2020年新高考全国1数学高考真题变式题17-22题-（解析版）.docx

2020年新高考全国1数学高考真题变式题17-22题 原题17 1．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 变式题1基础 2．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，. (1)若，求b. (2)若______，求c的值及的面积. 请从①，②，这两个条件中任选一个，将问题（2）补充完整，并作答. 变式题2基础 3．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，___________. (1)求角A； (2)若，，求的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 变式题3巩固 4．已知的三边，，所对的角分别为，，，若，，________. 请在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在题干中，并进行解答. (1)求； (2)求. 变式题4巩固 5．在①；②；③中任选一个，补充在下面问题的横线上，并作答． 问题：在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且______． (1)求角A的大小； (2)若，求的周长的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 变式题5巩固 6．在中，角所对的边分别为，从以下三个条件中任选一个：①；②；③，解答如下的问题： (1)求角； (2)若为线段上一点，且满足，设，求. 变式题6提升 7．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的三角形存在，求该三角形的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题：是否存在，它的内角所对的边分别为，且，，_____? 变式题7提升 8．1.在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，． (1)求角A的大小； (2)求 . 在①△ABC面积的最大值；②△ABC周长的最大值；③△ABC的内切圆的半径最大值. 中任选一个做为问题（2），并给出问题的解答． 原题18 9．已知公比大于的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和． 变式题1基础 10．已知数列的前n项和为，且，数列的前n项和为，满足． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前n项和． 变式题2基础 11．已知数列的前n项和Sn＝2n＋1＋A，若为等比数列. (1)求实数A及的通项公式； (2)设bn＝log2an，求数列{anbn}的前n项和Tn. 变式题3巩固 12．设，，现给出以下三个条件：①，；②，对于任意，，，且；③，，． 从以上三个条件中任选一个，补充在本题相应的横线上，再作答（如果选择多个条件作答，则按第一个解答计分） 已知数列的前项和为，满足 (1)求的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求证：． 变式题4巩固 13．已知正项数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 变式题5巩固 14．数列中，，，设. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和； 变式题6提升 15．数列中，，，设． （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的前项和； （3）若，为数列的前项和，求不超过的最大的整数． 变式题7提升 16．已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，数列的前项之积为，且． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． （3）设，若数列的前项和，证明：． 原题19 17．为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的和浓度（单位：），得下表： （1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过”的概率； （2）根据所给数据，完成下面的列联表： （3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？ 附：， 变式题1基础 18．为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B.下表1和表2分别是注射药物A和药物B后的试验结果．