2017年高中数学人教A版选修4-4课件：2.2 圆锥曲线的参数方程.ppt

二圆锥曲线的参数方程,1,2,3,1.椭圆的参数方程中心在原点,焦点在x轴上的椭圆 2 2+2 2=1(ab0)的一个参数方程是=cos,=sin(为参数).通常规定参数的取值范围为0,2).,1,2,3,温馨提示(1)圆的参数方程=cos,=sin(为参数)中的参数是动点M(x,y)的旋转角,但在椭圆的参数方程=cos,=sin(为参数)中的参数不是动点M(x,y)的旋转角,它是点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角(称为点M的离心角),不是OM的旋转角.其中OA,OB分别为以原点O为圆心,a,b为半径的圆的半径.(2)当椭圆的普通方程不是标准形式时,也可以表示为参数方程的形式.如()2 2+()2 2=1(ab0)可表示为=+cos,=+sin(为参数).,1,2,3,做一做1椭圆=cos,=sin(ab0,为参数),若0,2),则椭圆上的点(-a,0)对应的为()A.B.2 C.2D.3 2 答案:A,1,2,3,2.双曲线的参数方程中心在原点,焦点在x轴上的双曲线 2 2 2 2=1(a0,b0)的参数方程是=sec,=tan(为参数).规定参数的取值范围为0,2),且 2,3 2.做一做2双曲线 2 25 2 16=1的参数方程是()A.=25sec,=16tan(为参数)B.=10sec,=8tan(为参数)C.=5sec,=4tan(为参数)D.=4sec,=5tan(为参数)答案:C,3.抛物线的参数方程(1)抛物线y2=2px(p0)的参数方程为=2 2,=2(t为参数,t(-,+).(2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.做一做3抛物线y2=7x的参数方程为()A.=7,=7 2(t为参数)B.=7 2 2,=7 2(t为参数)C.=7 2,=7 2 2(t为参数)D.=7 2,=7(t为参数)答案:D,1,2,3,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一圆的参数方程的应用在求解一些最值问题时,可以用参数方程来表示曲线上点的坐标,利用正弦函数、余弦函数的有界性来解决问题,简化运算过程.另外,利用椭圆的参数方程可以解决一些与椭圆有关的特殊动点的轨迹问题.,探究一,探究二,探究三,探究四,典例提升1在椭圆 2 25+2 16=1中有内接矩形,求内接矩形的最大面积是多少?解:椭圆的参数方程为=5cos,=4sin(t为参数).设第一象限内椭圆上一点M(x,y),由椭圆的对称性,知内接矩形面积为S=4xy=45cos t4sin t=40sin 2t.当t=4 时,面积S取得最大值40,此时x=5cos 4=5 2 2,y=4sin 4=2 2.因此,矩形在第一象限内的顶点坐标为 5 2 2,2 2,此时内接矩形的面积最大,且为40.,探究一,探究二,探究三,探究四,变式训练1求定点(2a,0)和椭圆 2 2+2 2=1(ab0)上各点连线的中点的轨迹方程.解:设椭圆上任意一点A的坐标为(acos,bsin)(为参数),定点(2a,0)与点A的连线的中点为M(x,y),则=2+cos 2,=sin 2(为参数).上述的方程消去参数,得()2 2 4+2 2 4=1.故所求的轨迹方程为()2 2 4+2 2 4=1.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究二曲线的参数方程的应用1.利用双曲线的参数方程可进行三角代换,从而将有关问题转化为三角函数问题求解.2.直线与双曲线位置关系的综合题,可考虑利用双曲线的参数方程设元,再探求解题方法.,探究一,探究二,探究三,探究四,典例提升2如图,设P为等轴双曲线x2-y2=1上的一点,F1,F2是两个焦点,证明:|PF1|PF2|=|OP|2.思路分析:设P sec,tan,证明等式两边等于同一个式子即可.,探究一,探究二,探究三,探究四,证明:设P sec,tan,F1(-2,0),F2(2,0),|PF1|=sec+2 2+ta n 2=2se c 2+2 2 sec+1,|PF2|=sec 2 2+ta n 2=2se c 2 2 2 sec+1.|PF1|PF2|=2se c 2+1 2 8se c 2=2sec2-1.|OP|2=sec2+tan2=2sec2-1,|PF1|PF2|=|OP|2.点评利用圆锥曲线的参数方程证明恒等式,方法简单、明确,有利于掌握应用.,探究一,探究二,探究三,探究四,变式训练2已知圆O:x2+(y-2)2=1上一点P与双曲线x2-y2=1上一点Q,求P,Q两点间的距离的最小值.解:设点Q的坐标为(sec,tan),则|OQ|2=sec2+(tan-2)2=tan2+1+tan2-4tan+4=2(tan-1)2+3.当tan=1时,|OQ|min=3.故|PQ|min=3-1.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究三物线的参数方程的应用利用抛物线的参数方程求动点的轨迹是常见的题型和方法,方法明确,运算简捷,要认真体会并应用.,探究一,探究二,探究三,探究四,典例提升3已知M为抛物线y2=2x上的动点,定点M0(-1,0),点P分线段M0M的比为21,求点P的轨迹方程.解:如图,设M(2t2,2t),P(x,y),点P分线段M0M的比为21,=1+22 2 1+2=1+4 2 3,=0+22 1+2=4 3(t为参数).消去参数t,得y2=4 3 x+4 9,故点P的轨迹方程为y2=4 3 x+4 9.,变式训练3已知A,B,C是抛物线y2=2px(p0)上的三个点,且BC与x轴垂直,直线AB和AC分别与抛物线的轴交于D,E两点,求证:抛物线的顶点O平分线段DE.证明:设点A,B的坐标分别为(2p 1 2,2pt1),(2p 2 2,2pt2),则点C的坐标为(2p 2 2,-2pt2).直线AB的方程为y-2pt1=1 1+2(x-2p 1 2),所以点D的坐标为(-2pt1t2,0).直线AC的方程为y-2pt1=1 1 2(x-2p 1 2),所以点E的坐标为(2pt1t2,0).因为DE的中点为原点(0,0),所以抛物线的顶点O平分线段DE.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,探究四错辨析易错点:混淆的意义而致误典例提升4已知P为椭圆 2 16+2 12=1上一点,且POx=3,求点P的坐标.错解:设点P的坐标为(x,y),如图所示,由椭圆的参数方程得=4cos 3,=2 3 sin 3,即点P的坐标为(2,3).,探究一,探究二,探究三,探究四,错因分析:椭圆=cos,=sin(为参数)和圆=cos,=sin(为参数)中,参数的意义是不同的.在圆的方程中,是圆周上的动点M(x,y)所对应的角xOM,而椭圆方程中的的意义却不是这样的.上述解答把椭圆方程中的意义错混为圆的方程中的意义,从而导致了解答的错误.正解:设|OP|=t,点P的坐标为 cos 3,sin 3,代入椭圆方程得 1 2 2 16+3 2 2 12=1,即t=8 5 5,所以点P的坐标为 4 5 5,4 15 5.,1 2 3 4 5,1.双曲线=sec,=tan(为参数)的渐近线方程为()A.y=2xB.y=xC.y=1 2 xD.x=2 2 解析:x2-y2=sec2-tan2=1,曲线为等轴双曲线.易知所求的渐近线方程为y=x.答案:B,1 2 3 4 5,