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2022
全国
新高
数学试题
变式题
13
16
解析
2022年全国新高考Ⅰ卷数学试题变式题13-16题
原题13
1.的展开式中的系数为________________(用数字作答).
变式题1基础
2.的展开式中常数项为___________.
变式题2基础
3.的展开式中的系数为_______.
变式题3基础
4.在展开式中,的系数为________.
变式题4基础
5.的展开式的中的系数是______.
变式题5巩固
6.的展开式中,项的系数是___________.(用数字作答)
变式题6巩固
7.展开式中的常数项是______.
变式题7巩固
8.展开式中含项的系数为___________.
变式题8巩固
9.在的展开式中,x的系数为_________.
变式题9提升
10.的展开式中的系数为___________.(用数字作答).
变式题10提升
11.的展开式中的项前的系数为___________.
变式题11提升
12.在的展开式中,常数项为______.
原题14
13.写出与圆和都相切的一条直线的方程________________.
变式题1基础
14.已知圆,圆,则两圆公切线的方程为__________.
变式题2基础
15.圆和圆的公切线条数为_________条.
变式题3基础
16.设圆,圆,则圆有公切线___________条.
变式题4基础
17.圆:与圆:的公切线条数为____________.
变式题5巩固
18.已知圆,圆圆与圆相切,并且两圆的一条外公切线的斜率为7,则为_________.
变式题6巩固
19.已知圆C1:x2+y2+4ax+4a2-4=0和圆C2:x2+y2-2by+b2-1=0只有一条公切线,则4a2+b2=________.
变式题7巩固
20.如图,平面直角坐标系中,已知圆和圆均与直线:及轴相切,且圆和圆相切于点(4,2),则两圆心的距离___________.
变式题8巩固
21.圆与圆,则圆A与圆B的公切线方程为___________.
变式题9提升
22.在平面直角坐标系xOy中,已知圆,圆,若过第四象限的直线是两圆的公切线,且两圆在公切线的同一侧,则直线l的方程为________.
变式题10提升
23.已知圆:和:恰好有三条公切线,则的取值范围是___________.
变式题11提升
24.已知两圆,,则两圆的位置关系为___________,两圆的公切线方程为___________.(用一般式表示)
原题15
25.若曲线有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是________________.
变式题1基础
26.已知函数f(x)=x3-3x,若过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线,则实数m的取值范围为________.
变式题2基础
27.若过点的任意一条直线都不与曲线相切,则的取值范围是________.
变式题3基础
28.如果函数在区间内存在与x轴平行的切线,则实数b的取值范围是___________.
变式题4基础
29.若函数存在平行于轴的切线,则实数取值范围是______.
变式题5巩固
30.已知函数,函数,若曲线和存在公切线,则a的取值范围为___________.
变式题6巩固
31.已知函数的图象为曲线,若曲线存在与直线垂直的切线,则实数的取值范围是______.
变式题7巩固
32.若曲线与直线相切,则实数的最大值是___________.
变式题8巩固
33.已知函数,若过点存在三条直线与曲线相切,则的取值范围为___________.
变式题9提升
34.设函数,直线是曲线的切线,则的最大值是___________.
变式题10提升
35.已知函数,是其导函数,若曲线的一条切线为直线:,则的最小值为___________.
变式题11提升
36.已知.若曲线存在两条过点的切线,则的取值范围是___________.
原题16
37.已知椭圆,C的上顶点为A,两个焦点为,,离心率为.过且垂直于的直线与C交于D,E两点,,则的周长是________________.
变式题1基础
38.已知椭圆的左焦点为,点是椭圆上异于顶点的任意一点,为坐标原点.若点是线段的中点,则的周长为___________.
变式题2基础
39.椭圆C:的左、右焦点分别为,,P为椭圆上异于左右顶点的任意一点,、的中点分别为M、N,O为坐标原点,四边形OMPN的周长为4,则的周长是_____.
变式题3基础
40.已知分别为椭圆的左右焦点,直线 椭圆交于两点,则△的周长为_________.