(疱疹面积单位：mm2) 表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表 疱疹面积 [60，65) [65，70) [70，75) [75，80) 频数 30 40 20 10 表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表 疱疹面积 [60，65) [65，70) [70，75) [75，80) [80，85) 频数 10 25 20 30 15 (1)完成下面2×2列联表； 疱疹面积小于70 mm2 疱疹面积不小于70 mm2 总计 注射药物A a＝ b＝ 注射药物B c＝ d＝ 总计 n＝ (2)能否在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”？ 变式题2基础 19．某药厂主要从事治疗某种呼吸道慢性疾病的药物的研发和生产.在研发过程中，为了考察药物对治疗慢性呼吸道疾病的效果，对200个志愿者进行了药物试验，根据统计结果，得到如下列联表. 药物 慢性疾病 合计 未患病 患病 未服用 服用 合计 (1)完成该列联表并判断是否有的把握认为药物对治疗慢性呼吸道疾病有效？并说明理由； (2)该药厂研制了一种新药，宣称对治疗疾病的有效率为，随机选择了个病人，经过该药治疗后，治愈的人数不超过人，你是否怀疑该药厂的宣传？并说明理由. 附：，. 变式题3巩固 20．2021年8月份，义务教育阶段“双减”政策出台，某小学在课后延时服务开设音乐、科技、体育等特色课程，为进一步了解学生选课的情况，随机选取了200人进行调查问卷，整理数据后获得如下统计表： 喜欢体育 不喜欢体育 已选体育课（组） 75 25 未选体育课（组） 45 55 (1)若从样本内喜欢体育的120人中用分层抽样方法随机抽取16人，问应在组、组各抽取多少人？ (2)能否有99.5%的把握认为选报体育延时课与喜欢体育有关？ 附： 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 ． 变式题4巩固 21．2020年一位返乡创业青年小李在其家乡开了一家蛋糕店，由于业务不熟练，误将昨天制作的2个蛋糕和今天制作的3个蛋糕用相同的包装盒子包好后混放在一起给了客户，小李追回来后，现需要拆开将其区分，直到找出2个昨天制作的蛋糕或者找出3个今天制作的蛋糕为止． (1)若小李随机拆开两个盒子，求拆开后恰好是今天制作的蛋糕的概率； (2)为提高蛋糕店的服务水平，小李随机调查了光顾过该店的50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该蛋糕店的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表． ①估计男顾客对该蛋糕店的满意的概率以及顾客对该蛋糕店的满意的概率； ②能否有95%的把握认为男、女顾客对该蛋糕店服务的评价有差异？． 满意 不满意 总计 男顾客 40 10 50 女顾客 30 20 50 总计 70 30 100 附：． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 变式题5巩固 22．为了调查90后上班族每个月的休假天数，研究人员随机抽取了1000名90后上班族作出调查，所得数据统计如下图所示． (1)求的值以及这1000名90后上班族每个月休假天数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (2)以频率估计概率，若从所有90后上班族中随机抽取4人，求至少2人休假天数在6天以上（含6天）的概率； (3)为研究90后上班族休假天数与月薪的关系，从上述1000名被调查者中抽取300人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为休假天数与月薪有关． 月休假不超过6天 月休假超过6天 合计 月薪超过5000 90 月薪不超过5000 140 合计 300 变式题6提升 23．北京某高中举办了一次“喜迎国庆”的读书读报知识竞赛，参赛选手为从高一年级和高二年级随机抽取的各名学生．图1和图2分别是高一年级和高二年级参赛选手成绩的频率分布直方图． (1)分别估计参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩； (2)若称成绩在分以上的学生知识渊博，试估计该校高一、高二两个年级学生的知识渊博率； (3)完成下面列联表，并回答是否有的把握认为高一、高二两个年级学生这次读书读报知识竞赛的成绩有差异． 成绩低于分人数 成绩不低于分人数 合计 高一年级 高二年级 合计 变式题7提升 24．手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下： 女性用户 区间 频数 20 40 80 50 10 男性用户 区间 频数 45 75 90 60 30 （1）完成下列频率分布直方图，计算女性用户评分的平均值，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）； （2）把评分不低于70分的用户称为“评分良好用户”，能否有90%的把握认为“评分良好用户”与性别有关？ 