人教版高中数学必修五同课异构课件：2.3 等差数列的前n项和 2.3.2 精讲优练课型 .ppt

第2课时等差数列习题课,【题型探究】类型一 等差数列前n项和的性质【典例】1.等差数列an和bn的前n项和分别为Sn和Tn，且 则=(),2.已知等差数列an的前n项和为Sn，且 那么的值为()3.(2015唐山高二检测)设等差数列an的前n项和为Sn，Sm-1=-2，Sm=0，Sm+1=3，则m=()A.3B.4C.5D.6,【解题探究】1.典例1中，如何转化为 的形式？提示：2.典例2中，S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12是否成等差数列？提示：S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12成等差数列.,3.典例3中，联系题目条件，可以考虑应用等差数列前n项和的哪个性质？提示：应用数列 是等差数列.,【解析】1.选B.由题意得,2.选D.由 可设S4=t，S8=3t，t0，所以S8-S4=3t-t=2t，因为等差数列an的前n项和为Sn，所以S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12成等差数列，所以S12-S8=3t，S16-S12=4t，所以S12=6t，S16=10t.所以,3.选C.因为数列an为等差数列，且前n项和为Sn，所以数列 也为等差数列.所以解得m5，经检验为原方程的解.,【延伸探究】若典例1条件不变，试计算【解析】,【方法技巧】与等差数列前n项和Sn有关的性质(1)数列Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，是公差为n2d的等差数列.(2)数列 为等差数列.,(3)等差数列an前n项和公式为 由等差数列的性质可得：(4)若两个等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，则,【变式训练】1.(2015黄山高二检测)等差数列的通项公式是an=1-2n，其前n项和为Sn，则数列 的前11项和为()A.-45B.-50C.-55D.-66,【解析】选D.因为所以所以数列 是首项为-1，公差为-1的等差数列，其前11项和为-（1+2+3+11）=66.,2.等差数列an的前n项和为Sn，S3=-6，S18-S15=18，则S18等于()A.36B.18C.72D.9【解题指南】根据S3，S6-S3，S9-S6，S18-S15成等差数列计算.,【解析】选A.由S3，S6-S3，S9-S6，S18-S15成等差数列，可知S18=S3+S6-S3+S9-S6+S18-S15,【补偿训练】一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和.【解析】方法一：设该等差数列的公差为d，由于Sn=所以,所以数列 是等差数列，其公差为.所以所以所以所以S110=110.,方法二：数列S10，S20-S10，S30-S20，S100-S90，S110-S100成等差数列，设其公差为D，前10项和10S10+D=S100=10D=-22，所以S110-S100=S10+(11-1)D=100+10(-22)=-120.所以S110=-120+S100=-110.,类型二 奇数项和、偶数项和问题【典例】等差数列an的前12项和为354，前12项中奇数项与偶数项的和之比为2732，求这个数列的通项公式.,【解题探究】典例中前12项中奇数项能构成等差数列吗？偶数项呢？偶数项的和与奇数项的和的差有何特点？提示：前12项中奇数项、偶数项分别构成以a1，a2为首项，2d为公差的新的等差数列.S偶-S奇=6d.,【解析】方法一：设an的首项为a1，公差为d，S奇=6a1+2d=6a1+30d，S偶=6(a1+d)+2d=6a1+36d，所以an=2+(n-1)5=5n-3.,方法二：S偶-S奇=(a2+a4+a12)-(a1+a3+a11)=(a2-a1)+(a4-a3)+(a12-a11)=6d，所以S偶-S奇=192-162=6d.所以d=5.因为S12=12a1+5，所以a1=2.所以an=5n-3.,方法三：设an的首项为a1，公差为d，则 所以 因为S12=6(a6+a7)=354，解得所以d=5.所以an=a6+(n-6)5=27+5n-30=5n-3.,【延伸探究】1.(变换条件)典例中，“354”改为“222”，“2732”改为“1720”，其他条件不变，结果又如何？,【解析】S偶-S奇=(a2+a4+a12)-(a1+a3+a11)=(a2-a1)+(a4-a3)+(a12-a11)=6d，所以S偶-S奇=120-102=6d.所以d=3.因为222=12a1+3，所以a1=2.所以an=3n-1.,2.