变式题4基础
41.已知分别为椭圆的左右焦点,倾斜角为的直线经过,且与椭圆交于两点,则△的周长为___.
变式题5巩固
42.已知AB是过椭圆左焦点F1的弦,且|AF2|+|BF2|=8,其中F2是椭圆的右焦点,则弦AB的长是___.
变式题6巩固
43.如果椭圆的焦点坐标为,离心率为,过作直线交椭圆于两点,则的周长为_________.
变式题7巩固
44.短轴长为,离心率的椭圆两焦点为,,过作直线交椭圆于A,B两点,则的周长为__________.
变式题8巩固
45.已知椭圆的左焦点为是上关于原点对称的两点,且,则的周长为___________.
变式题9提升
46.点为椭圆的右焦点,在椭圆上运动,点,则周长的最大值为_________.
变式题10提升
47.已知椭圆的左焦点为,点P是椭圆上异于顶点的任意一点,O为坐标原点,若点M是线段的中点,则的周长为______.
变式题11提升
48.椭圆的左、右焦点分别为、,弦过点,若的内切圆周长为,,两点的坐标分别为,,则 ________.
试卷第5页,共6页
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参考答案:
1.-28
【分析】可化为,结合二项式展开式的通项公式求解.
【详解】因为,
所以的展开式中含的项为,
的展开式中的系数为-28
故答案为:-28
2.
【分析】先求得展开式的通项公式,再分别用81乘以的展开式中的常数项和乘以的展开式中含 的一次项的两种情况求解.
【详解】展开式的通项公式为,
当81乘以时,令,解得,常数项为;
当乘以时,令,解得,常数项为 ;
所以的展开式中的常数项为
故答案为:
3.24
【分析】利用二项展开式的通项公式,进行计算求解即可.
【详解】,
因为的展开式为:,当时,该展开式中的系数为.
而的展开式为:,当时,该展开式中的系数为.
所以,该展开式中的系数为.
故答案为:24
4.7
【分析】化简为,进而利用展开式的通项公式,直接计算求解即可.
【详解】化简得,根据该展开式的通项公式,可得
,则的系数为7.
故答案为:7
5.5
【分析】由,则分别求出中的与的系数即可求解.
【详解】,所以展开式中的系数是.
故答案为:5
6.65
【分析】先写出的展开式的通项,令与展开式的项相乘,与展开式的常数项相乘,相加即为项,计算系数即可
【详解】由题意,的展开式的通项,
令,得,得;
令,得,得.
故的展开式中,项的系数为.
故答案为:65
7.
【分析】写出展开式通项,令的指数为零,求出对应的参数,代入通项计算即可得解.
【详解】的展开式通项为,
因为,
在的展开式通项,由,可得,
在的展开式通项,由,可得.
因此,展开式中的常数项是.
故答案为:.
8.
【分析】利用二项展开式的通项公式求解.
【详解】展开式的通项公式为:,
展开式中含项为:
,
所以展开式中含项的系数为.
故答案为:
9.17
【分析】利用二项式定理写出两个二项式的展开式,再分析计算作答.
【详解】因,,
则在的展开式中,含x的项为:,
所以所求x的系数为17.
故答案为:17
10.
【分析】先将看成一项,得到展开式通项公式,确定,进而简化通项公式,得到与时满足要求,求出展开式中的系数,相加得到答案.
【详解】的展开式通项公式为,
由于求解的是展开式中的系数,故,其中展开式通项公式为,,
令得:,此时展开式中的系数为,令得:,
此时展开式中的系数为,综上:展开式中的系数为.
故答案为:
11.180
【分析】首先求出展开式的通项,令或3解得,再代入计算可得.
【详解】解:原式展开为,
展开式的通项为,
令时,得,所以中,的系数为;
令时,,即中无项,此时不成立.
故答案为:180
12.7
【分析】的展开式的通项为,求出的展开式中的常数项和项的系数即得解.
【详解】解:的展开式的通项为,
取及可知,的展开式中的常数项为1,项的系数为4.
因此,的展开式中,常数项为.
故答案为:7
13.或或
【分析】先判断两圆位置关系,分情况讨论即可.