参考公式：，其中 0.10 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 原题20 25．如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l． （1）证明：l⊥平面PDC； （2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值． 变式题1基础 26．在边长为2的菱形中，，点E是边的中点（如图1），将△沿折起到△的位置，连接，得到四棱锥（如图2）． (1)证明：平面； (2)若，连接，求直线与平面所成角的正弦值． 变式题2基础 27．如图，四棱锥中，，且， (1)求证：平面平面； (2)若是等边三角形，底面是边长为3的正方形，是中点，求直线与平面所成角的正弦值. 变式题3巩固 28．如图，四棱锥中，为正方形，为等腰直角三角形，且，平面平面，、分别为、中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 变式题4巩固 29．如图，在正三棱柱中，，，D为的中点． (1)求异面直线与BD所成角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 变式题5巩固 30．如图，在直三棱柱中，，． (1)求异面直线和所成角的大小； (2)求直线和平面所成角的大小． 变式题6提升 31．如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线． （Ⅰ）求证：直线平面； （Ⅱ）直线上是否存在点，使直线分别与平面、直线所成的角互余？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 变式题7提升 32．如图，在直三棱柱中，，，D为的中点，G为的中点，E为的中点，，点P为线段上的动点（不包括线段的端点）． （1）若平面CFG，请确定点P的位置； （2）求直线CP与平面CFG所成角的正弦值的最大值． 原题21 33．已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式恒成立，求a的取值范围． 变式题1基础 34．已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若对任意的，都有成立，求的取值范围． 变式题2基础 35．已知函数（a是常数）. (1)当时，求的单调区间与极值； (2)若，求a的取值范围. 变式题3巩固 36．已知函数，. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求的取值范围. 变式题4巩固 37．设函数. (1)求函数的极值； (2)若在时恒成立，求的取值范围. 变式题5巩固 38．已知函数. (1)求函数的极值和零点个数； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 变式题6提升 39．已知函数，. (1)判断是否存在过原点的直线l与，的图像都相切.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. (2)若，且在上恒成立，求实数a的取值范围. 变式题7提升 40．已知，. (1)求在处的切线方程； (2)若不等式对任意成立，求的最大整数解. 原题22 41．已知椭圆C：的离心率为，且过点． （1）求的方程： （2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值． 变式题1基础 42．已知椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，且，e是椭圆的离心率，点（e，）在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）若P是椭圆上的动点，且P与A，B不重合，直线l垂直于x轴，l与直线AP，BP分别交于M，N两点，设直线AN，BM的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2为定值. 变式题2基础 43．已知椭圆的方程为，离心率，，分别是椭圆的左、右焦点，过椭圆的左焦点且垂直于长轴的直线交椭圆于、两点，且. （1）求椭圆的方程； （2）已知直线与椭圆相交于、两点，为原点，且.试探究点到直线的距离是否为定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 变式题3巩固 44．已知椭圆C：＋＝1经过点(0,)，离心率为，直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l交y轴于点M，且＝λ，＝μ，当直线l的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，请说明理由. 