人教版高中数学必修五同课异构课件：1.1.1 正弦定理 探究导学课型 .ppt

第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理,1.了解正弦定理的推导过程.2.理解并掌握正弦定理，能运用正弦定理解决两类解三角形的问题.3.通过正弦定理的学习，体会“数形结合”和“转化与化归”的数学思想.,1.正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的_的比相等，即_.2.解三角形(1)三角形的元素：三角形的三个内角A，B，C和它们的对边_.(2)解三角形：已知三角形的某些元素求_的过程.,正弦,a，b，c,其他元素,1.在ABC中，a=10，A=120，b=，则B=()A.30B.60C.150D.90【解析】选A.由正弦定理 得sinB=又0BA=120.故B=30.,2.在ABC中，A=60，a=，b=2，那么满足条件的ABC()A.有一个解B.有两个解C.无解D.不能确定【解析】选A.因为b=2，a=，所以ba，而A是锐角.故B是锐角，因此ABC只有一解.,3.在ABC中，已知B=60，C=45，则=.【解析】因为 所以 答案：,一、正弦定理根据正弦定理 探究以下问题：探究1：在直角三角形与锐角三角形中很容易证明正弦定理，那么在钝角三角形中正弦定理是如何证明的呢？,提示：在钝角ABC中(不妨设A为钝角)，如图所示，过C作CDBA交BA的延长线于点D，根据任意角的三角函数的定义有CD=asinB=bsinA，于是 同理可得 从而,探究2：由正弦定理知 是一个与三角形有关的定值，你知道这个定值是什么吗？,提示：在ABC中，已知BC=a，AC=b，AB=c，作ABC的外接圆，O为圆心，连接BO并延长交圆于B，设BB=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到BAB=90，C=B，所以sinC=sinB=所以=2R.同理，可得 所以 故 是该三角形外接圆直径的长.,【拓展延伸】用向量法证明正弦定理如图(1)，ABC为锐角三角形时，过A作单位向量j垂直于 则j与 的夹角为90，j与 的夹角为-B，j与 的夹角为+A，设AB=c，BC=a，AC=b.因为 所以,即所以asinB=bsinA，即 同理可得：即 当ABC为钝角三角形如图(2)或直角三角形时，利用同样的方法可以证得结论，请同学们自己证明.,【探究总结】1.对正弦定理的两点说明(1)正弦定理 反映了三角形中三条边和对应角的正弦的关系，它的主要功能是实现三角形中边角关系的转化.(2)正弦定理分式的结构特点：分式连等形式，各边与其所对的角的正弦相比.,2.正弦定理的常用变形(1)a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC.(2)sinA=sinB=sinC=(3)abc=sinAsinBsinC.(4),二、正弦定理的应用探究1：根据正弦定理的形式，可以解决哪几类三角形问题？提示：利用正弦定理，可以解决以下两类问题：(1)已知三角形的任意两角及其中一边可以求其他边.这类问题由于两角已知，故第三角确定，三角形唯一，解唯一.(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值.此类问题变化较多，在解题时要分清题目所给的条件.,探究2：已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理可能有两解、一解或无解的情况，请根据下表完成填空：,bsinA,ab,absinA,ab,ab,一解,【探究总结】正弦定理的三个应用技巧(1)求边：类似地，还可以写出求a，b，c的其他几个公式.(2)求角：先求出正弦值，再求角，即 等类似的公式.(3)相同的元素归到等号的一边：,类型一已知两角和一边解三角形1.在ABC中，A=120，B=30，a=8，则c=.2.已知在ABC中，c=10，A=45，C=30，求a，b和B.【解题指南】1.先由三角形内角和定理求出角C，再根据正弦定理求c.2.先根据三角形的内角和定理求得角B，由正弦定理求得a，b.,【自主解答】1.因为A+B+C=180，所以C=30.又由正弦定理 得c=答案：2.因为c=10，A=45，C=30.所以B=180-(A+C)=105，由 得 由 得=20sin75=,【规律总结】已知两角和一边解三角形的步骤,【变式训练】若ABC中，a=4，A=45，B=60，则边b的值为()【解析】选C.由正弦定理得，故b=,类型二已知两边及其中一边的对角解三角形1.(2014湖北高考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A=,a=1，b=则B=.2.在ABC中，c=A=45，a=2，求b和B，C.,【解题指南】1.根据正弦定理即可求出角B.2.根据正弦定理求得sinC，根据大边对大角，比较csinA与a，c的大小关系，确定解的情况.,【自主解答】1.依题意，由正弦定理知得出sinB=.由于0B，所以B=或 答案：或,2.因为 所以sinC=因为csinAac，所以C=60或120.当C=60时，B=75，当C=120时，B=15，所以b=+1，B=75，C=60或b=-1，B=15，C=120.,【规律总结】已知两边及其中一边的对角解三角形的步骤(1)由正弦定理求另一边的对角.(2)利用三角形内角和定理求第三个角.(3)再由正弦定理求第三边.,【变式训练】已知ABC中，a=4，b=A=30，则B等于()A.30B.30或150C.60D.60或120【解析】选D.因为 所以sinB=又因为ba，所以BA.所以B=60或120.,类型三判断三角形的形状1.已知a，b，c分别是ABC三个内角A，B，C的对边，且acosA=bcosB，ABC一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形或直角三角形2.在ABC中，已知bsinB=csinC，且sin2A=sin2B+sin2C，试判断三角形的形状.,【解题指南】1.先利用正弦定理将已知条件转化为角的关系，然后借助三角公式即可判断.2.将题设中角之间的关系式转化为边之间的关系，进而判断三角形的形状.,【自主解答】1.选D.由正弦定理得 又因为acosA=bcosB，即 即 所以sinAcosA=sinBcosB，所以sin2A=sin2B.所以2A=2B或2A+2B=，所以A=B或A+B=.所以该三角形为等腰三角形或直角三角形.,2.设=2R(R0)，所以 又因为bsinB=csinC且sin2A=sin2B+sin2C.所以 且 即b2=c2且a2=b2+c2.所以ABC是等腰直角三角形.,【规律总结】判断三角形形状的常用方法判断三角形形状的常用方法是化边为角或化角为边.分以下两步：第一步，将题目中的条件，利用正弦定理化边为角或化角为边，第二步，根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系或三边的关系，进而确定三角形的形状.,【变式训练】在ABC中，若，则ABC是()A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形,【解析】选B.由，得 又，所以 所以，所以sinAcosB=cosAsinB，sin(A-B)=0，A=B.同理B=C.所以ABC是等边三角形.故选B.,