2017年全优指导高中数学人教A版选修2-1课件：2.1 曲线与方程.ppt

第二章圆锥曲线与方程,2.1曲线与方程,1.曲线的方程与方程的曲线的定义一般地,在直角坐标系中,如果曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.这个方程就叫做曲线的方程,这条曲线就叫做方程的曲线.,做一做1如果曲线C的方程,点M(a,b),那么点M在曲线C上的充要条件是.解析：点M在曲线C上,那么点M的坐标满足曲线C的方程,于是有,即为点M在曲线C上的充要条件.答案：做一做2方程y=|x|所表示的曲线为()A.一条直线B.两条直线C.一条射线D.两条射线解析：由y=|x|可得y=x(x0)或y=-x(x0),因此该方程所表示的曲线为两条射线.答案：D,2.求曲线方程的一般步骤求曲线的方程,一般有如下步骤:(1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;(2)写出适合条件p的点M的集合P=M|p(M);(3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;(4)化简方程f(x,y)=0为最简形式;(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.,做一做3到两坐标轴的距离之差等于3的点的轨迹为()A.|x|-|y|=3B.|y|-|x|=3C.|x|-|y|=3D.x-y=3解析：设动点为(x,y),则它到x轴、y轴的距离分别为|y|,|x|,依题意有|y|-|x|=3,即|x|-|y|=3.答案：C,3.坐标法与解析几何研究的对象(1)借助坐标系,用坐标表示点,把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹,用曲线上的点的坐标(x,y)所满足的方程f(x,y)=0表示曲线,通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质,这就叫做坐标法.(2)由坐标法研究几何图形的知识所形成的学科叫做解析几何,解析几何研究的主要问题是:根据已知条件,求出表示曲线的方程;通过曲线的方程,研究曲线的性质.,思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)若以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上,则方程f(x,y)=0即为曲线C的方程.()(2)若曲线C上的点满足方程F(x,y)=0,则坐标不满足方程F(x,y)=0的点不在曲线C上.()(3)方程x+y-2=0是以A(2,0),B(0,2)为端点的线段的方程.()(4)在求曲线方程时,对于同一条曲线,建立不同的坐标系,所得到的曲线方程也不一样.()(5)化简方程“|x|=|y|”为“y=x”是恒等变形.()(6)按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验.(),探究一,探究二,探究三,探究一对“曲线的方程”与“方程的曲线”概念的理解【例1】判断下列命题是否正确,并说明理由.(1)到x轴距离为3的点的轨迹方程为y=-3;,分析：根据曲线的方程与方程的曲线的定义进行判断.,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,解：(1)错误.因为到x轴距离为3的点的轨迹方程为|y|=3,不满足完备性.(2)错误.到原点的距离等于4的点的轨迹方程应为x2+y2=16,不满足完备性.(3)正确.由方程,得x=1或y+2=0(x1),因此该方程表示一条直线x=1和一条射线y+2=0(x1).(4)错误.点(4,0)在方程x2+y2=16(x0)表示的曲线上,但点(-2,2)不在该曲线上.,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,变式训练1判断下列命题是否正确,并说明理由:(1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x=3;(2)ABC的顶点A(0,-3),B(1,0),C(-1,0),D为BC中点,则中线AD的方程为x=0;(3)方程(x+y-1)=0表示的是一条直线和一个圆.解：(1)正确.满足曲线方程的定义,故结论正确.(2)错误.因为中线AD是一条线段,而不是直线,所以其方程应为x=0(-3y0),故结论错误.(3)错误.由方程可得x2+y2=4或x+y-1=0(x2+y24),所以该方程表示的是一个圆或两条射线.,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究二曲线与方程关系的应用【例2】已知方程x2+4x-1=y.(1)判断点P(-1,-4),Q(-3,2)是否在此方程表示的曲线上;(2)若点M 在此方程表示的曲线上,求实数m的值;(3)求该方程表示的曲线与曲线y=2x+7的交点的坐标.分析：对于(1)和(2),可将点的坐标代入曲线方程进行判断和求解;对于(3),可通过解方程组求得交点坐标.解：(1)因为(-1)2+4(-1)-1=-4,(-3)2+4(-3)-12,所以点P坐标适合方程,点Q坐标不适合方程,即点P在曲线上,点Q不在曲线上.,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,变式训练2(1)若直线x-2y-2k=0与y=x+k的交点在曲线x2+y2=25上,则k的值是()A.1B.