数学学霸作业解析（大学）.pdf

第四部分 大学数学知识 第一章第一章 数学分析数学分析 1.【答案】A【解析】本题主要考察无穷小量的性质。当x 时，1为无穷小量，sinx 为有界量。根据无穷小量的性质可知，无穷小量乘有界量为无穷小量，所以lim1=0.故选 A。2.【答案】D【解析】本题主要考察等价无穷小的相关知识。lim0223=lim02(3)2=9.故选 D。3.【答案】利用洛必达法则，lim02(21)=lim012(21)=lim02(21)=0。4.【答案】1【解析】本题考查的是极限的相关知识。lim020181+2018 1 2018=lim02018(1+2018+1 2018)(1+2018 1 2018)(1+2018+1 2018)=lim01+2018+1 20182=1.5.【答案】D【解析】本题考查的是函数与导数的相关知识。f(x)=2x-3，则可设 f(x)=x2-3x+m 的图象过点(1,-6)，即 f(1)=-6，可得 m=-4，f(x)=x2-3x-4。解不等式 f(x)0 得 x4 或 x0恒成立，即 f(x)在1,e上为单调递增函数，故 f(x)min=f(1)=1，f(x)max=f(e)=e2+4（2）证明：欲证当 x1,+时，函数 f(x)的图象在函数 g(x)=2x3的图象下方，即 x2+4lnx0 在1,+上恒成立。令 h(x)=2x3-x2-4lnx，h(x)=6x2-2x-4=63224=2(1)(32+2+2)，当 x1,+时，x-10，32+2+2 0恒成立，所以 h(x)0 恒成立，即 h(x)在1,+上单调递增，则 h(x)h(1)=1，故 h(x)0 恒成立。因此，当 x1,+时，函数 f(x)的图象在函数 g(x)=2x3的图象下方。9.【参考答案】（1）由题意得，函数 f(x)的定义域(0,+)，f(x)=lnx+1。由 f(x)0，解得 x1，由 f(x)0，解得 x1。所以函数 f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增。（2）不等式 2f(x)3x2+2ax+3 对一切 x(0,+)恒成立，可得 alnx3212，在(0,+)上恒成立。设 h(x)=lnx3212，h(x)=132+122=(1)(3+1)22，令 h(x)=0，得 x=1 或13（舍去）。当 0 x0，当 x1 时，h(x)0，所以 x=1 是 h(x)的极大值点，也是最大值点，最大值 h(1)=-2。所以 a-2。10.【参考答案】（1）由 f(x)=2得()=，令()=0，则 x=lna。当x (,lna)时，()0此时函数 f(x)单调递增。（2）因为 f(x)-1，所以 1 0，构造函数 g(x)=1，由（1）易知，x=lna时，g(x)取得最小值，原问题转化为证明 g(lna)在定义域内恒大于 0 即可。又 g(lna)=a-alna-1，构造函数 h(a)=a-alna-1，有()=1 (a 1+1 lna)=lna，令()=lna=0，解得 a=1。当 0a 0，h(a)单调递增；当 a1 时，()0 都有 h(a)h(1)=0，即 g(lna)0。故不存在 a，使得f(x)-1 在x R上恒成立。11.【解析】()=12+，当 (0,1)时，()0，函数()单调递增。又(0)=1 0，根据零点存在定理及函数()在(0,1)上单调递增，得函数在区间(0,1)上有且只有一个零点。当 x1 时，()0恒成立，没有零点。所以函数在0,+)内有且只有一个零点。12.【答案】（1）f(x)=ln(2x+1)214(12)；（2）2 个【解析】本题主要考察导数应用的相关知识。（1）函数f(x)=ln(2x+1)+a214，在点(12，(12)处的直线与 x 轴平行，即在该点处切线斜率为 0，()=22+1+2,(12)=1+=0，=1，故f(x)=ln(2x+1)214(12)。（2）(x)=ln(2x+1)214，()=22+1 2=0，=12或 x=-1（舍去），当()0,得12 12，当12 12时，函数(x)为单调递增，()12，当 12时，函数(x)为单调递减，所以在=12时，函数(x)取得最大值，f(12)=ln2 120，又因为f(0)=140，当 x2 时，f(2)ln 51740，所以函数 f(x)的零点个数为 2 个 13.【答案】A【解析】本题考查的是二项式定理和定积分的相关知识。2=13030=9，解得 a=3，所以(1+)2=(1+)6展开式中通项为+1=6，令 r=2 可得3=622=152，所以(1+)6展开式中3项的系数为 15。故选项 A 正确。14.【答案】4+7【解析】本题考查的是积分的相关知识。令 x=1，得 a0a1a2an3n=81，所以 n=4。则()40=(+122)04=4+7。15.【答案】B【解析】本题主要考察定积分的几何意义的相关知识。由于当 0 x1 时，因此曲线y=3在曲线=2下方，并且由于3 2，所以(3 2)10表示在(0,1)区间上，曲线y=3上方和曲线=2下方所夹图形的面积的相反数。故选 B 16.【答案】设t=，则x=2,0,1，从而 dx=2tdt，所以 10=2=102 10()=2|01 2 =2 2|01=210 第二章第二章 高等代数高等代数 1.【答案】-1【解析】|2 1253 3102|3(+2)1|2 12 253 7 5100|按3展开|12 23+7+5|=0，解得=1.2.【解析】由于 A 是 32 矩阵，B 是 23 矩阵，A 的列数与 B 的行数都等于 2，所以 A 与B 可以相乘，其乘积 AB 是 33 矩阵，则 C=AB=(310310)(101021)=(111213212223313233)11=3 1+(1)0=3，12=3 0+(1)2=2，13=3 1+(1)1=2，21=0 1+3 0=0，22=0 0+3 2=6，23=0 1+3 1=3，31=1 1+0 0=1，32=1 0+0 2=0，33=1 1+0 1=1。故 C=AB=(322063101)