专题13平面解析几何选择填空题（解析版）.docx

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=sinαcosβ+cosαsinβ=45×bc+35×ac=3a+4b5c， 由正弦定理得2csinα=NF2sinβ=NF1sin∠F1F2N=5c2， 所以NF1=5c2sin∠F1F2N=5c2×3a+4b5c=3a+4b2，NF2=5c2sinβ=5c2×ac=5a2 又NF1−NF2=3a+4b2−5a2=4b−2a2=2a， 所以2b=3a，即ba=32， 所以双曲线的离心率e=ca=1+b2a2=132 故选：C 4．【2021年全国甲卷理科5】已知F1,F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为（ ） A．72 B．132 C．7 D．13 【答案】A 因为|PF1|=3|PF2|，由双曲线的定义可得|PF1|−|PF2|=2|PF2|=2a， 所以|PF2|=a，|PF1|=3a； 因为∠F1PF2=60°,由余弦定理可得4c2=9a2+a2−2×3a⋅a⋅cos60°， 整理可得4c2=7a2，所以e2=c2a2=74，即e=72. 故选：A 5．【2021年新高考1卷5】已知F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|⋅|MF2|的最大值为（ ） A．13 B．12 C．9 D．6 【答案】C 由题，a2=9,b2=4，则|MF1|+|MF2|=2a=6， 所以|MF1|⋅|MF2|≤(|MF1|+|MF2|2)2=9（当且仅当|MF1|=|MF2|=3时，等号成立）． 故选：C． 6．【2021年全国乙卷理科11】设B是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是（ ） A．[22,1) B．[12,1) C．(0,22] D．(0,12] 【答案】C 设P(x0,y0)，由B(0,b)，因为x02a2+y02b2=1，a2=b2+c2，所以 |PB|2=x02+(y0−b)2=a2(1−y02b2)+(y0−b)2=−c2b2(y0+b3c2)2+b4c2+a2+b2， 因为−b≤y0≤b，当−b3c2≤−b，即b2≥c2时，|PB|max2=4b2，即|PB|max=2b，符合题意，由b2≥c2可得a2≥2c2，即0<e≤22； 当−b3c2>−b，即b2<c2时，|PB|max2=b4c2+a2+b2，即b4c2+a2+b2≤4b2，化简得，(c2−b2)2≤0，显然该不等式不成立． 故选：C． 7．【2021年新高考2卷3】抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为2，则p=（ ） A．1 B．2 C．22 D．4 【答案】B 抛物线的焦点坐标为(p2,0)， 其到直线x−y+1=0的距离：d=|p2−0+1|1+1=2， 解得：p=2(p=−6舍去). 故选：B. 8．【2020年全国1卷理科04】已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【解析】 设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知|AF|=xA+p2=12，即12=9+p2，解得p=6. 故选：C. 9．【2020年全国1卷理科11】已知⊙M：x2+y2−2x−2y−2=0，直线l：2x+y+2=0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA,PB，切点为A,B，当|PM|⋅|AB|最小时，直线AB的方程为（ ） A．2x−y−1=0 B．2x+y−1=0 C．2x−y+1=0 D．2x+y+1=0 【答案】D 【解析】 圆的方程可化为x−12+y−12=4，点M到直线l的距离为d=2×1+1+222+12=5>2，所以直线l与圆相离． 依圆的知识可知，四点A,P,B,M四点共圆，且AB⊥MP，所以PM⋅AB=2S△PAM=2×12×PA×AM=2PA，而PA=MP2−4， 当直线MP⊥l时，MPmin=5，PAmin=1，此时PM⋅AB最小． ∴MP:y−1=12x−1即y=12x+12，由y=12x+122x+y+2=0解得，x=−1y=0． 所以以MP为直径的圆的方程为x−1x+1+yy−1=0，即x2+y2−y−1=0， 两圆的方程相减可得：2x+y+1=0，即为直线AB的方程． 故选：D. 10．【2020年全国2卷理科05】若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x−y−3=0的距离为（ ） A．55 B．255 C．355 D．455 【答案】B 【解析】 由于圆上的点2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为a,a，则圆的半径为a， 圆的标准方程为x−a2+y−a2=a2. 由题意可得2−a2+1−a2=a2， 可得a2−6a+5=0，解得a=1或a=5， 所以圆心的坐标为1,1或5,5， 圆心到直线2x−y−3=0的距离均为d=−25=255； 所以，圆心到直线2x−y−3=0的距离为255. 故选：B. 11．