【详解】[方法一]:
显然直线的斜率不为0,不妨设直线方程为,
于是,
故①,于是或,
再结合①解得或或,
所以直线方程有三条,分别为,,
填一条即可
[方法二]:
设圆的圆心,半径为,
圆的圆心,半径,
则,因此两圆外切,
由图像可知,共有三条直线符合条件,显然符合题意;
又由方程和相减可得方程,
即为过两圆公共切点的切线方程,
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为,
直线OC与直线的交点为,
设过该点的直线为,则,解得,
从而该切线的方程为填一条即可
[方法三]:
圆的圆心为,半径为,
圆的圆心为,半径为,
两圆圆心距为,等于两圆半径之和,故两圆外切,
如图,
当切线为l时,因为,所以,设方程为
O到l的距离,解得,所以l的方程为,
当切线为m时,设直线方程为,其中,,
由题意,解得,
当切线为n时,易知切线方程为,
故答案为:或或.
14.
【分析】先判断两圆的位置关系,确定两圆内切后,求出切点坐标,连心线后易得公切线方程.
【详解】圆,圆心为(0,0),半径为1;
圆,圆心为(4,0),半径为5.
圆心距为4=5-1,故两圆内切,
两圆方程相减得,,代入圆方程解得,
所以切点为(-1,0),又圆心连线为x轴,所以两圆公切线的方程为,即.
故答案为:.
15.
【分析】根据圆心距和半径之间的关系判断两圆相交,再得到公切线条数.
【详解】圆和圆,则.
圆心距为,故,两圆相交,故有2条公切线.
故答案为:.
【点睛】本题考查了圆和圆的位置关系,公切线条数,意在考查学生的计算能力和应用能力.
16.2
【分析】将圆转化成标准式,结合圆心距判断两圆位置关系,进而求解.
【详解】由题意得,圆:,圆:,
∴,∴与相交,有2条公切线.
故答案为:2
17.3
【分析】将两圆的公切线条数问题转化为圆与圆的位置关系,然后由两圆心之间的距离与两半径之间的关系判断即可.
【详解】圆:,圆心,半径;
圆:,圆心,半径.
因为,所以两圆外切,所以两圆的公切线条数为3.
故答案为:3
18.
【分析】根据题意作出如下图形:
由圆方程求出圆心连线斜率为:,计算出圆心距,
再利用外公切线的斜率为7求出圆心连线与公切线的夹角,从而在直角三角形中列方程求得,联立方程即可求出,,问题得解.
【详解】根据题意作出如下图形:
AB为两圆的公切线,切点分别为A,B.
当公切线AB与直线平行时,公切线AB斜率不为7,即
不妨设
过作AB的平行线交于点E,则:,且
,
直线的斜率为:,
所以直线AB与直线的夹角正切为:.
在直角三角形中,,所以,
又,整理得:,
解得:,又,解得:,,
所以=.
【点睛】本题主要考查了圆的公切线特点及两直线夹角公式,还考查了解三角形知识及计算能力、方程思想,属于中档题.
19.1
【分析】由公切线条数得两圆内切,然后由圆心距等于半径之差可得结论.
【详解】圆C1:(x+2a)2+y2=4,圆C2:x2+(y-b)2=1,
|C1C2|=.
因为两圆只有一条公切线,所以两圆相内切,
所以|C1C2|=2-1=1,所以4a2+b2=1.
故答案为:1.
【点睛】本题考查圆与圆的位置关系,解题关键是把问题转化为两圆相交.圆与圆的位置关系:
两圆圆心距离为,半径分别为,则相离,外切,相交,内切,内含.
20.5
【分析】如图:点E为圆和圆切点,点M,N分别为圆和圆和直线:的切点,则点E必在的角平分线上,求出直线的方程,设,利用直线与圆和圆可列方程组,可得,代入计算即可.
【详解】如图:
点E为圆和圆切点,点M,N分别为圆和圆和直线:的切点,
则点E必在的角平分线上,
则,
,
设,
则圆
,
,可得,
.
故答案为:.
