考研数三2004.doc

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在答题纸指定位置上． (1) 若，则_________，_________. (2) 函数由关系式确定，其中函数可微，且，则_________. (3) 设 则_________. (4) 二次型的秩为_________. (5) 设随机变量服从参数为的指数分布，则=_________. (6) 设总体服从正态分布， 总体服从正态分布，和 分别是来自总体和的简单随机样本，则 _________. 二、选择题：7~14小题，每小题4分，共32分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上． (7) 函数在下列哪个区间内有界：（ ） (A) (B)  (C). (D) . (8) 设在内有定义，且，则：（ ） (A) 必是的第一类间断点. (B) 必是的第二类间断点. (C) 必是的连续点. (D) 在点处的连续性与a的取值有关. (9) 设， 则：（ ） (A) 是的极值点，但不是曲线的拐点. (B) 不是的极值点，但是曲线的拐点. (C)是的极值点，且是曲线的拐点. (D) 不是的极值点，也不是曲线的拐点. (10) 设有以下命题：（ ） ① 若收敛，则收敛. ② 若收敛，则收敛. ③ 若，则发散. ④ 若收敛，则，都收敛. 则以上命题中正确的是：（ ） (A) ①②. (B) ②③. (C) ③④. (D) ①④. (11) 设在上连续，且，则下列结论中错误的是：（ ） (A) 至少存在一点，使得>. (B) 至少存在一点，使得>. (C) 至少存在一点，使得. (D) 至少存在一点，使得=. (12) 设阶矩阵与等价，则必有：（ ） (A) 当时， (B) 当时，. (C) 当时，. (D) 当时，. (13) 设阶矩阵的伴随矩阵 若是非齐次线性方程组的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组的基础解系：（ ） (A) 不存在 (B) 仅含一个非零解向量 (C) 含有两个线性无关的解向量 (D) 含有三个线性无关的解向量. (14) 设随机变量服从正态分布，对给定的，数满足，若，则=（ ） (A)  (B)  (C)  (D) . 三、解答题：15~23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (15) (本题满分8分) 求. (16) (本题满分8分) 求，其中是由圆和 所围成的平面区域(如图). (17) (本题满分8分) 设在上连续，且满足， . 证明：. (18) (本题满分9分) 设某商品的需求函数为，其中价格，为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性(>)； (II) 推导(其中为收益)，并用弹性说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加. (19) (本题满分9分) 设级数的和函数为.求: (I) 所满足的一阶微分方程； (II)的表达式. (20) (本题满分13分) 设，，，， 试讨论当为何值时， (I) 不能由线性表示； (II) 可由唯一地线性表示，并求出表示式； (III) 可由线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式. (21) (本题满分13分) 设阶矩阵 . (I) 求的特征值和特征向量； (II) 求可逆矩阵，使得为对角矩阵. (22) (本题满分13分) 设为两个随机事件，且，，，令   求(I) 二维随机变量的概率分布； (II) 与的相关系数； (III) 的概率分布. (23) (本题满分13分) 设随机变量的分布函数为 其中参数.设为来自总体的简单随机样本， (I) 当时，求未知参数的矩估计量； (II) 当时，求未知参数的最大似然估计量； (III) 当时，求未知参数的最大似然估计量.