2020.05.05+强化练习-数字推理+戚七+（讲义+笔记）（2020非联考职业测验综合应用系统班-1期+2020职业测验综合应用系统班-1期）.pdf

强化练习-数字推理（讲义+笔记）主讲教师：戚七 授课时间：2020.05.05 粉笔公考官方微信 1 强化练习强化练习-数字推理数字推理（讲义）（讲义）第一节 基础数列 1.13，17，21，25，（），33 A.27 B.29 C.31 D.32 2.5，10，20，（），80 A.30 B.40 C.50 D.60 3.2，3，5，8，（），21，34 A.9 B.12 C.13 D.16 第二节 分数数列 1.15/2，24/5，35/10，48/17，（）A.63/26 B.53/24 C.53/22 D.63/28 2.1/2，2/3，6/5，30/11，（）A.54/17 B.150/23 C.150/27 D.330/41 3.2/3，12/13，18/17，8/7，（）A.5/6 B.6/5 C.15/16 D.16/15 4.1，1/2，2/3，3/4，（）2 A.2 B.1 C.5/2 D.6/7 5.0，1/4，1/4，3/16，1/8，（）A.2/9 B.3/17 C.4/49 D.5/64 第三节 多重数列 1.1，2，-1，7，1，（），-1，17 A.10 B.12 C.13 D.15 2.38，35，33，31，28，27，23，（）A.20 B.21 C.22 D.23 3.4，3，1，12，9，3，17，5，（）A.12 B.13 C.14 D.15 4.1.16，8.25，27.36，64.49，（）A.65.25 B.125.64 C.125.81 D.125 第四节 幂次数列 1.-1，64，27，343，（）A.1331 B.512 C.729 D.1000 3 2.1，5，16，27，（）A.16 B.36 C.81 D.243 3.6，13，32，69，（）A.121 B.133 C.125 D.130 4.0，9，26，65，124，（）A.186 B.217 C.216 D.215 5.0，2，（），66，628，7780 A.8 B.10 C.33 D.44 第五节 多级数列 1.4，12，8，10，（）A.6 B.8 C.9 D.24 2.4，5，9，18，34，（）A.59 B.37 C.46 D.48 3.2，3，5，7，11，（）A.17 B.18 C.19 D.20 4 4.1，7，17，31，49，（）A.72 B.71 C.67 D.66 5.0，1，7，20，44，（）A.76 B.81 C.86 D.91 6.3，2，8，12，28，（）A.15 B.32 C.27 D.52 7.2，7，9，16，20，（）A.26 B.29 C.33 D.36 8.2，4，12，48，240，（）A.1645 B.1440 C.1240 D.360 9.8，12，24，60，（），630 A.90 B.120 C.180 D.240 第六节 递推数列 1.1，4，4，7，10，16，25，（）A.36 B.49 C.40 D.42 5 2.1，2，3，10，39，（）A.98 B.135 C.196 D.182 3.1，2，9，121，（）A.251 B.441 C.16900 D.960 4.2，6，38，1446，（）A.2090916 B.2090917 C.2090918 D.2090919 5.360，36，9，3，2，（）A.1 B.0.5 C.0 D.-1 综合练习一 1.1/3，4/9，7/27，10/81，（）A.13/243 B.15/84 C.19/243 D.13/84 2.6，6，12，18，24，（），48，162 A.30 B.36 C.42 D.54 3.325，118，721，604，（）A.911 B.541 C.431 D.242 6 4.-1/2，0，1/6，1/4，3/10，（），5/14 A.1/5 B.1/3 C.2/5 D.2/3 5.1，32，81，64，25，（）A.3 B.4 C.5 D.6 6.126，65，28，（），2 A.9 B.8 C.6 D.3 7.