21.,,或
【分析】首先求出圆心与半径,判断两圆的位置关系,确定公切线有条,再利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】,圆心,半径;
,圆心,半径,
因为两圆的圆心距,
所以两圆相离,即圆A与圆B的公切线有条,
当直线的斜率不存在时,与两圆均相切;
当直线的斜率存在时,设,即,
所以,解得 ,或,
所以圆A与圆B的公切线方程有, 或
,
故答案为:,,或
22.
【分析】根据圆的方程可确定圆心和半径,设直线,作交于,根据,可利用两角和差正切公式求得;利用直线与圆相切可构造方程求得,结合直线过第四象限可确定的值,进而得到结果.
【详解】由圆的方程可知:圆圆心为,半径;圆圆心为,半径,则,
由题意知:直线的斜率存在,设直线的方程为,直线与圆的切点分别为,连接,过作交于,
为圆的切线,,又,,
,
,
直线的方程为,即.
又直线,解得:,又直线过第四象限,,
直线的方程为,即.
故答案为:.
【点睛】本题考查直线与圆位置关系的综合应用,涉及到直线与圆相切的位置关系的应用、直线斜率的求解等知识;解题关键是明确当直线与圆相切时,圆心到直线距离等于半径.
23.
【分析】首先结合已知条件和圆与圆的位置关系求出与的关系式,从而得到为上一点,再利用的几何意义以及定点到圆上一点的最值求法即可求解.
【详解】由题意,:的方程可化为,
故是以圆心为,半径为2的圆;
因为圆和圆恰好有三条公切线,所以圆和圆相外切,
又因为圆:,所以圆的圆心为,半径为1,
从而,化简得,,
即为上一点,
不妨令
由两点间距离公式可知,可表示为上一点到的距离,
因为是以圆心为,半径为3的圆,
所以圆心到的距离为,
故的最大值为,最小值为,
从而,
因为,
所以,即的取值范围是.
故答案为:.
24. 内切
【分析】求出两圆的圆心和半径,比较圆心距和半径之和、半径之差的关系即可判断两圆的位置关系,
设公切线方程为:,根据两圆圆心所在直线斜率可得公切线的斜率的值,再由圆心到公切线的距离等于半径求出的值即可求解.
【详解】由圆可得圆心,半径,
由可得,
可得圆心,半径,
因为圆心距,,所以,
所以两圆的位置关系为内切,
设公切线方程为:,
由题意可得,
因为两圆圆心所在直线垂直于公切线,
且,所以代入可得,
经检验不满足,所以,
所以两圆的公切线方程为即.
故答案为:内切;.
25.
【分析】设出切点横坐标,利用导数的几何意义求得切线方程,根据切线经过原点得到关于的方程,根据此方程应有两个不同的实数根,求得的取值范围.
【详解】∵,∴,
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为:,
∵切线过原点,∴,
整理得:,
∵切线有两条,∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为:
26.
【详解】设切点为,,则切线方程为,整理得:
,把代入整理得:①,因为可作三条切线,所以①有三个解,记,则,当或时,单调递增,当时,单调递减,
所以当时,极大值,当时,极小值,要使有三个零点,只需且,所以,所以答案应填:.
考点:1、导数的极值;2、导数的应用;3、函数的零点.
【方法点晴】本题主要考查的是导数的几何意义,利用导数研究函数的极值,根据极值分析函数零点,属于难题.首先根据导数的几何意义求得切线斜率,再写出切线方程,代入所过点,则存在三条切线转化为方程有三个解,进而需要通过研究其导数得到极值情况,进而研究函数图象,分析极值与零的关系,得到方程有三个解的情况.
27.
【解析】设点为曲线上任意一点,求出函数的导函数,即可求出切线方程,由切线不经过点,即可得到方程无实根,利用根的判别式求出参数的取值范围;
【详解】解:设点为曲线上任意一点,因为,则曲线在点处的切线的方程为.
据题意,切线不经过点,则关于的方程,即无实根,所以,解得,所以的取值范围是.
故答案为:
28.
【分析】由分离常数,结合二次函数的性质求得的取值范围.
【详解】,
依题意可知,在区间内有解,
,在内递增,所以.
