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专题06
立体几何解答题文全国通用解析版
专题
06
立体几何
解答
全国
通用
解析
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专题06 立体几何(解答题)(文)
知识点目录
知识点1:线面角
知识点2:直接法求体积问题
知识点3:换底法求体积问题
知识点4:割补法求体积问题
知识点5:距离及几何体的高问题
近三年高考真题
知识点1:线面角
1.(2023•甲卷(理))在三棱柱中,,底面,,到平面的距离为1.
(1)求证:;
(2)若直线与距离为2,求与平面所成角的正弦值.
【解析】(1)证明:取的中点,连接,
底面,底面,
,,,
底面,底面,
,,,
,平面,
平面,平面平面,
到平面的距离为1,
到的距离为1,
,
;
(2)过作交的延长线与,连接,
取的中点,连接,
四边形为平行四边形,
平面,
,平面,
平面,
,
,
为直线与距离,
,,
由(1)可知平面,
为与平面所成角的角,
易求得,
,
,,
.
与平面所成角的正弦值为.
【点评】本题考查线线相等的证明,考查线面角的求法,属中档题.
2.(2021•上海)如图,在长方体中,已知,.
(1)若是棱上的动点,求三棱锥的体积;
(2)求直线与平面的夹角大小.
【解析】(1)如图,在长方体中,;
(2)连接,
,
四边形为正方形,则,
又,,
平面,
直线与平面所成的角为,
.
直线与平面所成的角为.
【点评】本题考查三棱锥体积的求法,考查线面角的求解,考查推理能力及运算能力,属于中档题.
知识点2:直接法求体积问题
3.(2023•乙卷(文))如图,在三棱锥中,,,,,,,的中点分别为,,,点在上,.
(1)求证:平面;
(2)若,求三棱锥的体积.
【解析】 (1)证明:在中,作,垂足为,设,则,
因为,所以,所以,即,解得,
又因为,所以,且,
所以,所以,即,解得,
即,所以是的中点,是的中点,
又因为是的中点,所以,同理,,所以,
又因为平面,平面,
所以平面;
(2)过作垂直的延长线交于点,因为,是中点,所以,在中,,,所以,
因为,,所以,又,,平面,所以平面,
又平面,所以,
又,,平面,
所以平面,即三棱锥的高为,
因为,所以,
所以,
的面积为,
所以三棱锥的体积为.
【点评】本题考查了直线与平面平行的应用问题,也考查了几何体体积计算问题,是中档题.
4.(2022•乙卷(文))如图,四面体中,,,,为的中点.
(1)证明:平面平面;
(2)设,,点在上,当的面积最小时,求三棱锥的体积.
【解析】证明:(1),,,
,
,又为的中点.
,
,为的中点.
,又,
平面,
又平面,
平面平面;
(2)由(1)可知,
,,是等边三角形,边长为2,
,,,,
,,
又,,
平面,
由(1)知,,连接,则,
,
当时,最短,此时的面积最小,
过点作于点,则,平面,
,
,,
三棱锥的体积.
【点评】本题主要考查了面面垂直的判定定理,考查了三棱锥的体积公式,同时考查了学生的空间想象能力与计算能力,是中档题.
5.(2021•甲卷(文))已知直三棱柱中,侧面为正方形,,,分别为和的中点,.
(1)求三棱锥的体积;
(2)已知为棱上的点,证明:.
【解析】(1)在直三棱柱中,,
又,,,平面,
平面,
,
平面,
,
又,故,
,
而侧面为正方形,
,
,即三棱锥的体积为;
(2)证明:如图,取中点,连接,,设,
点是的中点,点时的中点,
,
,
、、、四点共面,
由(1)可得平面,
平面,
,
,且这两个角都是锐角,
,
,
,
又,,平面,
平面,
又平面,
.
【点评】本题主要考查三棱锥体积的求法以及线线,线面间的垂直关系,考查运算求解能力及逻辑推理能力,属于中档题.
6.(2021•乙卷(文))如图,四棱锥的底面是矩形,底面,为的中点,且.
