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2022高考数学真题分类汇编06
数列
2022
高考
数学
分类
汇编
06
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2022高考数学真题分类汇编
六、数列
一、选择题
1.(2022·全国乙(文)T10)已知等比数列的前3项和为168,,则( )
A. 14 B. 12 C. 6 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】设等比数列的公比为,易得,根据题意求出首项与公比,再根据等比数列的通项即可得解.
【详解】解:设等比数列的公比为,
若,则,与题意矛盾,
所以,
则,解得,
所以.
故选:D.
2.(2022·全国乙(理)T8) 已知等比数列的前3项和为168,,则( )
A. 14 B. 12 C. 6 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】设等比数列的公比为,易得,根据题意求出首项与公比,再根据等比数列的通项即可得解.
【详解】解:设等比数列的公比为,
若,则,与题意矛盾,
所以,
则,解得,
所以.
故选:D.
3.(2022·全国乙(理)T4) 嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我国第一颗环绕太阳飞行人造行星,为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值,用到数列:,,,…,依此类推,其中.则( )
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据,再利用数列与的关系判断中各项的大小,即可求解.
【详解】解:因为,
所以,,得到,
同理,可得,
又因为,
故,;
以此类推,可得,,故A错误;
,故B错误;
,得,故C错误;
,得,故D正确.
故选:D.
4.(2022·新高考Ⅱ卷T3) 中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处,更是美学和哲学的体现.如图是某古建筑物的剖面图,是举, 是相等的步,相邻桁的举步之比分别为,若是公差为0.1的等差数列,且直线的斜率为0.725,则( )
A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9
【答案】D
【解析】
【分析】设,则可得关于的方程,求出其解后可得正确的选项.
【详解】设,则,
依题意,有,且,
所以,故,
故选:D
5.(2022·浙江卷T10) 已知数列满足,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先通过递推关系式确定除去,其他项都在范围内,再利用递推公式变形得到,累加可求出,得出,再利用,累加可求出,再次放缩可得出.
【详解】∵,易得,依次类推可得
由题意,,即,
∴,
即,,,…,,
累加可得,即,
∴,即,,
又,
∴,,,…,,
累加可得,
∴,
即,∴,即;
综上:.
故选:B.
【点睛】关键点点睛:解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.
二、填空题
1.(2022·全国乙(文)T13)记为等差数列的前n项和.若,则公差_______.
【答案】2
【解析】
【分析】转化条件为,即可得解.
【详解】由可得,化简得,
即,解得.
故答案为:2.
2.(2022·北京卷T15) 己知数列各项均为正数,其前n项和满足.给出下列四个结论:
①的第2项小于3; ②为等比数列;
③为递减数列; ④中存在小于的项.
其中所有正确结论的序号是__________.
【答案】①③④
【解析】
【分析】推导出,求出、的值,可判断①;利用反证法可判断②④;利用数列单调性的定义可判断③.
【详解】由题意可知,,,
当时,,可得;
当时,由可得,两式作差可得,
所以,,则,整理可得,
因为,解得,①对;
假设数列为等比数列,设其公比为,则,即,
所以,,可得,解得,不合乎题意,
故数列不等比数列,②错;
当时,,可得,所以,数列为递减数列,③对;
假设对任意,,则,
所以,,与假设矛盾,假设不成立,④对.
故答案为:①③④.
【点睛】关键点点睛:本题在推断②④的正误时,利用正面推理较为复杂时,可采用反证法来进行推导.
三、解答题
1.(2022·全国甲(文T18)(理T17)记为数列的前n项和.已知.
(1)证明:是等差数列;
(2)若成等比数列,求的最小值.
【答案】(1)证明见解析;
(2).
【解析】
【分析】(1)依题意可得,根据,作差即可得到,从而得证;
(2)由(1)及等比中项的性质求出,即可得到的通项公式与前项和,再根据二次函数的性质计算可得.
【小问1详解】
解:因为,即①,
当时,②,
①②得,,
即,
即,所以,且,
所以是以为公差的等差数列.
【小问2详解】
解:由(1)可得,,,
又,,成等比数列,所以,
即,解得,
所以,所以,
所以,当或时.