-1C.1或-1D.以上都不对(2)已知方程xy+3x+ky+2=0表示的曲线经过点(2,-1),则k的值等于.解析：(1)联立得方程组解得交点为(-4k,-3k),代入圆的方程中,即(-4k)2+(-3k)2=25,所以k=1.(2)依题意有2(-1)+32+k(-1)+2=0,解得k=6.答案：(1)C(2)6,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究三直接法求动点的轨迹方程【例3】已知点M到x轴的距离和点M与点F(0,4)的距离相等,求点M的轨迹方程.分析：由题意知已经建立了直角坐标系,因此只需设出点M的坐标,套用两点间距离公式根据条件建立等式即可.解：设动点M的坐标为(x,y),且点M到x轴的距离为d,则d=|y|.,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,变式训练3导学号03290020一个动点到直线x=8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍,求动点的轨迹方程.解：设动点P坐标为(x,y),则动点P到直线x=8的距离d=|x-8|,化简得3x2+4y2=48.故动点的轨迹方程为3x2+4y2=48.,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究四代入法(相关点法)求动点轨迹方程【例4】已知圆O:x2+y2=4,点A(-3,5),点M在圆O上移动,且点P满足,求点P的轨迹方程.分析：点P与点M有关,点M是点P的相关点,只需找到点P与点M的坐标之间的关系即可求得点P的轨迹方程.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练4已知动点P在曲线2x2-y=0上移动,则点A(0,-1)与点P连线中点M的轨迹方程是()A.y=2x2B.y=8x2C.2y=8x2-1D.2y=8x2+1解析：设点M坐标为(x,y),点P坐标为(x0,y0),则2 0 2-y0=0.因为M为AP的中点,代入式得2(2x)2-(2y+1)=0,即2y=8x2-1.答案：C,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,求动点轨迹方程时对动点满足的条件考虑不全致误典例导学号03290021在ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a,c,b成等差数列,acb,|AB|=2,试求顶点C的轨迹方程.错解以直线AB为x轴,线段AB的中点为原点,建立直角坐标系(如图),则A(-1,0),B(1,0),设C(x,y).因为a,c,b成等差数列,所以a+b=2c,即|AC|+|BC|=2|AB|,化简整理得3x2+4y2=12.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,正解以直线AB为x轴,线段AB的中点为原点,建立直角坐标系(如图),则A(-1,0),B(1,0),设C(x,y).因为a,c,b成等差数列,所以a+b=2c,即|AC|+|BC|=2|AB|,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练若ABC的边AB是定长2a,边BC的中线为定长m,则顶点C的轨迹方程为.解析：取AB的中点O为原点,直线AB为x轴,建立直角坐标系(如图),则A(-a,0),B(a,0).化简得(x+3a)2+y2=4m2.又点C在直线AB上时不能组成三角形,故y0,因此顶点C的轨迹方程是(x+3a)2+y2=4m2(y0).答案：(x+3a)2+y2=4m2(y0)(答案不唯一),1 2 3 4 5,1.方程x2+xy=x所表示的图形是()A.一个点B.一条直线C.两条直线D.一个点和一条直线解析：原方程等价于x(x+y-1)=0 x=0或x+y-1=0,故原方程所表示的图形是两条直线.答案：C,1 2 3 4 5,2.若方程x-2y-2k=0与2x-y-k=0所表示的两条直线的交点在方程x2+y2=9的曲线上,则k等于()A.3B.0C.2D.一切实数解析：两直线的交点为(0,-k),由已知点(0,-k)在曲线x2+y2=9上,故可得k2=9,故k=3.答案：A,1 2 3 4 5,3.动点在曲线x2+y2=1上移动时,它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是()A.(x+3)2+y2=4B.(x-3)2+y2=1C.(2x-3)2+4y2=1D.解析：设点P坐标为(x,y),曲线上对应点为(x1,y1),所以x1=2x-3,y1=2y.因为(x1,y1)在曲线x2+y2=1上,所以,故(2x-3)2+(2y)2=1,即(2x-3)2+4y2=1.答案：C,1 2 3 4 5,4.在平面直角坐标系xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足,则点P的轨迹方程是.解析：=(x,y)(1,2)=x+2y=4,x+2y=4,即为所求轨迹方程.答案：x+2y=4,1 2 3 4 5,