变式题4巩固 45．在平面直角坐标系中，点，点，点P是平面内一动点，且直线的斜率与直线的斜率之积为，记点P的轨迹为曲线C． (1)求C的方程，并说明C是什么曲线； (2)过点的直线l与C交于A，B两点，则在x轴上是否存在定点D，使得的值为定值？若存在，求出点D的坐标和该定值；若不存在，请说明理由． 变式题5巩固 46．已知椭圆的短轴长为2．离心率为，直线被椭圆所截得的线段长为． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于两点，且，求证：（为坐标原点）的面积为定值． 变式题6提升 47．已知椭圆的面积为，上顶点为A，右顶点为B，直线与圆相切，且椭圆C的面积是圆O面积的倍. (1)求椭圆C的标准方程. (2)P为圆O上任意一点，过P作圆O的切线与椭圆C交于M，N两点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 变式题7提升 48．已知椭圆的离心率为，两焦点与短轴两顶点围成的四边形的面积为． (1)若为椭圆上一点，且，求的面积； (2)我们称圆心在椭圆上运动，半径为的圆是椭圆的“卫星圆”，过原点作椭圆的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆于，两点，若直线，的斜率存在，记为，． ①求证：为定值； ②试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 试卷第15页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．详见解析 【分析】方法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解. 【详解】［方法一］【最优解】：余弦定理 由可得：，不妨设， 则：，即. 若选择条件①： 据此可得：，，此时. 若选择条件②： 据此可得：， 则：，此时：，则：. 若选择条件③： 可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在. ［方法二］：正弦定理 由，得． 由，得，即， 得．由于，得．所以． 若选择条件①： 由，得，得． 解得．所以，选条件①时问题中的三角形存在，此时． 若选择条件②： 由，得，解得，则． 由，得，得． 所以，选条件②时问题中的三角形存在，此时． 若选择条件③： 由于与矛盾，所以，问题中的三角形不存在． 【整体点评】方法一：根据正弦定理以及余弦定理可得的关系，再根据选择的条件即可解出，是本题的通性通法,也是最优解； 方法二：利用内角和定理以及两角差的正弦公式，消去角，可求出角，从而可得，再根据选择条件即可解出． 2．(1)； (2)选①；选② 【分析】(1)根据正弦定理计算即可得出结果； (2)利用余弦定理或正弦定理求出c的值，再结合三角形的面积公式计算即可. (1) ，由正弦定理，得， 所以； (2) 选①：由余弦定理，得，即， 整理，得，由c>0，得c=4， 所以； 选②：因为，由正弦定理，得c=2a， 所以c=6，所以. 3．(1) (2) 【分析】（1）从三个条件中任选一个，然后利用诱导公式､二倍角公式､正弦定理等知识转化求解即可. （2）根据第（1）问所求，利用余弦定理建立三边关系，求出bc的值，最后代入三角形面积公式求解即可. (1) （1）方案一：选条件①. 根据正弦定理及得， 整理得， 即， 易知， 所以， 又，所以， 又，（注意角的范围）故. 方案二：选条件②. 在中，，所以， 结合二倍角公式，可得， 所以， 得. 又，所以. 方案三：选条件③. 在中，，所以， 所以， 结合正弦定理可得，，得. 又，所以. (2) 根据余弦定理可得， ， 又，，， 所以，得， 所以. 4．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理得到，如果选①利用辅助角公式得到角的大小；如果选②，利用倍角公式可求得角的余弦值，进而得到角的大小；如果选③，结合，可求得每一个边长，再利用余弦定理得到角的余弦值，从而得到结果； （2）由第一问知：，，，结合余弦定理得到结果即可. (1) 由正弦定理得到 ， 如果选① ； 如果选②，由， 化简得到或（舍去） ； 如果选③，， 已知，，代入上式化简得到， 根据余弦定理得到 (2) 由第一问知：，，， 根据余弦定理得到：， 代入解得：. 5．(1)条件选择见解析， (2) 【分析】（1）选择①，运用正弦定理及辅助角公式可求解；选择②运用正弦定理及余弦定理可求解；选择③，由三角形面积公式及余弦定理可求解. （2）由正弦定理及辅助角公式可求解. (1) 选择①，由正弦定理可得， 又，所以，则， 则，故． 又因为，所以，解得． 选择②，由正弦定理可得， 则， 则由余弦定理可得，故． 又因为，所以． 选择③，由三角形面积公式可得，得． 又因为，故． (2) 由正弦定理得，． 因为，， 所以 ． 又，所以，从而． 6．