-3，-2，5，24，61，（）A.122 B.156 C.240 D.348 8.165，140，124，（），111 A.135 B.150 C.115 D.200 9.7，9，-1，5，（）A.3 B.-3 C.2 D.-1 10.7 A.2 B.4 C.6 D.8 综合练习二 1.46，33，22，15，10，（）A.1 B.3 C.5 D.7 2.16，12，4/3，9，（）A.4 B.8 C.16/9 D.4/27 3.1，-5，13，-29，（）A.-61 B.-39 C.39 D.61 4.21，44，69，816，1025，（）A.1036 B.1236 C.2225 D.2425 5.6，6，7，19，32，58,（）A.109 B.126 C.129 D.136 6.2/5，3/10，7/30，23/210，（）A.31/967 B.35/1208 C.159/2282 D.187/4830 7.1，2，2，6，3,15，5，（）,8,104,13 8 A.27 B.20 C.40 D.24 8.3，7，47，2207，（）A.4414 B.6621 C.8828 D.4870847 9.0，1，2，5，12，（）A.16 B.18 C.24 D.29 10.A.19 B.20 C.21 D.22 9 强化练习强化练习-数字推理数字推理（笔记）（笔记）【注意】1.课程目标：通过题目，回顾和强化理论课知识点，温故知新。2.课程设置：一共是四次课。（1）数字推理（从现在的考情来看，统考是基本没有考查的，但是对于非联考可能会考查到数字推理这个题型，所以说把这个课程还是加给大家，希望大家有所了解，即使现在暂时没有考过的同学也不妨来听一听，因为数字推理本省身并不难，而且万一哪一年真的考到我们心里有所准备、有所了解）：基础数列+特征数列+非特征数列+综合练习。（2）数学运算 1：代入排除+数字特性+方程法+工程+行程+容斥+其他。（3）数学运算 2：经济利润+排列组合与概率+高频几何+最值+计算问题。（4）资料分析：结合八篇完整资料，全面巩固。3.课堂要求：（1）课前预习，因为课上时间确实比较有限，所以希望在课上能够给大家带来更多的内容，课上不会给大家留做题时间，大家为了要保证好的学习效果和听课质量，特别是后面明天和后天的数学运算，如果不做预习，可能听课听起来会比较吃力。（2）积极互动，有疑问一定要及时提出来，如果能够理解老师的讲解也请尽量积极配合老师回复一下，老师了解到大家的理解程度能够更好地调整节奏，有利于大家更好的学习。4.课后答疑：（1）下一节课前 15min 进入教室答疑，每天老师 18：45 就会来到教室。（2）新浪微博：粉笔戚七。【知识点】数字推理：分为三大模块。1.基础数列：熟记。虽然直接考查的情况比较少，但是这种数列是我们所有数列考查的最基础的规律，无论是特征数列还是非特征数列，归根到底化简之后都有可能出现基础数列的形式，一定要重点掌握和熟记。10 2.特征数列：熟记特征、方法，多练。特征数列是比较好做的一类题目。3.非特征数列：先多级、再递推。非特征数列相对而言识别起来可能会有一点吃力，不像特征数列那么明显，开始一般就两种形式，多级数列和递推数列。第一节 基础数列【知识点】基础数列：是所有数列考查的根基，也就是说其他数列经过化简和变形之后都容易出现基础数列的形式。1.等差数列：例：1，6，11，16，21，26（公差 d=5）。相邻项之间差值相同。2.等比数列：例：3，6，12，24，48，96（公比 q=2）。相邻项之间比值相同。3.质数数列：例：2，3，5，7，11，13、17、19。4.合数数列：例：4，6，8，9，10，12、14、15、16、18、20。质数数列和合数数列需要大家重点记忆，因为打岔了和等比数列会变数字、变形，但是质数数列和合数数列数值是固定的，一旦出现就是这些数，所以大家只要把这个数列背下来，再出现质数数列和合数数列能够识别就是是非常重要的。大家至少要把20 以内的质数数列和合数数列背下来，0 和 1 既不是质数也不是合数，如果数列中出现 0 或 1，一定不是质数数列或合数数列。5.周期数列：（1）数字循环：例：1，5，1，5，1，5；2、4、2、4、2、4。数字循环一般要咋题目中出现两组以上的循环情况才能判断是循环数列。（2）符号循环：例：+1，2，+3，4，+5。符号循环这种情况比较直观。6.简单递推数列：在基础数列中相对来说有点难，这种数列更考查大家对于数字的敏感度。