【2020年全国2卷理科08】设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（ ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【解析】 ∵C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)， ∴双曲线的渐近线方程是y=±bax ∵直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点 不妨设D为在第一象限，E在第四象限 联立x=ay=bax，解得x=ay=b 故D(a,b) 联立x=ay=−bax，解得x=ay=−b 故E(a,−b) ∴|ED|=2b， ∴△ODE面积为：S△ODE=12a×2b=ab=8 ∵双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) ∴其焦距为2c=2a2+b2≥22ab=216=8 当且仅当a=b=22取等号 ∴C的焦距的最小值：8 故选：B. 12．【2020年全国3卷理科05】设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y2=2pxp>0交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（ ） A．14,0 B．12,0 C．(1,0) D．(2,0) 【答案】B 【解析】 因为直线x=2与抛物线y2=2px(p>0)交于E,D两点，且OD⊥OE， 根据抛物线的对称性可以确定∠DOx=∠EOx=π4，所以D2,2， 代入抛物线方程4=4p，求得p=1，所以其焦点坐标为(12,0)， 故选：B. 13．【2020年全国3卷理科11】设双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【解析】 ∵ca=5，∴c=5a，根据双曲线的定义可得PF1−PF2=2a， S△PF1F2=12|PF1|⋅PF2=4，即|PF1|⋅PF2=8， ∵F1P⊥F2P，∴|PF1|2+PF22=2c2， ∴PF1−PF22+2PF1⋅PF2=4c2，即a2−5a2+4=0，解得a=1， 故选：A. 14．【2019年新课标3理科10】双曲线C：x24−y22=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为（　　） A．324 B．322 C．22 D．32 【答案】解：双曲线C：x24−y22=1的右焦点为F（6，0），渐近线方程为：y=±22x，不妨P在第一象限， 可得tan∠POF=22，P（62，32）， 所以△PFO的面积为：12×6×32=324． 故选：A． 15．【2019年全国新课标2理科08】若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆x23p+y2p=1的一个焦点，则p＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】解：由题意可得：3p﹣p＝（p2）2，解得p＝8． 故选：D． 16．【2019年全国新课标2理科11】设F为双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为（　　） A．2 B．3 C．2 D．5 【答案】解：如图， 由题意，把x=c2代入x2+y2＝a2，得PQ=2a2−c24， 再由|PQ|＝|OF|，得2a2−c24=c，即2a2＝c2， ∴c2a2=2，解得e=ca=2． 故选：A． 17．【2019年新课标1理科10】已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（　　） A．x22+y2＝1 B．x23+y22=1 C．x24+y23=1 D．x25+y24=1 【答案】解：∵|AF2|＝2|BF2|，∴|AB|＝3|BF2|， 又|AB|＝|BF1|，∴|BF1|＝3|BF2|， 又|BF1|+|BF2|＝2a，∴|BF2|=a2， ∴|AF2|＝a，|BF1|=32a， 在Rt△AF2O中，cos∠AF2O=1a， 在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1=4+(a2)2−(32a)22×2×a2， 根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1＝0，可得1a+4−2a22a=0，解得a2＝3，∴a=3． b2＝a2﹣c2＝3﹣1＝2． 所以椭圆C的方程为：x23+y22=1． 故选：B． 18．【2018年新课标1理科08】设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则FM→•FN→=（　　　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），过点（﹣2，0）且斜率为23的直线为：3y＝2x+4， 联立直线与抛物线C：y2＝4x，消去x可得：y2﹣6y+8＝0， 解得y1＝2，y2＝4，不妨M（1，2），N（4，4），FM→=(0，2)，FN→=(3，4)． 则FM→•FN→=（0，2）•（3，4）＝8． 故选：D． 19．【2018年新课标1理科11】已知双曲线C：x23−y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|＝（　　　　） A．32 B．3 C．23 D．4 【答案】解：双曲线C：x23−y2＝1的渐近线方程为：y=±33x，渐近线的夹角为：60°，不妨设过F（2，0）的直线为：y=3(x−2)， 则：y=−33xy=3(x−2)解得M（32，−32）， y=33xy=3(x−2)解得：N（3，3）， 则|MN|=(3−32)2+(3+32)2=3． 故选：B． 20．【2018年新课标2理科05】双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的离心率为3，则其渐近线方程为（　　　　） A．