(1) (2) 【分析】（1）选①，根据三角恒等变换化简可求出，即可得角，选②，由正弦定理统一为角，由三角恒等变换求解，选③，由正弦定理统一为三角函数，根据三角恒等变换化简求解； （2）根据，再由正弦定理化及三角变换化为关于的正切，求角即可. (1) 选①：由正弦定理可得，， ， . ，，. 又，. 选②：由，展开得. 又由正弦定理可知， 在中，， 所以. 又，则， 所以， 所以，可得. 又，所以 所以，可得. 选③：，可得. 由正弦定理可得，又，可得. 因为，，可得， 可得，所以. (2) 因为，所以， 在中，， 由正弦定理得， 因为，所以，即， 所以，即. 又， 所以 7．答案见解析. 【分析】选择①，利用二倍角正弦公式得，通过边与角的关系知，进而得，再利用正弦定理计算得，出现矛盾，故不存在； 选择②，由正弦定理结合逆用两角和差化积公式计算得，利用余弦定理可得，再利用面积公式得解； 选择③，利用正弦定理结合同角之间的关系得到，利用余弦定理可得，再利用面积公式得解； 【详解】选择① 由，得. 若，，，与矛盾，，. 若这样的存在，根据正弦定理，由， 得，与矛盾. 所以，若选择条件①，则问题中的三角形不存在. 选择② 在中，根据正弦定理，得. ，则，，即，整理为. ，，，. 根据余弦定理，，结合，， ，解得：或（舍去）. 的面积为. 选择③ 在中，根据正弦定理，得，即. ，则，. ，，，，. 根据余弦定理，，结合，， ，解得：或（舍去）. 的面积为. 【点睛】方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到. 8．(1) (2)选①，答案为：；选②，答案为：；选③，答案为：. 【分析】（1）先用正弦定理，再用余弦定理可求；（2）选①②时，均可利用基本不等式进行求解，选③时，利用三角形面积的两种求解方法，求得内切圆半径关于三角形三边长的关系式，利用选②时求得的结论进行求解 (1) 因为，由正弦定理得：，化简得：，所以 ∵ ∴ (2) 选①△ABC面积的最大值； ∵， ∴ 整理得： 由基本不等式得：，当且仅当时等号成立. 即，解得： 所以，即△ABC面积的最大值为 选②△ABC周长的最大值； ∵， ∴ 整理得：，即 由由基本不等式得：，当且仅当时等号成立. 所以 解得：，又因为，则 所以△ABC周长的最大值为 选③△ABC的内切圆的半径最大值； 设△ABC的内切圆半径为r，则 则 令，且 所以（当且仅当时取“=”） 所以△ABC的内切圆的半径最大值为 9．（1）；（2）. 【分析】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为的形式，求解出，由此求得数列的通项公式. （2）方法一：通过分析数列的规律，由此求得数列的前项和. 【详解】（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)， 所以，所以数列的通项公式为. （2）［方法一］：规律探索 由于，所以 对应的区间为，则； 对应的区间分别为，则，即有2个1； 对应的区间分别为，则，即有个2； 对应的区间分别为，则，即有个3； 对应的区间分别为，则，即有个4； 对应的区间分别为，则，即有个5； 对应的区间分别为，则，即有37个6． 所以． ［方法二］【最优解】： 由题意，，即，当时，． 当时，，则 ． ［方法三］： 由题意知，因此，当时，；时，；时，；时，；时，；时，；时，． 所以 ． 所以数列的前100项和． 【整体点评】（2）方法一：通过数列的前几项以及数列的规律可以得到的值，从而求出数列的前项和，这是本题的通性通法；方法二：通过解指数不等式可得数列的通项公式，从而求出数列的前项和，是本题的最优解；方法三，是方法一的简化版． 10．(1)； (2) 【分析】（1）分别利用递推关系，即可求出数列，的通项公式； （2）由（1）求出的通项公式，根据错位相减法即可求出结果. (1) 解：当时，， 当时，， 所以， 所以为公比为2，首项的等比数列， 所以． 当时，， 当时，， 当时，上式仍成立， ∴． (2) 解：， ∴， ∴， 两式相减得： ． ∴． 11．(1)A＝－2，. (2) 【分析】（1）根据题意，求出数列前三项的表达式，由等比数列的性质可得关于A的方程，解可得A的值，即可得等比数列的首项和公比，计算可得答案； （2）根据题意，由（1）的结论，求出数列的通项公式，由错位相减法分析可得答案. (1) 根据题意，数列的前n项和Sn＝2n＋1＋A， 则a1＝S1＝22＋A＝4＋A， a2＝S2－S1＝（23＋A）－（22＋A）＝4， a3＝S3－S2＝（24＋A）－（23＋A）＝8， 又由为等比数列，则a1×a3＝（a2）2，即（4＋A）×8＝42＝16， 解可得A＝－2， 则a1＝4－2＝2，即数列是首项为2，公比为2的等比数列， 则， (2) 设，则设， 则， 故，① 则有，② ①－②可得：， 变形可得：， 故. 12．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）分别选择①②③，根据递推关系式化简得到，结合等比数列的定义和通项公式，即可求解． （2）由（1）得到，结合乘公比错位相减法，求得，进而得到． （1） 解：若选择①： 由题意，当时，由，可得， 两式相减可得， 又由，，所以，解得，，则，所以是以为首项， 为公比的等比数列，所以． 