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专题06 立体几何(解答题)(文)(全国通用)(解析版).docx
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专题06 立体几何解答题文全国通用解析版 专题 06 立体几何 解答 全国 通用 解析
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 专题06 立体几何(解答题)(文) 知识点目录 知识点1:线面角 知识点2:直接法求体积问题 知识点3:换底法求体积问题 知识点4:割补法求体积问题 知识点5:距离及几何体的高问题 近三年高考真题 知识点1:线面角 1.(2023•甲卷(理))在三棱柱中,,底面,,到平面的距离为1. (1)求证:; (2)若直线与距离为2,求与平面所成角的正弦值. 【解析】(1)证明:取的中点,连接, 底面,底面, ,,, 底面,底面, ,,, ,平面, 平面,平面平面, 到平面的距离为1, 到的距离为1, , ; (2)过作交的延长线与,连接, 取的中点,连接, 四边形为平行四边形, 平面, ,平面, 平面, , , 为直线与距离, ,, 由(1)可知平面, 为与平面所成角的角, 易求得, , ,, . 与平面所成角的正弦值为. 【点评】本题考查线线相等的证明,考查线面角的求法,属中档题. 2.(2021•上海)如图,在长方体中,已知,. (1)若是棱上的动点,求三棱锥的体积; (2)求直线与平面的夹角大小. 【解析】(1)如图,在长方体中,; (2)连接, , 四边形为正方形,则, 又,, 平面, 直线与平面所成的角为, . 直线与平面所成的角为. 【点评】本题考查三棱锥体积的求法,考查线面角的求解,考查推理能力及运算能力,属于中档题. 知识点2:直接法求体积问题 3.(2023•乙卷(文))如图,在三棱锥中,,,,,,,的中点分别为,,,点在上,. (1)求证:平面; (2)若,求三棱锥的体积. 【解析】 (1)证明:在中,作,垂足为,设,则, 因为,所以,所以,即,解得, 又因为,所以,且, 所以,所以,即,解得, 即,所以是的中点,是的中点, 又因为是的中点,所以,同理,,所以, 又因为平面,平面, 所以平面; (2)过作垂直的延长线交于点,因为,是中点,所以,在中,,,所以, 因为,,所以,又,,平面,所以平面, 又平面,所以, 又,,平面, 所以平面,即三棱锥的高为, 因为,所以, 所以, 的面积为, 所以三棱锥的体积为. 【点评】本题考查了直线与平面平行的应用问题,也考查了几何体体积计算问题,是中档题. 4.(2022•乙卷(文))如图,四面体中,,,,为的中点. (1)证明:平面平面; (2)设,,点在上,当的面积最小时,求三棱锥的体积. 【解析】证明:(1),,, , ,又为的中点. , ,为的中点. ,又, 平面, 又平面, 平面平面; (2)由(1)可知, ,,是等边三角形,边长为2, ,,,, ,, 又,, 平面, 由(1)知,,连接,则, , 当时,最短,此时的面积最小, 过点作于点,则,平面, , ,, 三棱锥的体积. 【点评】本题主要考查了面面垂直的判定定理,考查了三棱锥的体积公式,同时考查了学生的空间想象能力与计算能力,是中档题. 5.(2021•甲卷(文))已知直三棱柱中,侧面为正方形,,,分别为和的中点,. (1)求三棱锥的体积; (2)已知为棱上的点,证明:. 【解析】(1)在直三棱柱中,, 又,,,平面, 平面, , 平面, , 又,故, , 而侧面为正方形, , ,即三棱锥的体积为; (2)证明:如图,取中点,连接,,设, 点是的中点,点时的中点, , , 、、、四点共面, 由(1)可得平面, 平面, , ,且这两个角都是锐角, , , , 又,,平面, 平面, 又平面, . 【点评】本题主要考查三棱锥体积的求法以及线线,线面间的垂直关系,考查运算求解能力及逻辑推理能力,属于中档题. 6.(2021•乙卷(文))如图,四棱锥的底面是矩形,底面,为的中点,且. (1)证明:平面平面; (2)若,求四棱锥的体积. 【解析】(1)证明:底面,平面, , 又, ,,平面. 