y＝±2x B．y＝±3x C．y＝±22x D．y＝±32x 【答案】解：∵双曲线的离心率为e=ca=3， 则ba=b2a2=c2−a2a2=(ca)2−1=3−1=2， 即双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±2x， 故选：A． 21．【2018年新课标2理科12】已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为（　　　　） A．23 B．12 C．13 D．14 【答案】解：由题意可知：A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0）， 直线AP的方程为：y=36（x+a）， 由∠F1F2P＝120°，|PF2|＝|F1F2|＝2c，则P（2c，3c）， 代入直线AP：3c=36（2c+a），整理得：a＝4c， ∴题意的离心率e=ca=14． 故选：D． 22．【2018年新课标3理科06】直线x+y+2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是（　　　　） A．[2，6] B．[4，8] C．[2，32] D．[22，32] 【答案】解：∵直线x+y+2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点， ∴令x＝0，得y＝﹣2，令y＝0，得x＝﹣2， ∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|=4+4=22， ∵点P在圆（x﹣2）2+y2＝2上，∴设P（2+2cosθ，2sinθ）， ∴点P到直线x+y+2＝0的距离： d=|2+2cosθ+2sinθ+2|2=|2sin(θ+π4)+4|2， ∵sin（θ+π4）∈[﹣1，1]，∴d=|2sin(θ+π4)+4|2∈[2，32]， ∴△ABP面积的取值范围是： [12×22×2，12×22×32]＝[2，6]． 故选：A． 23．【2018年新课标3理科11】设F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=6|OP|，则C的离心率为（　　　　） A．5 B．2 C．3 D．2 【答案】解：双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0．b＞0）的一条渐近线方程为y=bax， ∴点F2到渐近线的距离d=bca2+b2=b，即|PF2|＝b， ∴|OP|=|OF2|2−|PF2|2=c2−b2=a，cos∠PF2O=bc， ∵|PF1|=6|OP|， ∴|PF1|=6a， 在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2＝|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|COS∠PF2O， ∴6a2＝b2+4c2﹣2×b×2c×bc=4c2﹣3b2＝4c2﹣3（c2﹣a2）， 即3a2＝c2， 即3a＝c， ∴e=ca=3， 故选：C． 24．【2017年新课标1理科10】已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（　　　　） A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点， 直线l2与C交于D、E两点， 要使|AB|+|DE|最小， 则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1， 又直线l2过点（1，0）， 则直线l2的方程为y＝x﹣1， 联立方程组y2=4xy=x−1，则y2﹣4y﹣4＝0， ∴y1+y2＝4，y1y2＝﹣4， ∴|DE|=1+1k2•|y1﹣y2|=2×32=8， ∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|＝16， 方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为 π2+θ， 根据焦点弦长公式可得|AB|=2psin2θ=4sin2θ |DE|=2psin2(π2+θ)=2pcos2θ=4cos2θ ∴|AB|+|DE|=4sin2θ+4cos2θ=4sin2θcos2θ=16sin22θ， ∵0＜sin22θ≤1， ∴当θ＝45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16， 故选：A． 25．【2017年新课标2理科09】若双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为（　　　　） A．2 B．3 C．2 D．233 【答案】解：双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay＝0， 圆（x﹣2）2+y2＝4的圆心（2，0），半径为：2， 双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝4所截得的弦长为2， 可得圆心到直线的距离为：22−12=3=|2b|a2+b2， 解得：4c2−4a2c2=3，可得e2＝4，即e＝2． 故选：A． 26．【2017年新课标3理科05】已知双曲线C：x2a2−y2b2=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=52x，且与椭圆x212+y23=1有公共焦点，则C的方程为（　　　　） A．x28−y210=1 B．x24−y25=1 C．