若选择②： 由，令，则， 因为，知数列各项不为， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则， 又由，可得，即，解得， 所以． 若选择③： 当时，，则，即有． 又由，则，于是， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以． （2） 解：由（1）知，可得， 所以， 则， 两式相减得， 所以，则， 又由，则，所以． 13．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）当时求出，当时，，两式作差可得，即可得到是以为首项，为公差的等差数列，从而求出通项公式； （2）由（1）可得，令利用错位相减法求和即可证明； (1) 解：因为正项数列的前n项和为，且，，所以 当时，，即，即，解得或（舍去） 当时，，两式相减可得，即，所以， 又，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以 (2) 解：由（1）可得，令，所以①，所以②； ①②得， ，所以，所以 14．(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)将两边都加，证明是常数即可； (2)求出的通项，利用错位相减法求解即可； （1）解：将两边都加，得，而，即有，又，则，，所以数列是首项为，公比为的等比数列； （2）解：由（1）知，，则，，，因此，，所以. 15．（1）证明见解析 ；（2） ；（3） 2021． 【分析】(1)将两边都加，证明是常数即可； (2)求出的通项，利用错位相减法求解即可； (3)先求出，再求出的表达式，利用裂项相消法即可得解. 【详解】（1）将两边都加，得，而， 即有，又，则，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列； （2）由（1）知，，则， ， ， 因此，， 所以； （3）由（2）知，于是得，则， 因此，， 所以不超过的最大的整数是2021． 16．（1），（2）（3）证明见解析 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据条件求出首项及可得，由代入可得为等差数列即可求解； （2）由（1）可知，利用错位相减法求和即可求解； （3）由（1）可知，利用裂项相消法求和后根据单调性及有界性即可得证. 【详解】（1）设等比数列的公比为， ，，成等差数列， ，， 化为：，，解得． 又满足，， 即，解得． ， 数列的前项之积为， ， ， 即， 是以2为公差的等差数列. 又，即， 所以 （2）， ， ， 两式相减得， ， （3） 所以数列的前项和， 又，是单调递增， 所以. 17．（1）；（2）答案见解析；（3）有. 【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果； （2）根据表格中数据可得列联表； （3）计算出，结合临界值表可得结论. 【详解】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的天数有天， 所以该市一天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的概率为； （2）由所给数据，可得列联表为： 合计 64 16 80 10 10 20 合计 74 26 100 （3）根据列联表中的数据可得 ， 因为根据临界值表可知，有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关. 【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了完善列联表，考查了独立性检验，属于中档题. 18．(1)列联表见解析 (2)能在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”． 【分析】（1）根据表格1和表格2中的数据，分别求得的值，即可得到列联表； （2）由（1）中列联表中的数据，利用公式求得，结合，即可得到结论. (1) 解：根据题意，利用表格1和表格2中的数据， 则注射药物且疱疹面积小于70 mm2，可得； 注射药物且疱疹面积不小于70 mm2，可得； 注射药物且疱疹面积小于70 mm2，可得； 注射药物且疱疹面积不小于70 mm2，可得； 可得列联表，如图下表所示： 疱疹面积小于70 mm2 疱疹面积不小于70 mm2 总计 注射药物A 100 注射药物B 100 总计 105 95 200 (2) 解：由列联表中的数据，可得， 由于，所以有99 %的把握认为两者有关系， 即在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”． 19．(1)列联表答案见解析，没有的把握，理由见解析； (2)可以不怀疑，理由见解析. 