第2课时 垂径定理.pptx

第3章 圆的基本性质,3.3 垂径定理,第2课时 垂径定理(2),经历探索垂径定理的推论的过程，掌握垂径定理的推论学会运用垂径定理的推论解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题,我国历史上著名的赵州桥建于隋大业(公元605618)年间，桥长64.40m，是现存世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩型石拱桥.你知道怎样确定桥拱圆弧的半径吗？,r,垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.,反过来，平分弦的直径一定垂直于这条弦吗？平分弧的直径一定垂直于弧所对的弦吗？,请在白纸上画一个以点O为圆心，OA为半径的圆，在O上任意画出一条弦CD(不是直径).,探索一,A,C,D,找到弦CD的中点E；过点E作O的直径MN；测量MED的度数.,M,N,MED=90，即MNCD.,如果弦CD是直径呢？,当弦CD是直径时，平分弦的直径不一定垂直于这条弦.,C,D,M,N,M1,N1,M2,N2,垂径定理的推论1：,平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.,几何语言：在O中，CD是直径，弦AB不是直径，且 AE=BE，CDAB，=，=.,你能对垂径定理的推论1进行证明吗？,试一试,解：已知：如图，O的直径CD交弦AB(不是直径)于点P，AP=BP.求证：CDAB，AC=BC.,证明：连结OA，OB.则AO=BO.AOB是等腰三角形，PA=PB，CDAB，AC=BC(垂直于弦的直径平分弦所对的弧).,请在白纸上画一个以点O为圆心，OA为半径的圆，在O上任意找出一段弧CD，连结CD.,A,C,D,找到弧CD的中点E；过点E作O的直径EF，交弦CD于点P；测量FPD的度数.,FPD=90，即EFCD.,F,探索二,垂径定理的推论2：,平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.,几何语言：在O中，=，CD是直径，CDAB，AE=BE.,你能对垂径定理的推论2进行证明吗？,试一试,解：已知：如图，O的直径CD交弦AB于点P，AC=BC.求证：CDAB，AP=BP.证明：如图，当 AC=BC 时，将图形沿直径CD所在的直线对折，则 AC 与 BC 重合.,所以点A与点B重合，即A，B关于直线CD对称，所以CD垂直平分弦AB，这就证明了推论2.,思考,比较垂径定理、推论1、推论2的条件和结论，你发现了什么？,垂径定理及其推论可以看成由五个事项构成：两条弦互相垂直；一条弦经过圆心；一条弦(不是直径)被平分；平分弦所对的一条弧；平分弦所对的另一条弧.这五个事项中，已知其中任意两个，必然能推出其余的三个.,例题 已知赵州桥的跨径(桥拱圆弧所对的弦的长)为37.02m，拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥的桥拱圆弧的半径(精确到0.1m),解：如图，用 AB 表示桥拱圆弧，设 AB 所在圆圆心为O，半径为R(m).C为 AB 的中点，连结OC，交AB于点D，就有OC垂直平分AB.所以CD就是拱高.,R,A,B,D,由题意，得 AB=37.02m，CD=7.23m，AD=1 2 AB=1 2 37.02=18.51(m)，OD=OC-DC=(R-7.23)(m)，在RtOAD中，OA2=AD2+OD2，R2=18.512+(R-7.23)2，解这个方程，得R27.3.答：赵州桥的桥拱圆弧的半径约为27.3 m.,解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.,C,D,E,1.判断下列说法是否正确.垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧.()弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心.()圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分.()平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.()圆内两条非直径的弦不能互相平分.()平分弧的直线，平分这条弧所对的弦.(),2.已知：O中弦AB弦CD，求证：AC=BD.,证明：作直径MNAB.ABCD，MNCD.AM=BM，CM=DM(垂直于弦的直径平分弦所对的弧)，AM CM=BM DM，AC=BD.,M,N,拓展探究,某一条公路隧道的形状如图所示，半圆拱的圆心距离地面2m，半径为1.5m.一辆高3m，宽2.3m的集装箱卡车能顺利通过这个隧道吗？如果要使高度不超过4m，宽为2.3m的大货车也能顺利通过这个隧道，且不改变圆心到地面的距离，半圆拱的半径至少为多少米？,解：如图所示：连结OA，作OCAB，假设一辆高3m，宽2.3m的集装箱卡车能顺利通过这个隧道，此时OC=3-2=1，在直角AOC中，AC=.=，所以AB=2OC=2.3，故一辆高3m，宽2.3m的集装箱卡车不能顺利通过这个隧道；,O,A,B,C,当高度4m，宽为2.3m的大货车正好能顺利通过这个隧道时，OC=4-2=2(m)，AC=.=1.15(m)，则OA=+=.+=(m)答：半圆拱的半径至少为 米,垂径定理的两个推论：推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.,感谢观看！,