x25−y24=1 D．x24−y23=1 【答案】解：椭圆x212+y23=1的焦点坐标（±3，0）， 则双曲线的焦点坐标为（±3，0），可得c＝3， 双曲线C：x2a2−y2b2=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=52x， 可得ba=52，即c2−a2a2=54，可得ca=32，解得a＝2，b=5， 所求的双曲线方程为：x24−y25=1． 故选：B． 27．【2017年新课标3理科10】已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab＝0相切，则C的离心率为（　　　　） A．63 B．33 C．23 D．13 【答案】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab＝0相切， ∴原点到直线的距离2aba2+b2=a，化为：a2＝3b2． ∴椭圆C的离心率e=ca=1−b2a2=63． 故选：A． 28．【2016年新课标1理科05】已知方程x2m2+n−y23m2−n=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（　　） A．（﹣1，3） B．（﹣1，3） C．（0，3） D．（0，3） 【答案】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c＝2， 当焦点在x轴上时， 可得：4＝（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2＝1， ∵方程x2m2+n−y23m2−n=1表示双曲线， ∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0， 解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）． 当焦点在y轴上时， 可得：﹣4＝（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2＝﹣1， 无解． 故选：A． 29．【2016年新课标1理科10】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】解：设抛物线为y2＝2px，如图：|AB|＝42，|AM|＝22， |DE|＝25，|DN|=5，|ON|=p2， xA=(22)22p=4p， |OD|＝|OA|， 16p2+8=p24+5， 解得：p＝4． C的焦点到准线的距离为：4． 故选：B． 30．【2016年新课标2理科04】圆x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圆心到直线ax+y﹣1＝0的距离为1，则a＝（　　　　） A．−43 B．−34 C．3 D．2 【答案】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圆心坐标为：（1，4）， 故圆心到直线ax+y﹣1＝0的距离d=|a+4−1|a2+1=1， 解得：a=−43， 故选：A． 31．【2016年新课标2理科11】已知F1，F2是双曲线E：x2a2−y2b2=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=13，则E的离心率为（　　　　） A．2 B．32 C．3 D．2 【答案】解：由题意，M为双曲线左支上的点， 则丨MF1丨=b2a，丨MF2丨=4c2+(b2a)2， ∴sin∠MF2F1=13，∴b2a4c2+b4a2=13， 可得：2b4＝a2c2，即2b2＝ac，又c2＝a2+b2， 可得2e2﹣e−2=0， e＞1，解得e=2． 故选：A． 32．【2016年新课标3理科11】已知O为坐标原点，F是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（　　　　） A．13 B．12 C．23 D．34 【答案】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0）， 设直线AE的方程为y＝k（x+a）， 令x＝﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x＝0，可得E（0，ka）， 设OE的中点为H，可得H（0，ka2）， 由B，H，M三点共线，可得kBH＝kBM， 即为ka2−a=k(a−c)−c−a， 化简可得a−ca+c=12，即为a＝3c， 可得e=ca=13． 另解：由△AMF∽△AEO， 可得a−ca=MFOE， 由△BOH∽△BFM， 可得aa+c=OHFM=OE2FM， 即有2(a−c)a=a+ca即a＝3c， 可得e=ca=13． 故选：A． 33．【2015年新课标1理科05】已知M（x0，y0）是双曲线C：x22−y2=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若MF1→⋅MF2→＜0，则y0的取值范围是（　　　　） A．(−33，33) B．(−36，36) C．(−223，223) D．(−233，233) 【答案】解：由题意，MF1→⋅MF2→=（−3−x0，﹣y0）•（3−x0，﹣y0）＝x02﹣3+y02＝3y02﹣1＜0， 所以−33＜y0＜33． 故选：A． 34．【2015年新课标2理科07】过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝（　　　　） A．26 B．8 C．46 D．