【分析】（1）完善列联表，计算的观测值，结合临界值表可得出结论； （2）根据随机事件的定义可得出结论. (1) 解：列联表如下： 药物 慢性疾病 合计 未患病 患病 未服用 服用 合计 ， 所有没有的把握认为药物对治疗慢性呼吸道疾病有效. (2) 解：因为治愈人数不超过人为一个随机事件，在某一次试验中可能发生. 所以，可以不怀疑. 20．(1)10人，6人； (2)有. 【分析】(1)根据给定条件求出分层抽样的抽样比即可计算作答. (2)求出的观测值，再与给定的临介值表比对即可作答. (1) 依题意，分层抽样的抽样比为，则有，， 所以在组中抽取10人，在组中抽取6人． (2) 依题意，列联表为： 喜欢体育 不喜欢体育 合计 已选体育课（组） 75 25 100 未选体育课（组） 45 55 100 合计 120 80 200 于是得的观测值：， 所以有99.5%的把握认为选报体育延时课与喜欢体育有关. 21．(1) (2)①男顾客满意的概率的估计值为0.8；顾客满意的概率的估计值为0.7 ；②有95%的把握认为男、女顾客对该蛋糕店服务的评价有差异. 【分析】(1)先利用列举法一一列举出基本事件，再找出符合条件的事件，最后利用古典概型求解. (2)根据频率与概率的关系即可求出相应的概率；求出的观测值，并与表格值对比判断. (1) 记装有昨天制作的2个蛋糕的盒子为，，装有今天制作的3个蛋糕的盒子为，，， 从中随机拆开两个盒子的结果有：，，，，，，，，，，共10个，它们等可能， 拆开后恰好是今天制作的蛋糕的结果有：，，，共3个， 所以所求的概率为. (2) ①由调查数据，男顾客对该蛋糕店铺满意的频率为，因此男顾客对该蛋糕店满意的概率的估计值为0.8， 顾客对该蛋糕店满意的频率为，因此顾客对该蛋糕店满意的概率的估计值为0.7； ②的观测值为：，显然， 所以有95%的把握认为男、女顾客对该蛋糕店服务的评价有差异. 22．(1)，平均数为. (2). (3)列联表见解析；有97.5%的把握认为休假天数与月薪有关． 【分析】（1）由频率分布直方图的性质，可求得，结合频率分布直方图的平均数计算公式，即可解. （2）由频率分布直方图中的数据，得到休假天数6天以上的概率为，根据题意得到随机变量，结合独立重复试验的概率计算公式，即可求解. （3）按分层抽样可得：300人中月休假不超过6天的人数约为150人，月休假超过6天（含6天）的月为150人，月休假不超过6天的人数中，月薪不超过5000的人数，月休假超过6天（含6天）的人数中，月薪不超过5000的人数，得出的列联表，根据公式求得的值，即可得到结论. (1) 解：由频率分布直方图的性质，可得， 解得， 由频率分布直方图的平均数计算公式，可得 . (2) 由频率分布直方图中的数据， 可得休假天数6天以上的概率为， 以频率估计概率，从所有90后上班族中随机抽取4人，则随机变量， 所以至少2人休假天数在6天以上（含6天）的概率为： . (3) 解：由题意1000名中月休假不超过6天的人数为人， 月休假超过6天（含6天）的人数为人， 按分层抽样可得：300人中月休假不超过6天的人数约为150人， 月休假超过6天（含6天）的月为150人， 月休假不超过6天的人数中，月薪不超过5000的人数为人， 月休假超过6天（含6天）的人数中，月薪不超过5000的人数为人， 月薪超过5000的人数为人， 可得如图所示的的列联表： 月休假不超过6天 月休假超过6天 合计 月薪超过5000 90 70 160 月薪不超过5000 60 80 140 合计 150 150 300 所以， 所以有97.5%的把握认为休假天数与月薪有关． 23．(1)高一平均为（分），高二平均为（分）； (2)高一为，高二为； (3)列联表见解析，有的把握认为高一、高二两个年级学生这次读书读报知识竞赛的成绩有差异. 【分析】（1）由每个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和可得平均数； （2）根据频率分布直方图求出成绩在分以上的频率即可求解； （3）根据频率分布直方图计算补全列联表，再计算的值与临界值比较即可判断. （1） 高一年级参赛学生的平均成绩约为： （分）， 高二年级参赛学生的平均成绩约为：（分）． （2） 高一年级参赛学生的知识渊博率约为， 高二年级参赛学生的知识渊博率约为． 故可估计该校高一年级学生的知识渊博率为0.12，高二年级学生的知识渊博率为0.32． （3） 高一年级参赛学生成绩低于60分人数为， 高于60分人数为人， 高二年级参赛学生成绩低于60分人数为， 高于60分人数为人， 可得列联表如下： 成绩低于60分人数 成绩不低于60分人数 合计 高一年级 80 20 100 高二年级 40 60 100 合计 120 80 200 根据表中数据得， 故有的把握认为高一、高二两个年级学生这次读书读报知识竞赛的成绩有差异． 24．（1）频率分布直方图答案见解析，女性用户评分的平均值为74.5，女性用户评分的波动小，男性用户评分的波动大；（2）有90%的把握认为“评分良好用户”与性别有关. 【分析】（1）根据频率分布表示，求出女性和男性的评分在每一分数的频率，由此作出频率直方图和