平面. 平面, 平面平面; (2)由底面, 即为四棱锥的高,是直角三角形; 底面是矩形,,为的中点,且. 设,取的中点为.作交于, 连接,,, 可得,, 那么.且.,, . 是直角三角形, 根据勾股定理:,则; 由是直角三角形, 可得, 解得. 底面的面积, 则四棱锥的体积. 【点评】本题考查平面与平面垂直的判定,考查空间想象能力与思维能力,体积计算,考查运算求解能力,是中档题. 7.(2021•上海)四棱锥,底面为正方形,边长为4,为中点,平面. (1)若为等边三角形,求四棱锥的体积; (2)若的中点为,与平面所成角为,求与所成角的大小. 【解析】(1)为等边三角形,且为中点,, , 又平面, 四棱锥的体积. (2)平面, 为与平面所成角为,即, 为等腰直角三角形, ,分别为,的中点, , , , 或其补角即为与所成角, 平面,, 又,,、平面, 平面,, 在中,, 故与所成角的大小为. 【点评】本题考查棱锥的体积、线面角和异面直线夹角的求法,理解线面角的定义,以及利用平移法找到异面直线所成角是解题的关键,考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力,属于基础题. 知识点3:换底法求体积问题 8.(2021•新高考Ⅰ)如图,在三棱锥中,平面平面,,为的中点. (1)证明:; (2)若是边长为1的等边三角形,点在棱上,,且二面角的大小为,求三棱锥的体积. 【解析】(1)证明:因为,为的中点,所以, 又平面平面,平面平面,平面, 所以平面,又平面, 所以; (2)过作,交于点,过作于点,连结, 由题意可知,,又平面 所以平面,又平面, 所以,又, 所以平面,又平面, 所以, 则为二面角的平面角,即, 又, 所以,则, 故, 所以, 因为, 则, 所以,则, 所以,则, 所以. 知识点4:割补法求体积问题 9.(2022•甲卷(文))小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示:底面是边长为8(单位:的正方形,,,,均为正三角形,且它们所在的平面都与平面垂直. (1)证明:平面; (2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度). 【解析】(1)证明:如图所示,将几何体补形为长方体, 做于点,做于点, 由于底面为正方形,,均为等边三角形, 故等边三角形的高相等,即, 由面面垂直的性质可知,均与底面垂直, 则,四边形为平行四边形,则, 由于不在平面内,在平面内, 由线面平行的判断定理可得平面. (2)易知包装盒的容积为长方体的体积减去四个三棱锥的体积, 其中长方体的高, 长方体的体积, 一个三棱锥的体积, 则包装盒的容积为. 【点评】本题主要考查线面平行的判定,空间几何体体积的计算等知识,属于中等题. 知识点5:距离及几何体的高问题 10.(2023•甲卷(文))如图,在三棱柱中,平面,. (1)证明:平面平面; (2)设,,求四棱锥的高. 【解析】(1)底面,面, ,又,,平面,, 平面,又平面, 平面平面; (2)平面,,平面, ,, ,, △, , 底面,面, ,, ,, , 过作于,, 为的中点,, 由(1)可知平面, 四棱锥的高为1. 【点评】本题考查面面垂直的证明,考查四棱锥的高的求法,属中档题. 11.(2023•上海)已知三棱锥中,平面,,,,为中点,过点分别作平行于平面的直线交、于点,. (1)求直线与平面所成角的大小; (2)求直线到平面的距离. 【解析】(1)连接,, 平面, 为直线与平面所成的角, 在中,,, 为中点,, ,即直线与平面所成角为; (2)由平面,平面,, 平面平面,平面,平面, 平面,平面, ,,,,平面, 平面,为直线到平面的距离, 平面,平面,平面平面, ,为中点,为中点,, 直线到平面的距离为2. 【点评】本题考查直线与平面所成的角,考查直线与平面的距离的求法,属中档题. 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期

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