(1)证明:平面平面;
(2)若,求四棱锥的体积.
【解析】(1)证明:底面,平面,
,
又,
,,平面.
平面.
平面,
平面平面;
(2)由底面,
即为四棱锥的高,是直角三角形;
底面是矩形,,为的中点,且.
设,取的中点为.作交于,
连接,,,
可得,,
那么.且.,,
.
是直角三角形,
根据勾股定理:,则;
由是直角三角形,
可得,
解得.
底面的面积,
则四棱锥的体积.
【点评】本题考查平面与平面垂直的判定,考查空间想象能力与思维能力,体积计算,考查运算求解能力,是中档题.
7.(2021•上海)四棱锥,底面为正方形,边长为4,为中点,平面.
(1)若为等边三角形,求四棱锥的体积;
(2)若的中点为,与平面所成角为,求与所成角的大小.
【解析】(1)为等边三角形,且为中点,,
,
又平面,
四棱锥的体积.
(2)平面,
为与平面所成角为,即,
为等腰直角三角形,
,分别为,的中点,
,
,
,
或其补角即为与所成角,
平面,,
又,,、平面,
平面,,
在中,,
故与所成角的大小为.
【点评】本题考查棱锥的体积、线面角和异面直线夹角的求法,理解线面角的定义,以及利用平移法找到异面直线所成角是解题的关键,考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力,属于基础题.
知识点3:换底法求体积问题
8.(2021•新高考Ⅰ)如图,在三棱锥中,平面平面,,为的中点.
(1)证明:;
(2)若是边长为1的等边三角形,点在棱上,,且二面角的大小为,求三棱锥的体积.
【解析】(1)证明:因为,为的中点,所以,
又平面平面,平面平面,平面,
所以平面,又平面,
所以;
(2)过作,交于点,过作于点,连结,
由题意可知,,又平面
所以平面,又平面,
所以,又,
所以平面,又平面,
所以,
则为二面角的平面角,即,
又,
所以,则,
故,
所以,
因为,
则,
所以,则,
所以,则,
所以.
知识点4:割补法求体积问题
9.(2022•甲卷(文))小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示:底面是边长为8(单位:的正方形,,,,均为正三角形,且它们所在的平面都与平面垂直.
(1)证明:平面;
(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).
【解析】(1)证明:如图所示,将几何体补形为长方体,
做于点,做于点,
由于底面为正方形,,均为等边三角形,
故等边三角形的高相等,即,
由面面垂直的性质可知,均与底面垂直,
则,四边形为平行四边形,则,
由于不在平面内,在平面内,
由线面平行的判断定理可得平面.
(2)易知包装盒的容积为长方体的体积减去四个三棱锥的体积,
其中长方体的高,
长方体的体积,
一个三棱锥的体积,
则包装盒的容积为.
【点评】本题主要考查线面平行的判定,空间几何体体积的计算等知识,属于中等题.
知识点5:距离及几何体的高问题
10.(2023•甲卷(文))如图,在三棱柱中,平面,.
(1)证明:平面平面;
(2)设,,求四棱锥的高.
【解析】(1)底面,面,
,又,,平面,,
平面,又平面,
平面平面;
(2)平面,,平面,
,,
,,
△,
,
底面,面,
,,
,,
,
过作于,,
为的中点,,
由(1)可知平面,
四棱锥的高为1.
【点评】本题考查面面垂直的证明,考查四棱锥的高的求法,属中档题.
11.(2023•上海)已知三棱锥中,平面,,,,为中点,过点分别作平行于平面的直线交、于点,.
(1)求直线与平面所成角的大小;
(2)求直线到平面的距离.
【解析】(1)连接,,
平面,
为直线与平面所成的角,
在中,,,
为中点,,
,即直线与平面所成角为;
(2)由平面,平面,,
平面平面,平面,平面,
平面,平面,
,,,,平面,
平面,为直线到平面的距离,
平面,平面,平面平面,
,为中点,为中点,,
直线到平面的距离为2.
【点评】本题考查直线与平面所成的角,考查直线与平面的距离的求法,属中档题.
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