（1）和（+=）：例：1，2，3，5，8，13。第一项+第二项=第三项。（2）差（-=）：例：13，8，5，3，2，1。其实就是和递推反过来，简单递推和数列和简单递推差数列只要记住一个即可，另外一个就是反过来。（3）积（*=）：例：2，3，6，18，108。（4）商（/=）：例：108，18，6，3，2。11 1.13，17，21，25，（），33 A.27 B.29 C.31 D.32【解析】1.这组数字其实看起来还是比较明显的，相邻项数变化比较均匀，发现是等差数列，公差为 4，猜测所求项应该是 29，验证一下 29+4=33，没有问题。【选 B】2.5，10，20，（），80 A.30 B.40 C.50 D.60【解析】2.相邻项数都是有倍数的，是公比为 2 的等比数列，所求项应该是40，对应 B 项。【选 B】3.2，3，5，8，（），21，34 A.9 B.12 C.13 D.16【解析】3.第一项+第二项=第三项，2+3=5，简单的和递推数列，验证：3+5=8，满足；则所求项=5+8=13，验证一下，8+13=21，满足；13+21=34，满足，没有问题。【选 C】【注意】区分：基础数列相似度高，注意区分。1.2、3、5、8、（），是简单和递推，+=，所以下一项应该是 13。2.2、3、5、7、（），是连续的质数列，下一项应该是 11。3.1、3、5、7、（），是奇数列或者公差为 2 的等差数列，下一项应该是 9。12 【注意】基础数列：1.等差数列：相邻数字之差相等。2.等比数列：相邻数字之比相等。3.质数数列：（1）只有 1 和它本身两个约数的自然数。（2）2、3、5、7、11、13、17、19。4.合数数列：（1）除了 1 和它本身还有其他约数的自然数。（2）4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20。5.周期数列：数字或符号之间存在周期循环。6.简单递推数列：递推和、递推差、递推积、递推商。【知识点】考试中具体的考查方式主要是两大类：1.特征数列：分数数列、多重数列、幂次数列、图形数阵。2.非特征数列：多级数列、递推数列。13 第二节 分数数列【知识点】分数数列：1.题型特征：全部或大部分是分数。2.解题思路：观察分子、分母是否单调递增或递减。（1）是：分开看：分子、分母分别成规律。比如说给出 1/2、3/5、5/8，分子：1、3、5，是递增的，分母：2、5、8，也是递增的，递增状态要找规律可以先分开看，分子：1、3、5，是公差为 2 的等差数列，下一项是 7；分母：2、5、8，是公差为 3 等差数列，下一项是 11。一起看：两分数之间四则运算。用前一项的分子、分母推出后一项的分子、分母。比如说 4/7、3/11、8/14，分开看规律不太明显，如果一起看，后一项分子是前一项分子和分母做减法，后一项分母是前一项分子和分母做加法，下一项是（14-80/（14+8）=6/22。（2）否：反约分或广义通分（就是将所有分数的分母同一化成同一个数字），转化为单调递增或递减，再分开看。比如说 1/3、2/3、7/9，分子：1、2、7，好像是递增状态，但是分母：3、3、9，中间的 3 好像就没有递增趋势的感觉，就可以考虑把中间的 2/3 反约分，2/3乘几可以通过周围的数字打进行大概猜测，分子和分母同时乘以 2，2/3=4/6，分母：3、6、9，分子：1、4、7，都有规律，是公差为 3 的等差数列；比如说 1/60、1/30、1/20、1/15、1/12，分母之间的倍数关系比较明显，都是 60 的约数，考虑把分母都化成 60，1/60、2/60、3/60、4/60、5/60。1.15/2，24/5，35/10，48/17，（）A.63/26 B.53/24 C.53/22 D.63/28【解析】1.全是分数，一定是分数数列，对于这个分数数列先观察一下，分子：15、24、35、48，是递增的，分母：2、5、10、17，也是递增的，如果分子和分母分开看，分子：15、24、35、48，规律不明显，尝试做差，相邻项两两做 14 差得到：9、11、13，是公差为 2 的等差数列，下一项应该是 15，所有所求项分子是 48+15=63，；分母：2、5、10、17，没有规律，相邻项两两做差得到：3、5、7，下一项应该是 9，则所求项的分母是 9+17=26，则所求项=63/26，对应 A 项。