故答案为:
29.
【分析】求出导函数,只需有正解,分离参数可得,利用基本不等式即可求解.
【详解】函数定义域为,导函数为,
使得存在垂直于轴的切线,即有正解,可得有解,
因为,所以,当且仅当“,即”时等号成立,
所以实数的取值范围是
故答案为:
30.
【分析】设切点分别是,得到,化简可得a,转化为是方程的解,令,利用导数求得函数的单调性与最值,即可求解.
【详解】设,的公切线的斜率为,
直线与,图象的切点分别是,
若不存在,则不是图象的切线,所以存在,
则,可得,所以,
根据题意,此关于的方程有解;
令,则有零点,
因为,
所以在上单调递减,在上单调递增,
因为,
所以有零点当且仅当,
解得,即所求a的取值范围是.
故答案为:.
31.
【分析】利用即可求得,从而解出的范围.
【详解】解:,
,
曲线存在与直线垂直的切线,
成立,
,
故实数的取值范围是.
故答案为:.
32.2
【分析】设切点为,由导数求得过点的切线方程,由它与相同得出的关系式,设换元后,可用表示出,再引入新函数,利用导数求得其最大值.
【详解】设切点为,由,,
所以切线方程为,即,它就是,
所以,,
令,,所以,
,
设,,
时,,递增,时,,递减,
所以,即.
故答案为:2.
33.
【分析】设过M的切线切点为,求出切线方程,参变分离得,令,则原问题等价于y=g(x)与y=-m-2的图像有三个交点,根据导数研究g(x)的图像即可求出m的范围.
【详解】,
设过点的直线与曲线相切于点,
则,
化简得,,令,
则过点存在三条直线与曲线相切等价于y=g(x)与y=-m-2的图像有三个交点.
∵,
故当x<0或x>1时,,g(x)单调递增;当0<x<1时,,g(x)单调递减,
又,,
∴g(x)如图,
∴-2<-m-2<0,即.
故答案为:﹒
34.
【分析】设切点坐标为,根据导数的几何意义可求得切线方程,得到,令,利用导数可求得,由此可得结果.
【详解】设与曲线相切的切点坐标为,
,切线斜率,
切线方程为:,即,
又切线方程为,,
,
令,,
当时,;当时,;
在上单调递增,在上单调递减,
,即的最大值为.
故答案为:.
【点睛】思路点睛:本题考查最值问题的求解,解题关键是能够利用导数的几何意义表示出切线方程,从而将转化为关于的函数的形式,从而利用导数求得最值.
35.
【分析】设直线与曲线相切的切点为,借助导数的几何意义用表示出m,n即可作答.
【详解】设直线与曲线相切的切点为,而,则直线的斜率,
于是得,即,
由得,而,于是得,即
因,则,,当且仅当时取“=”,
所以的最小值为.
故答案为:
【点睛】结论点睛:函数y=f(x)是区间D上的可导函数,则曲线y=f(x)在点处的切线方程为:.
36.或
【分析】求导函数设切点坐标为,写出切线方程并代入点得,由于有两条切线,故方程有两非零的根,结合判别式即可求解.
【详解】由题得,设切点坐标为,
则切线方程为,
又切线过点,可得,
整理得,
因为曲线存在两条切线,故方程有两个不等实根且
若,则,为两个重根,不成立
即满足,解得或.
故的取值范围是或
故答案为:或
37.13
【分析】利用离心率得到椭圆的方程为,根据离心率得到直线的斜率,进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率,写出直线的方程:,代入椭圆方程,整理化简得到:,利用弦长公式求得,得,根据对称性将的周长转化为的周长,利用椭圆的定义得到周长为.
【详解】∵椭圆的离心率为,∴,∴,∴椭圆的方程为,不妨设左焦点为,右焦点为,如图所示,∵,∴,∴为正三角形,∵过且垂直于的直线与C交于D,E两点,为线段的垂直平分线,∴直线的斜率为,斜率倒数为, 直线的方程:,代入椭圆方程,整理化简得到:,
判别式,
∴,
∴ , 得,
∵为线段的垂直平分线,根据对称性,,∴的周长等于的周长,利用椭圆的定义得到周长为.