(变换条件、改变问法)典例中项数改为2n+1(nN*)项，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数.,【解析】项数为2n+1(nN*)，则奇数项有n+1项，偶数项有n项，中间项为an+1，则所以 所以n=3，an+1=11.所以数列的中间项为11，项数为7.,【方法技巧】奇数项和与偶数项和的性质(1)若等差数列的项数为2n，则S2n=n(an+an+1)，S偶-S奇=nd，,(2)若等差数列的项数为2n+1，则S2n+1=(2n+1)an+1，S偶-S奇=-an+1，,【补偿训练】在等差数列an中前m项(m为奇数且m1)和为77，其中偶数项和为33且a1-am=18，求这个数列的通项公式.,【解析】设等差数列an的首项为a1，公差为d，则数列的前m项为a1，a1+d，a1+2d，a1+3d，a1+(m-1)d.前m项(m为奇数)和为77，其中偶数项之和为33，所以奇数项之和为44，S奇=a1+(a1+2d)+(a1+4d)+a1+(m-1)d,S偶=(a1+d)+(a1+3d)+(a1+5d)+a1+(m-2)d所以S奇-S偶=a1+d=11，因为a1-am=a1-a1+(m-1)d=18，所以(m-1)d=-18，联立解得a1=20，所以am=2，因为Sm=(a1+am)=77，所以m=7.,代入(m-1)d=-18，解得d=-3.通项公式an=20-3(n-1)=23-3n.,【延伸探究】1.(变换条件)本题中“77”改为“93”，“33”改为“42”，“a1-am=18”改为“a1=1”，其他条件不变，结果如何？,【解析】设m=2n+1，由题意得S2n+1=(2n+1)an+1=93，S奇=S2n+1-S偶=93-42=51，S奇-S偶=an+1=8，所以 所以n=5.,又因为a1=1，a1+nd=8，所以1+5d=8，解得d=，所以an=1+(n-1),2.(变换条件、改变问法)将本题中“奇数且m1”改为“偶数且m18”，“77”改为“162”“33”改为“72”，“a1-am=18”改为“各项为整数”，求首项a1.,【解析】设m=2n，则n9.S奇=a1+a3+a2n-1=na1+2d=na1+n(n-1)d=162-72=90，S偶=a2+a4+a6+a2n=na2+2d=na1+n2d=72，所以S偶-S奇=nd=-18，所以d=-，,因为等差数列an各项均为整数，所以d=-(n9)为整数，所以n=9，18，当n=9时，d=-2，所以9a1+92(-2)=72，a1=26，当n=18时，d=-1，所以18a1+182(-1)=72，a1=22.,类型三 数列求和角度1：裂项相消法求和【典例】(2015江苏高考)数列an满足a1=1，且an+1-an=n+1(nN*)，则数列 的前10项和为_.,【解题探究】典例中，用什么方法求数列an的通项公式？用什么方法计算数列 的前10项和？提示：利用累加法求出数列an的通项公式；利用裂项相消法计算 的前10项和.,【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+(n-2)+2+1=所以 所以 的前10项和为答案：,【延伸探究】若把典例中“an+1-an=n+1”改为“an=”，其他条件不变，结果又如何？【解析】因为所以 的前10项和为,角度2：并项转化求和【典例】数列an的通项an=其前n项和为Sn，则S30的值为_.,【解题探究】典例中的数列an的通项公式可转化为何种形式？根据数列an中项的变化规律，用什么方法求和？提示：数列 中重复出现，1三项.据此特点，可将各项重新搭配并项求和.,【解析】由题意得，所以S30=-(12+22-232)+(42+52-622)+(282+292-3022)=-(12-32)+(42-62)+(282-302)+(22-32)+(52-62)+(292-302)=-2(4+10+16+58)-(5+11+17+59),答案：470,角度3：求数列|an|的前n项和【典例】已知数列an的通项公式an=2n+11.(1)如果an的前n项和为Sn，求Sn的最大值.(2)如果bn=|an|(nN*)，求数列bn的前n项和Tn.,【解题探究】典例中(1)如何求Sn的最大值？(2)Tn与Sn有什么关系？提示：(1)利用二次函数求最值的方法求Sn的最大值.(2)当n5时，Tn=Sn；当n6时，Tn=S5-(Sn-S5).,【解析】(1)因为Sn=(9+11-2n)=10n-n2=-(n-5)2+25，所以当n=5时，Sn最大，最大值为25.,(2)bn=当n5时，Tn=Sn=10n-n2；当n6时，Tn=S5-(Sn-S5)=2S5-Sn=252-(10n-n2)=n2-10n+50，所以,【方法技巧】1.裂项相消法求数列的和裂项相消法求数列的和，主要适用于数列的通项公式是分式.常见的裂项有：(1)若an是等差数列，则,2.并项转化法求数列的和(1)适用形式：适用于形如an=(-1)nf(n)的摆动数列.