【选 A】【注意】1.3、5、7，有同学考虑是质数数列，下一项应该是 11，如果是 3、5、7、11 也有规律，则所求项应该是 63/28，为什么不行，因为本题分子和分母形成两组规律，这两组规律一般情况下都会有相似性，分母可能是等差数列，也可能是质数数列，当两组数列都有规律的还时候，优先考虑和分子有相似规律的这种规律，2.小经验：如果单看分子找不到规律，可以参考一下分母的规律。2.1/2，2/3，6/5，30/11，（）A.54/17 B.150/23 C.150/27 D.330/41【解析】2.分数数列，第一反应是分子和分母分开看找规律，确实都在递增，但是分开看不太容易找到一个合适的规律，分开看不行，还可以一起看，2=1*2，3=1+2；6=2*3，5=2+3；30=6*5，11=6+5，后一项分子等于前一项分子和分母之积，后一下项分母等于前一项分子和分母之和，则所求项=（30*11）/（30+11）=330/41，对应 D 项。【选 D】3.2/3，12/13，18/17，8/7，（）A.5/6 B.6/5 C.15/16 D.16/15【解析】3.前面都是递增的，8/7 突然掉下来了，说明 8/7 破坏了递增趋势，要把它反约分，观察一下数字前后的特点，分母 13 和 17 差 4，如果下一个数字和 17 也差 4，应该是 21，分子 12 和 18 差 6，如果下一个数字和 18 也差 6，应该是 24，8/7=24/21，2/3=6/9，分子是公差为 6 的等差数列，分母是公差为 4 15 的等差数列，则所求项=（24+6）/（21+4）=30/25=6/5，对应 B 项。【选 B】【注意】1.小技巧：如果确定分母是 9、13、17、21、25，所求项分母应该是 25，最终这个分数要么是 25 分之几，要么可以约分成几分之几，但是分母 25 不能约分成 6 分之几、16 分之几、15 分之几，结合选项已经能够选择 B 项。2.反约分就是约分的逆运算，就是将分子和分母同时乘以一个数，比如说6/5 可以反约分成 24/20。4.1，1/2，2/3，3/4，（）A.2 B.1 C.5/2 D.6/7【解析】4.很多同学发现 1/2、2/3、3/4，下一项应该是 4/5，但是发现没有答案，而且如果是 4/5，前面 1 这个数字也不太合适。大部分是分数，应该是分数数列，出现整数，肯定要考虑将整数进行反约分，1=1/1，分子和分母分开看，分母：1、2、3、4，接下来应该是 5，分子：1+1=2，1+2=3，2+3=5，简单的递推和数列，下一项应该是 2+3=5。所求项=5/5=1，对应 B 项。【选 B】5.0，1/4，1/4，3/16，1/8，（）A.2/9 B.3/17 C.4/49 D.5/64【解析】5.大多数是分数，应该是分数数列，有整数 0，1/4 和 1/8 破坏了递增趋势，这三个数都要进行反约分，1/4 左右两边都有数，反约分可以结合左右两边的数，先考虑将 1/4 进行反约分，1/4=2/8，1/8=4/32，分子：0、1、2、3、4，下一项是 5，基本上可以选 D 项，如果严谨一点，再看一下分母，分母：2、4、8、16、32，是公比为 2 的等比数列，下一项是 64。所求项=5/64，对应 D项。【选 D】16 【注意】分数数列：1.识别：数列中全部或大部分数字是分数。2.思路：（1）分子、分母递增后递减：分子、分母分别找规律。分子、分母一起找规律。（2）分子、分母不递增递减：反约分。广义通分（分子/分母好找公倍数）。第三节 多重数列【知识点】多重数列：1.题型考查：考试中有两种考法。（1）一般多重数列。（2）特殊多重数列。2.一般多重数列：（1）题型特征：数列项数较多，一般在 7 项或 7 项以上（包括未知项）。（2）解题思路：先交叉再分组，因为考试中考查交叉比较多。交叉：奇数项和偶数项分别形成规律。比如说 1、2、3、4、5、6、7，1、3、5、7 就是奇数项，2、4、6 就是偶数项。分组：两两分组或三三分组（总项数一般为 9 项或 12 项）。两两分组：1、2，3、4，5、6，7、8；三三分组：1、2、3，4、5、6，7、8、9。3.特殊多重数列（机械划分）：（1）题型特征：均为小数。