10 【答案】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，则1+9+D+3E+F=016+4+4D+2E+F=01+49+D−7E+F=0， ∴D＝﹣2，E＝4，F＝﹣20， ∴x2+y2﹣2x+4y﹣20＝0， 令x＝0，可得y2+4y﹣20＝0， ∴y＝﹣2±26， ∴|MN|＝46． 故选：C． 35．【2015年新课标2理科11】已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（　　　　） A．5 B．2 C．3 D．2 【答案】解：设M在双曲线x2a2−y2b2=1的左支上， 且MA＝AB＝2a，∠MAB＝120°， 则M的坐标为（﹣2a，3a）， 代入双曲线方程可得， 4a2a2−3a2b2=1， 可得a＝b， c=a2+b2=2a， 即有e=ca=2． 故选：D． 36．【2014年新课标1理科04】已知F为双曲线C：x2﹣my2＝3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（　　　　） A．3 B．3 C．3m D．3m 【答案】解：双曲线C：x2﹣my2＝3m（m＞0）可化为x23m−y23=1， ∴一个焦点为（3m+3，0），一条渐近线方程为x+my=0， ∴点F到C的一条渐近线的距离为3m+31+m=3． 故选：A． 37．【2014年新课标1理科10】已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP→=4FQ→，则|QF|＝（　　　　） A．72 B．3 C．52 D．2 【答案】解：设Q到l的距离为d，则|QF|＝d， ∵FP→=4FQ→， ∴|PQ|＝3d， ∴不妨设直线PF的斜率为−22dd=−22， ∵F（2，0）， ∴直线PF的方程为y＝﹣22（x﹣2）， 与y2＝8x联立可得x＝1， ∴|QF|＝d＝1+2＝3， 故选：B． 38．【2014年新课标2理科10】设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（　　　　） A．334 B．938 C．6332 D．94 【答案】解：由y2＝2px，得2p＝3，p=32， 则F（34，0）． ∴过A，B的直线方程为y=33（x−34）， 即x=3y+34． 联立 y2=3xx=3y+34，得4y2﹣123y﹣9＝0． 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则y1+y2＝33，y1y2=−94． ∴S△OAB＝S△OAF+S△OFB=12×34|y1﹣y2|=38(y1+y2)2−4y1y2=38×(33)2+9=94． 故选：D． 39．【2013年新课标1理科04】已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的离心率为52，则C的渐近线方程为（　　　　） A．y=±14x B．y=±13x C．y＝±x D．y=±12x 【答案】解：由双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）， 则离心率e=ca=a2+b2a=52，即4b2＝a2， 故渐近线方程为y＝±bax=±12x， 故选：D． 40．【2013年新课标1理科10】已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（　　　　） A．x245+y236=1 B．x236+y227=1 C．x227+y218=1 D．x218+y29=1 【答案】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）， 代入椭圆方程得x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1， 相减得x12−x22a2+y12−y22b2=0， ∴x1+x2a2+y1−y2x1−x2⋅y1+y2b2=0． ∵x1+x2＝2，y1+y2＝﹣2，kAB=y1−y2x1−x2=−1−01−3=12． ∴2a2+12×−2b2=0， 化为a2＝2b2，又c＝3=a2−b2，解得a2＝18，b2＝9． ∴椭圆E的方程为x218+y29=1． 故选：D． 41．【2013年新课标2理科11】设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（　　　　） A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x 【答案】解：∵抛物线C方程为y2＝2px（p＞0）， ∴焦点F坐标为（p2，0），可得|OF|=p2， ∵以MF为直径的圆过点（0，2）， ∴设A（0，2），可得AF⊥AM， Rt△AOF中，|AF|=22+(p2)2=4+p24， ∴sin∠OAF=|OF||AF|=p24+p24， ∵根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点， ∴∠OAF＝∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF=|AF||MF|=p24+p24， ∵|MF|＝5，|AF|=4+p24 ∴4+p245=p24+p24，整理得4+p24=5p2，解之可得p＝2或p＝8 因此，抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x． 故选：C． 