项成周期变化的数列.,(2)求和方法：形如an=(-1)nf(n)的数列用并项法把相邻项的一正一负两项并作一项，从而使通项降次，得以转化为等差数列求解.针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求原数列的前n项和.,3.数列|an|的前n项和的四种类型及其求解策略(1)等差数列an的各项都为非负数，这种情形中数列|an|就等于数列an，可以直接求解.(2)等差数列an中，a10，d0，这种数列只有前边有限项为非负数，从某项开始其余所有项都为负数，可把数列an分成两段处理.,(3)等差数列an中，a10，这种数列只有前边有限项为负数，从某项开始其余都为非负数，同样可以把数列分成两段处理.(4)等差数列an的各项均为负数，则|an|的前n项和为an前n项和的相反数.,【变式训练】1.(2015四平高一检测)在等差数列an中，a10，a10a110，若此数列的前10项和S10=36，前18项和S18=12，则数列|an|的前18项和T18的值是()A.24B.48C.60D.84,【解析】选C.由a10，a10a110，a110，所以T18=a1+a10-a11-a18=S10-(S18-S10)=60.,2.计算：1-22+32-42+(2n-1)2-(2n)2.【解析】原式=(1-22)+(32-42)+(2n1)2(2n)2=(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+(2n-1-2n)(2n-1+2n)=-3-7-(4n-1)=-2n2-n.,3.在等差数列an中，a1=3，d=2，Sn是其前n项和，求,【解析】因为Sn=所以,【拓展类型】等差数列综合应用【典例】1.已知等差数列an的前n项和为Sn(nN*)，且an=2n+，当且仅当n7时数列Sn递增，则实数的取值范围是()A.(-16，-14B.(-16，-14)C.-16，-14)D.-16，-14,2.已知等差数列an的前n项和为Sn，且a2=5，S9=99.(1)求an及Sn.(2)若数列bn满足bn=，nN*，证明数列bn的前n项和Tn满足Tn1.,【解析】1.选B.因为an=2n+，所以a1=2+，所以Sn=n2+(+1)n.由二次函数的性质和nN*可知：6.5-7.5即可满足题意，解不等式可得-16-14.,2.(1)设等差数列an的公差为d，因为a2=5，S9=99.所以 解得所以an=3+2(n1)=2n+1，,(2)因为所以因为nN*，所以 0，所以1 1，所以Tn1.,【方法技巧】解答等差数列综合问题的策略(1)灵活应用等差数列的定义构成新的等差数列.(2)以“基本量法”为根本，重视公差和首项的计算.(3)树立“目标意识”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意解题的目标.(4)重视方程、分类讨论等思想在解决数列综合问题中的应用.,【补偿训练】等差数列an的前n项和为Sn，且a4-a2=8，a3+a5=26，记Tn=，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，TnM都成立，则M的最小值是_.,【解析】设等差数列an的首项为a1，公差为d.因为a4-a2=8，所以d=4.又因为a3+a5=26，即2a1+6d=26，所以a1=1.所以Sn=n+4=2n2-n，则Tn=2-2.因为对一切正整数TnM恒成立，所以M2.所以M的最小值为2.答案：2,规范解答 裂项求和问题【典例】(12分)(2015全国卷)Sn为数列an的前n项和.已知an0，(1)求an的通项公式.(2)设bn=，求数列bn的前n项和.,【审题指导】(1)首先根据an+1=Sn+1-Sn及+2an=4Sn+3，确定an的递推公式，然后确定an的通项公式.(2)由于数列bn的通项公式是分式形式，可考虑利用裂项法求和.,【规范解答】(1)由an2+2an=4Sn+3，可知an+12+2an+1=4Sn+1+3，1分可得an+12-an2+2(an+1-an)=4an+1，2分即2(an+1+an)=an+12-an2=(an+1+an)(an+1-an)，3分,由于an0，可得an+1-an=2，4分又a12+2a1=4a1+3，解得a1=-1(舍去)，a1=3.5分所以an是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an=2n+1.6分,(2)由an=2n+1可知8分,设数列bn的前n项和为Tn，则Tn=b1+b2+bn=10分 12分,【题后悟道】1.重视数列通项公式的变形数列求和的关键是将数列通项公式变形到恰当的形式，并选择合适的方法进行求和.如本例，注意到bn=就可以用裂项相消法求和.,2.认真分析有关项的抵消规律裂项相消法的基本思想是将数列的每一项拆成两项(裂成两项)，并使它们在相加时除了首尾的各一项或少数几项外，其余项都前后抵消，进而可求出数列的前n项和.如本例中，,