比如说 1.1、2.4、3.9、4.16，都是小数，小数点天然把数字 17 分成左右两个部分，整数部分：1、2、3、4，下一项是 5，小数部分：1、4、9、16，下一项是 25，新一个数字应该是 5.25。均为多位数。比如说 99、1110、1312、1513，从中间拆开，9、11、13、15，下一项是 17，9、10、12、13，下一项可能是 15。（2）解题思路：划分后在组间或组内找规律。小数：划分成整数部分、小数部分找规律。多位数：a.划分成 23 组找规律。b.各位数字加和（常见全是三位数的数列）。当题目中都是三位数的时候，三位数可能会考查各位数字加和情况，比如说 100、102、113、124、（），1+0+0=1，1+0+2=3，1+1+3=5，1+2+4=7，下一项数字之和应该是 9，下一项可能是 135，1+3+5=9。1.1，2，-1，7，1，（），-1，17 A.10 B.12 C.13 D.15【解析】1.数列明显很长，很有可能是一般多重数列，考虑先交叉再分组，奇数项：1、-1、1、-1，是周期数列，但是要看（）所在的数列，这组数没有什么用；偶数项：2、7、（）、17，括号在中间，规律不太明显，如果数字敏感度比较高，从尾数上来看尾数是循环的，可以考虑是公差为 5 的等差数列，（）=7+5=12，12+5=17，满足，对应 B 项。【选 B】【注意】小技巧：括号在中间如果猜不到规律，可以考虑代入选项，2、7、10、17，没有规律，2、7、12、17，有规律。2.38，35，33，31，28，27，23，（）A.20 B.21 C.22 D.23【解析】2.方法一：数列非常长，有 8 项，可以考虑交叉找规律，奇数项：18 38、33、31、23，是公差为-5 的等差数列，但是要的是括号所在的组；偶数项：35、31、27、（），是公差为-4 的等差数列，则（）=27-4=23，对应 D 项。方法二：还可以两两分组找规律，（38、35），（33、31），（28、27），（23、（），两两分组差值分别是 3、2、1，下一项应该是 0，则（）=23，对应 D项。【选 D】3.4，3，1，12，9，3，17，5，（）A.12 B.13 C.14 D.15【解析】3.首先项数很长，对于项数很长的数列一般考多重数列，而且发现一共是 9 项，9 项可以考虑三三分组，相邻三项分一组，（4、3、1），（12、9、3），（17、5、（），4=3+1，12=9+3，17=5+（），则（）=22，对应 A 项。【选A】4.1.16，8.25，27.36，64.49，（）A.65.25 B.125.64 C.125.81 D.125【解析】4.都是有小数点的数字，可以通过小数点进行机械划分，整数部分：1=1、8=2、27=3、64=4，都是立方数，下一项应该是 5=125，不能确定答案，只能排除 A 项；小数部分：16=4、25=5、36=6、49=7，下一项应该是8=64。则（）=125.64，对应 B 项。【选 B】【注意】1.出现小数点，要考虑把整数部分和小数部分拆开分别找规律。2.如果先看小数部分，确定小数部分规律就可以直接锁定答案。19 【注意】多重数列：1.识别：（1）项数多（7 项）；俩括号。（2）有小数。2.思路：（1）先交叉（奇数项和偶数项分别看）；再分组（一般二二分、偶尔三三分）。（2）把整数部分和小数部分拆开，先交叉再分组。第四节 幂次数列【知识点】幂次数列：1.题型特征：数字本身都是幂次数（普通幂次）或都在幂次数附近（修正幂次）。比如说 1、4、9、16、25 都是平方数，2、5、10、17、26 就是修正幂次数列，2=1+1，5=4+1，10=9+1，17=16+1，26=25+1。2.解题思路：（1）普通幂次：还原成 an找规律。（2）修正幂次：先转化为普通幂次修正项，再找规律。幂次 VIP：64。3.注意点：（1）优先还原唯一变化的幂次数（尽量避开 0、1、64、81）。比如说 27 只能还原成 3，16 可以还原成 4或 24。（2）1/a=a-1（a0）。比如说 1/6=6-1。（3）1=1n=m0（m 为非零数）；0=0n（n0）。4.强化记忆：（1）平方：11=121、12=144、13=169、14=196、15=225、16=256、17=289、18=324、19=361、21=441。20 （2）立方：2=8、3=27、4=64、5=125、6=216、7=343、8=512、9=729。