数最值问题.平移直线-x+2y=0，由图可知当直线z=-x+2y过点B时，z有最大值，,由 得B(1，2)，所以zmax=-11+22=3，所以 cosAOP的最大值为 答案：,