2.(2022·新高考Ⅰ卷T17) 记为数列的前n项和,已知是公差为的等差数列.
(1)求的通项公式;
(2)证明:.
【答案】(1)
(2)见解析
【解析】
【分析】(1)利用等差数列的通项公式求得,得到,利用和与项的关系得到当时,,进而得:,利用累乘法求得,检验对于也成立,得到的通项公式;
(2)由(1)的结论,利用裂项求和法得到,进而证得.
【小问1详解】
∵,∴,∴,
又∵是公差为的等差数列,
∴,∴,
∴当时,,
∴,
整理得:,
即,
∴
,
显然对于也成立,
∴的通项公式;
【小问2详解】
∴
3.(2022·新高考Ⅱ卷T17)已知为等差数列,是公比为2的等比数列,且.
(1)证明:;
(2)求集合中元素个数.
【答案】(1)证明见解析;
(2).
【解析】
【分析】(1)设数列的公差为,根据题意列出方程组即可证出;
(2)根据题意化简可得,即可解出.
【小问1详解】
设数列的公差为,所以,,即可解得,,所以原命题得证.
【小问2详解】
由(1)知,,所以,即,亦即,解得,所以满足等式的解,故集合中的元素个数为.
4.(2022·北京卷T21) 已知为有穷整数数列.给定正整数m,若对任意的,在Q中存在,使得,则称Q为连续可表数列.
(1)判断是否为连续可表数列?是否为连续可表数列?说明理由;
(2)若为连续可表数列,求证:k的最小值为4;
(3)若为连续可表数列,且,求证:.
【答案】(1)是连续可表数列;不是连续可表数列.
(2)证明见解析. (3)证明见解析.
【解析】
【分析】(1)直接利用定义验证即可;
(2)先考虑不符合,再列举一个合题即可;
(3)时,根据和的个数易得显然不行,再讨论时,由可知里面必然有负数,再确定负数只能是,然后分类讨论验证不行即可.
【小问1详解】
,,,,,所以是连续可表数列;易知,不存在使得,所以不是连续可表数列.
【小问2详解】
若,设为,则至多,6个数字,没有个,矛盾;
当时,数列,满足,,,,,,,, .
【小问3详解】
,若最多有种,若,最多有种,所以最多有种,
若,则至多可表个数,矛盾,
从而若,则,至多可表个数,
而,所以其中有负的,从而可表1~20及那个负数(恰 21个),这表明中仅一个负的,没有0,且这个负的在中绝对值最小,同时中没有两数相同,设那个负数为 ,
则所有数之和,,
,再考虑排序,排序中不能有和相同,否则不足个,
(仅一种方式),
与2相邻,
若不在两端,则形式,
若,则(有2种结果相同,方式矛盾),
, 同理 ,故在一端,不妨为形式,
若,则 (有2种结果相同,矛盾),同理不行,
,则 (有2种结果相同,矛盾),从而,
由于,由表法唯一知3,4不相邻,、
故只能,①或,②
这2种情形,
对①:,矛盾,
对②:,也矛盾,综上
.
【点睛】关键点睛,先理解题意,是否为可表数列核心就是是否存在连续的几项(可以是一项)之和能表示从到中间的任意一个值.本题第二问时,通过和值可能个数否定;第三问先通过和值的可能个数否定,再验证时,数列中的几项如果符合必然是的一个排序,可验证这组数不合题.
5.(2022·浙江卷T20) 已知等差数列的首项,公差.记的前n项和为.
(1)若,求;
(2)若对于每个,存在实数,使成等比数列,求d的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)利用等差数列通项公式及前项和公式化简条件,求出,再求;
(2)由等比数列定义列方程,结合一元二次方程有解的条件求的范围.
【小问1详解】
因为,
所以,
所以,又,
所以,
所以,
所以,
【小问2详解】
因为,,成等比数列,
所以,
,
,
由已知方程的判别式大于等于0,
所以,
所以对于任意的恒成立,
所以对于任意的恒成立,
当时,,
当时,由,可得
当时,,
又
所以