人教版高中数学必修五同课异构课件：2.5.2 等比数列习题课 探究导学课型 .pptVIP免费

第2课时等比数列习题课类型一错位相减法求数列的和1.求和：.2.(2013·湖南高考)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0，2an-a1=S1·Sn，n∈N*.(1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式.(2)求数列{nan}的前n项和.23n1n34nn112222－【解题指南】1.令Sn=两边同乘以，错位相减转化为等比数列的前n项和求解.2.(1)利用递推关系求数列的通项公式.(2)根据第(1)问的结果利用错位相减法求数列前n项和.23n1n34nn112222－，1nnn1Sn1aSSn2，，，，12【解析】1.令Sn=①则②由①-②得：所以Sn=3－答案：23n1n234nn122222－n234nn11234nn1S222222n23nn1nn1nn1n112111n1S22222211(1)1n111n13n32211222222212－－－－－－，－nn3.2nn332－2.(1)令n=1，得2a1-a1=a12，因为a1≠0，所以a1=1，令n=2，得2a2-1=S2=1+a2，解得a2=2.当n≥2时，由2an-1=Sn，2an-1-1=Sn-1，两式相减，整理得an=2an-1，于是数列an是首项为1，公比为2的等比数列，所以an=2n-1.当n=1时，满足，故an=2n-1.(2)由(1)知nan=n2n-1，记其前n项和为Tn，于是Tn=1+2×2+3×22+…+n×2n-1①2Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n②①-②得-Tn=1+2+22+…+2n-1-n×2n=2n-1-n×2n.所以Tn=1+(n-1)·2n.【规律总结】用“错位相减法”求数列前n项和的类型及方法(1)类型：如果数列{an}是等差数列，公差为d；数列{bn}是等比数列，公比为q，则求数列{anbn}的前n项和就可以运用错位相减法.(2)方法：设Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn，当q=1时，{bn}是常数列，Sn=b1(a1+a2+a3+…+an)=当q≠1时，则qSn=qa1b1+qa2b2+qa3b3+…+qanbn=a1b2+a2b3+…+an-1bn+anbn+1，11nnbaa2；所以(1-q)Sn=a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+…+bn(an-an-1)-anbn+1=a1b1+d·-anbn+1，所以Sn=n11bq1q1qn1111nn1bdq1qabab1q.1q【变式训练】(2015·重庆高二检测)已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，a1=1，a3=3，b2=4，b5=32.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式.(2)设数列{cn}中，cn=an·bn，求数列{cn}的前n项和Sn.【解析】(1)由已知得：d==1，所以an=1+(n-1)=n.q3==8，q=2，所以bn=b2qn-2=2n.(2)cn=n×2n.所以Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n.两边乘以2得：2Sn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1.将以上等式相减得：-Sn=1×2+22+23+…+2n-n×2n+1=2n+1-2-n×2n+1.所以Sn=(n-1)×2n+1+2.312324...