方法二： ∵抛物线C方程为y2＝2px（p＞0），∴焦点F（p2，0）， 设M（x，y），由抛物线性质|MF|＝x+p2=5，可得x＝5−p2， 因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为5−p2+p22=52， 由已知圆半径也为52，据此可知该圆与y轴相切于点（0，2），故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4， 即M（5−p2，4），代入抛物线方程得p2﹣10p+16＝0，所以p＝2或p＝8． 所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x． 故选：C． 42．【2022年新高考1卷11】已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上，过点B(0,−1)的直线交C于P，Q两点，则（       ） A．C的准线为y=−1 B．直线AB与C相切 C．|OP|⋅|OQ|>|OA2 D．|BP|⋅|BQ|>|BA|2 【答案】BCD 【解析】 将点A的代入抛物线方程得1=2p，所以抛物线方程为x2=y，故准线方程为y=−14，A错误； kAB=1−(−1)1−0=2，所以直线AB的方程为y=2x−1， 联立y=2x−1x2=y，可得x2−2x+1=0，解得x=1，故B正确； 设过B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点， 所以，直线l的斜率存在，设其方程为y=kx−1，P(x1,y1),Q(x2,y2)， 联立y=kx−1x2=y，得x2−kx+1=0， 所以Δ=k2−4>0x1+x2=kx1x2=1，所以k>2或k<−2，y1y2=(x1x2)2=1， 又|OP|=x12+y12=y1+y12，|OQ|=x22+y22=y2+y22， 所以|OP|⋅|OQ|=y1y2(1+y1)(1+y2)=kx1×kx2=|k|>2=|OA|2，故C正确； 因为|BP|=1+k2|x1|，|BQ|=1+k2|x2|， 所以|BP|⋅|BQ|=(1+k2)|x1x2|=1+k2>5，而|BA|2=5，故D正确. 故选：BCD 43．【2022年新高考2卷10】已知O为坐标原点，过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p,0)，若|AF|=|AM|，则（       ） A．直线AB的斜率为26 B．|OB|=|OF| C．|AB|>4|OF| D．∠OAM+∠OBM<180° 【答案】ACD 【解析】 对于A，易得F(p2,0)，由AF=AM可得点A在FM的垂直平分线上，则A点横坐标为p2+p2=3p4， 代入抛物线可得y2=2p⋅3p4=32p2，则A(3p4,6p2)，则直线AB的斜率为6p23p4−p2=26，A正确； 对于B，由斜率为26可得直线AB的方程为x=12 6y+p2，联立抛物线方程得y2−16py−p2=0， 设B(x1,y1)，则62p+y1=66p，则y1=−6p3，代入抛物线得−6p32=2p⋅x1，解得x1=p3，则B(p3,−6p3)， 则OB=p32+−6p32=7p3≠OF=p2，B错误； 对于C，由抛物线定义知：AB=3p4+p3+p=25p12>2p=4OF，C正确； 对于D，OA⋅OB=(3p4,6p2)⋅(p3,−6p3)=3p4⋅p3+6p2⋅−6p3=−3p24<0，则∠AOB为钝角， 又MA⋅MB=(−p4,6p2)⋅(−2p3,−6p3)=−p4⋅−2p3+6p2⋅−6p3=−5p26<0，则∠AMB为钝角， 又∠AOB+∠AMB+∠OAM+∠OBM=360∘，则∠OAM+∠OBM<180∘，D正确. 故选：ACD. 44．【2021年新高考1卷11】已知点P在圆(x−5)2+(y−5)2=16上，点A(4,0)、B(0,2)，则（ ） A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2 C．当∠PBA最小时，|PB|=32 D．当∠PBA最大时，|PB|=32 【答案】ACD 圆(x−5)2+(y−5)2=16的圆心为M(5,5)，半径为4， 直线AB的方程为x4+y2=1，即x+2y−4=0， 圆心M到直线AB的距离为|5+2×5−4|12+22=115=1155>4， 所以，点P到直线AB的距离的最小值为1155−4<2，最大值为1155+4<10，A选项正确，B选项错误； 如下图所示： 当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP、BM，可知PM⊥PB， |BM|=(0−5)2+(2−5)2=34，|MP|=4，由勾股定理可得|BP|=|BM|2−|MP|2=32，CD选项正确. 故选：ACD. 45．【2021年新高考2卷11】已知直线l:ax+by−r2=0与圆C:x2+y2=r2，点A(a,b)，则下列说法正确的是（ ） A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 【答案】ABD 圆心C(0,0)到直线l的距离d=r2a2+b2， 若点A(a,b)在圆C上，则a2+b2=r2，所以d=r2a2+b2=|r|， 则直线l与圆C相切，故A正确； 若点A(a,b)在圆C内，则a2+b2<r2，所以d=r2a2+b2>|r|， 则直线l与圆C相离，故B正确； 若点A(a,b)在圆C外，则a2+b2>r2，所以d=r2a2+b2<|r|， 则直线l与圆C相交，故C错误； 若点A(a,b)在直线l上，则a2+b2−r2=0即a2+b2=r2， 所以d=r2a2+b2=|r|，直线l与圆C相切，故D正确. 故选：ABD. 46．【2020年山东卷09】已知曲线C:mx2+ny2=1.（ ） A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若m=n>0，则C是圆，其半径为n C．若mn<0，则C是双曲