考研数三2001.doc

2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题 (1) 设生产函数为, 其中Q是产出量, L 是劳动投入量, K 是资本投入量,而A, α, β均为大于零的参数,则当Q =1时K关于L的弹性为. (2) 某公司每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加2 百万元.若以表示第t 年的工资总额(单位：百万元)，则满足的差分方程是___ (3) 设矩阵且(A)=3,则k =. (4) 设随机变量X和Y 的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4,而相关系数为-0.5.则根据切比雪夫不 等式 . (5) 设总体X服从正态分布，而是来自总体X的简单随机样本，则随机变量服从____________分布，参数为__________. 二、选择题 (1) 设f (x)的导数在x=a处连续,又则( ) (A) x = a 是f (x)的极小值点. (B) x = a 是f (x)的极大值点. (C) (a, f(a))是曲线y= f(x)的拐点. (D) x =a不是f (x)的极值点, (a, f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点. (2) 设函数其中则g(x)在区间(0,2) 内( ) (A)无界 (B)递减 (C) 不连续 (D) 连续 (3) 设 其中A 可逆,则等于( ) (A) (B) (C) (D). (4) 设A 是n 阶矩阵，α是n维列向量.若，则线性方程组( ) AX =α必有无穷多解 AX =α 必有惟一解. 仅有零解 必有非零解. (5) 将一枚硬币重复掷n 次,以X和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y的相关系数等于( ) (A) -1 (B) 0 (C) (D) 1 三 、(本题满分5 分) 设u= f(x,y,z)有连续的一阶偏导数,又函数y=y(x)及z=z(x)分别由下列两式确定: 和求. 四 、(本题满分6 分) 已知f (x)在(−∞,+∞)内可导,且 求c的值. 五 、(本题满分6 分) 求二重积分的值,其中D 是由直线y=x, y= −1及x =1围成的平面区域 六、(本题满分7 分) 已知抛物线(其中p<0,q>0)在第一象限与直线x+y=5相切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S. (1) 问p和q为何值时，S达到最大? (2)求出此最大值. 七、(本题满分6 分) 设f (x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足 证明至少存在一点ξ∈(0,1), 使得 八、(本题满分7 分) 已知满足(n为正整数)且求函数项级数之和. 九、(本题满分9 分) 设矩阵已知线性方程组AX =β有解但不唯一,试求: (1) a的值; (2) 正交矩阵Q,使为对角矩阵. 十、(本题满分8 分) 设A为n阶实对称矩阵，(A)=n，是中元素的代数余子式(i,j =1,2,…,n)，二次型 (1) 记写成矩阵形式，并证明二次型的矩阵为; (2) 二次型与的规范形是否相同？说明理由. 十一、(本题满分8 分) 一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的,假设每箱平均重50 千克,标准差为5千克.若用最大载重量为5 吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977. (Φ(2)=0.977,其中Φ(x) 是标准正态分布函数). 十二、(本题满分8 分) 设随机变量X 和Y 对联和分布是正方形G={(x,y)|1≤x≤3,1≤y≤3}上的均匀分布，试求随机变量U= 的概率密度