故答案为:13.
38.##
【分析】设椭圆的右焦点为,则,由椭圆的定义可得答案.
【详解】由椭圆,可得
设椭圆的右焦点为,连结,则
由为的中点,点是线段的中点,所以
所以
所以的周长为:
故答案为:
39.
【分析】先证明则四边形OMPN是平行四边形,进而根据椭圆定义求出a,再求出c,最后求出答案.
【详解】因为M,O,N分别为的中点,所以,则四边形OMPN是平行四边形,所以,由四边形OMPN的周长为4可知,,即,则,于是
的周长是.
故答案为:.
40.
【分析】分析知,直线过椭圆的左焦点,所以△的周长为,即可求出答案.
【详解】由椭圆的方程知:,而直线令,所以直线过椭圆的左焦点,由椭圆的定义知:
,,则△的周长为:
故答案为:.
41.20
【分析】利用椭圆的定义有,进而求△的周长即可.
【详解】由椭圆方程知:,而,
又△ABF2的周长是 .
故答案为:20.
42.12
【解析】根据椭圆的定义,得,由此可得,得到本题答案.
【详解】椭圆的方程为,
,,可得
根据椭圆的定义,得
得
是过椭圆左焦点的弦,得
.
故答案为:12
【点睛】本题给出椭圆经过左焦点的弦,在已知、到右焦点的距离和的情况下求弦长.着重考查了椭圆的定义与标准方程等知识,属于基础题.
43.6
【分析】由椭圆的几何性质,求得的值,再结合椭圆的定义,即可求得的周长,得到答案.
【详解】设椭圆的标准方程为,
因为椭圆的焦点坐标为,离心率为,
即,且,解得,
由椭圆的定义,可得的周长
.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程和简单的几何性质的应用,其中解答熟记椭圆的几何性质,合理利用椭圆的定义求解是解答的关键.
44.
【解析】先根据条件求解出椭圆的长半轴长,再分析出的周长即为,由此可得结果.
【详解】设椭圆的长轴长为,短轴长为,焦距为,
因为短轴长为,离心率,所以,
所以,所以,
又因为的周长为 ,
由椭圆定义可知的周长为,
故答案为:.
【点睛】本题考查和椭圆焦点三角形有关的周长计算,涉及椭圆方程中参数的计算,主要考查学生的计算能力,难度一般.椭圆中焦点三角形的周长:(为长轴长,为焦距).
45.14
【分析】设椭圆的右焦点为,连接,,根据椭圆的对称性可得四边形为矩形,从而可得,,得出答案.
【详解】设椭圆的右焦点为,连接,,
根据椭圆的对称性可得, 即四边形为矩形
所以,
由椭圆的定义可得,所以
所以的周长为:
故答案为:14
46.
【分析】取椭圆左焦点为左焦点为,连接,则,因为为定值故只需求出的最大值即可求得周长的最大值.
【详解】由椭圆的焦点在x轴上知,右焦点,左焦点为,连接,
由椭圆定义可知:,
,即最大时,最大,
在中,两边之差总小于第三边,,
当且仅当共线时,取最大值,此时取最大值,
则周长的最大值为.
故答案为:
【点睛】本题考查椭圆的定义与几何性质,椭圆中三角形周长问题,属于中档题.
47.8
【分析】由椭圆的定义以及三角形中位线的性质,即可得到本题答案.
【详解】由椭圆,得,
由题意可知如图:
连结,点M是线段的中点,
可得OM为的中位线,
所以,
由椭圆的定义可知,得,
所以的周长为:.
故答案为:8
【点睛】本题主要考查椭圆的定义,其中涉及到三角形中位线的应用.
48.##
【分析】由内切圆的周长为,可得半径为,结合椭圆定义可得
,再由,分析即得解
【详解】在椭圆中,.
∵的内切圆的周长为,
∴内切圆的半径为.
由椭圆的定义得的周长为,
又
且,
∴,
解得.
故答案为:.
答案第27页,共27页