（3）其他：24=16、34=81、44=256、54=625。25=32、35=243。26=64、36=729。27=128、28=256、29=512、210=1024。1.-1，64，27，343，（）A.1331 B.512 C.729 D.1000【解析】1.这组数字都是幂次数，先还原，27 是唯一变化的，27=3，343也是唯一变化的，343=7，都是三次方，64=4，-1=（-1），指数都是 3，底数：-1、4、3、7，4+3=7，是递推和数列，-1+4=3，也满足这个规律，所求项底数就是 3+7=10，则所求项=10=1000，对应 D 项。【选 D】2.1，5，16，27，（）A.16 B.36 C.81 D.243【解析】2.16 和 27 是幂次数，但是前面 5 好像不是，可以试一试，27=3，16=4=24，到底哪个合适，5 要变成幂次数形式只可能是 51，所以 16 应该是 4，底数：6、5、4、3、2，依次减 1，指数：0、1、2、3、4，一次加 1，则所求项=24=16，对应 A 项。【选 A】3.6，13，32，69，（）A.121 B.133 C.125 D.130【解析】3.这组数字做起来可能有些吃力，不是分数数列，不是多重数列，考虑是不是幂次数列，69 周围有 64，69=64+5，32=27+5，13=8+5，6=1+5，修正 21 项都是“+5”，1=1、8=2、27=3、64=4，都是立方数，下一项是 5=125，则所求项=125+5=130，对应 D 项。【选 D】4.0，9，26，65，124，（）A.186 B.217 C.216 D.215【解析】4.观察数列，发现有 65，65 是 64 周围的数字，65=64+1，124=125-1，出现符号循环，猜测修正项可能是“-1、+1、-1、+1、-1、+1”，1、8、27、64、125，都是立方数，分别是 1、2、3、4、5，下一项应该是 6，所求项=6+1=216+1=217，对应 B 项。【选 B】5.0，2，（），66，628，7780 A.8 B.10 C.33 D.44【解析】5.数列中不仅出现比较敏感的 66 这种数字，而且数列变化非常剧烈，很可能是幂次数列，还出现 66，66=64+2，628=625+3，猜测后面可能是“+4”，前面可能是+（-1）、+0、+1，修正项猜测出来了，7780=7776+4，0=1-1、2=2+0，625=25=54，64=8=4=26，观察一下猜测是 4和 54，底数：1、2、3、4、5、6，指数：0、1、2、3、4、5，1=10，2=21，3=9，则所求项=3+1=9+1=10，对应 B项。【选 B】【注意】小经验：64 这个数字非常容易出现在修正幂次数列中，所以 64 被称为是幂次数列中的 VIP。【注意】幂次数列：1.识别：本身是幂次数或附近有幂次数。特别是出现 64 周围的数字。22 2.思路：（1）普通幂次：指数与底数的变化规律。（2）修正幂次：先转化为普通幂次修正项，再找规律。第五节 多级数列【知识点】多级数列：1.没有明显特征，变化趋势平缓。思路：优先做差（一次、二次），两次差没有规律，考虑做和【浙江特色】。2.倍数关系明显：相邻两项之间有倍数关系，两两做商找倍数。3.注意点：（1）方向性（方向保持一致）：要么后项减（除）前项，要么前项减（除）后项。（2）可正可负，可整数可分数（小数）。1.4，12，8，10，（）A.6 B.8 C.9 D.24【解析】1.首先判断不是基础数列，没有分数、项数不多、没有明显的幂次数，没有明显特征，做差。相邻两项两两做差：8、-4、2，差值和商值可以为负数，新数列是公比为-1/2 的等比数列，下一项为 2*（-1/2）=-1，10-1=9，对应C 项。【选 C】2.4，5，9，18，34，（）A.59 B.37 C.46 D.48【解析】2.没有明显特征，相邻两项两两做差：1、4、9、16，均为平方数，下一项为 5=25，（）=34+25=59，对应 A 项。【选 A】3.2，3，5，7，11，（）23 A.17 B.18 C.19 D.20【解析】3.2、3、5、7、11 质数数列，下一项为 13，但是答案没有 13，因此本题不是考查质数数列规律。没有其他特征，两两做差：1、2、2、4，观察2*2=4，考虑简单积递推，1*2=2，满足规律，因此新数列下一项为 2*4=8，则（）=11+8=19，对应 C 项。【选 C】【注意】若找到的规律没有答案，则及时调整规律。4.1，7，17，31，49，（）A.72 B.71 C.67 D.66【解析】4.49=7，但是其他数不是幂次数，无明显特征，考虑做差：6、10、14、18，公差为 4 的等差数列，下一项为 18+4=22，则（）=49+22=71，对应 B项。【选 B】5.0，1，7，20，44，（）A.76 B.81 C.86 D.91【解析】5.方法一：不是基础数列，没有特征，考虑做差：1、6、13、24、？，做一次差无规律，做二次差：5、7、11，连续质数列，下一项为 13，则？=24+13=37，因此（）=44+37=81，对应 B 项。方法二：做和：1、8、27、64，立方数，分别为 1、2、3、4，则下一项为 5=125，因此（）=125-44=81，对应 B 项。【选 B】6.3，2，8，12，28，（）A.15 B.32 C.27 D.52【解析】6.方法一：不是基础数列，无明显特征，做差无规律。考虑做和：24 5、10、20、40，公比为 2 的等比数列，下一项为 80，（）=80-28=52，对应 D项。方法二：第一项*2+第二项=第三项，（）=12*2+28=52，对应 D 项。【选 D】7.2，7，9，16，20，（）A.26 B.29 C.33 D.36【解析】7.不是基础数列，无明显特征，做差可得：5、2、7、4，无规律，再做差：-3、5、-3、？，可能为周期数列，但是只有一组数据，不严谨。考虑做和：9、16、25、36，均为平方数，下一项为 49，因此（）=49-20=29，对应 B 项。【选 B】【注意】1.本题不能考虑递推。2.做差无规律，做和有幂次数的规律。8.2，4，12，48，240，（）A.1645 B.1440 C.1240 D.360【解析】8.相邻项数有倍数关系，虽然不是等比数列，做商（后项除以前项）：2、3、4、5，下一项为 6，因此（）=240*6=1440，对应 B 项。【选 B】9.8，12，24，60，（），630 A.90 B.120 C.180 D.240【解析】9.倍数不太明显，12、24 有 2 倍关系，60、630 都是整十的数，很有可能有倍数关系。考虑做商（后项除以前项）：1.5、2、2.5，公差为 0.5 的等差数列，下一项为 3，（）=60*3=180，验证：630/180=3.5，符合规律，对应 C项。【选 C】25 【注意】多级数列：1.识别：无明显特征。2.规律：（1）做 1 次差做 2 次差做和。（2）有倍数关系：做商。第六节 递推数列【知识点】递推数列：难度相对较大的题型。1.题型特征：无明显特征、非多级数列。2.解题思路：（1）圈三数。（2）试规律：例如：（+）*2=，+/2=。如果变化趋势相对平缓，一般考虑做和、做商；变化快一般考虑做乘积；变化非常剧烈时考虑幂次（平方）。（3）做验证。3.注意：圈三数时，往往圈相对好算（不大不小）的数字容易找规律。4.补充（浙江特色）：圈四数，找规律（和）。如果三项没有规律，考虑四项规律（和：+=），其他省份也需准备这种考法。1.1，4，4，7，10，16，25，（）A.36 B.49 C.40 D.42【解析】1.项数多，多重数列找不到规律，多级、做差、做和、做商均无规律，考虑递推。前面的数字小，圈不大不小的三个数：4、7、10，变化不快，一 26 般考虑加和：4+7-1=10，即第一项+第二项-1=第三项，验证规律：1+4-1=4、4+4-1=7、7+10-1=16、10+16-1=25，规律满足，因此（）=16+25-1=40，对应 C 项。【选C】2.1，2，3，10，39，（）A.98 B.135 C.196 D.182【解析】2.没有明显特征，做差、做和、做商均无规律，考虑递推。圈不大不小的三个数：2、3、10，（2+3）*2=10，猜规律为：（第一项+第二项）*2=第三项，验证：（3+10）*3=39，（1+2）*1=3，规律为（第一项+第二项）*n=第三项，n 是依次递增的，1、2、3，下一项为 4，（10+39）*4，尾数为 6，对应 C 项。【选C】3.1，2，9，121，（）A.251 B.441 C.16900 D.960【解析】3.选项几百甚至上万，数列变化很剧烈，递推要么乘积要么幂次，9、121 都是平方数，9=3=（1+2）、121=11=（2+9），规律为（第一项+第二项）=第三项，因此（）=（9+121）=130，对应 C 项。【选 C】4.2，6，38，1446，（）A.2090916 B.2090917 C.2090918 D.2090919【解析】4.观察选项，变化剧烈，要么是乘积递推要么是幂次递推。2+6=38，+=，验证规律：6+38，尾数为 0，不满足规律。6+2=38，如果 2 为修正项，则 2+2=6，38+2=1446，满足，规律为+2=，1446+2，尾数为 8，对应 C 项。【选 C】5.360，36，9，3，2，（）27 A.1 B.0.5 C.0 D.-1【解析】5.有倍数关系，两两做商为：10、4、3、1.5，没有明显关系，观察原数列可得：/-1=，验证：36/9-1=3、9/3-1=2，满足规律，则（）=3/2-1=0.5，对应 B 项。【选 B】【注意】递推数列：1.识别：没有明显特征，且不是多级数列。2.思路：（1）圈仨数：不大不小。（2）找规律：和倍方积。（3）做验证。综合练习一 1.1/3，4/9，7/27，10/81，（）A.13/243 B.15/84 C.19/243 D.13/84【解析】1.分数数列，分子、分母均递增，分开看，分子是公差为 3 的等差数列，下一项为 13，排除 B、C 项，分母是公比为 3 的等比数列，下一项为 243，对应 A 项。【选 A】2.6，6，12，18，24，（），48，162 28 A.30 B.36 C.42 D.54【解析】2.数列长，考虑多重数列，交叉找规律。奇数项数列的公比为 2，偶数项数列猜：公比为 3，验证：18*3=54，54*3=162，规律正确，因此（）=54，对应 D 项。【选 D】3.325，118，721，604，（）A.911 B.541 C.431 D.242【解析】3.数列都是三位数，考虑各位数字之和。各位数字加和都是 10，观察选项，选项各位数字加和分别为 11、10、8、8，只有 B 项满足。【选 B】【知识点】特殊多重机械划分：1.题型特征：数列位数多。2.解题思路：（1）整体拆部分（4 位及以上）。（2）各位数字求和（3 位）。4.-1/2，0，1/6，1/4，3/10，（），5/14 A.1/5 B.1/3 C.2/5 D.2/3【解析】4.观察数列，1/4 的分子、分母破坏了递增减的趋势，进行反约分，1/4=2/8。分子：-1、0、1、2、3、？、5，因此？=4；分母：2、4、6、8、10、？、14，因此？=12。（）=4/12=1/3，对应 B 项。【选 B】5.1，32，81，64，25，（）A.3 B.4 C.5 D.6【解析】5.全都是幂次数，还原：从唯一变化的数入手，从 25 入手，25=5 29 ，则 64=4、81=34、32=25、1=16，底数分别为 1、2、3、4、5，下一项为 6；指数分别为 6、5、4、3、2，下一项为 1，则（）=61=6，对应 D 项。【选 D】6.126，65，28，（），2 A.9 B.8 C.6 D.3【解析】6.65=64+1，考虑修正幂次数列，126=125+1、28=27+1、2=1+1，修正项均为 1，125、64、27 均为立方数，分别为 5、4、3、？、1，因此？=2，则（）=2+1=9，对应 A 项。【选 A】7.-3，-2，5，24，61，（）A.122 B.156 C.240 D.348【解析】7.方法一：出现 64 周围的数 61，61=64-3、24=27-3、5=8-3、-2=1-3、-3=0-3，0=0、1=1、8=2、27=3、64=4，底数分别为 0、1、2、3、4，下一项为 5，指数均为 3，因此下一项为 5=125，（）=125-3=122，对应 A 项。方法二：两两做差：1、7、19、37，规律不明显，做二次差：6、12、18，公差为 6 的等差数列，下一项为 24，37+24=61，则（）=61+61=122，对应 A项。【选 A】8.165，140，124，（），111 A.135 B.150 C.115 D.200【解析】8.数字都是三位数，可以先试数字之和：12、5、7、？、3，没有合适的规律，换思路。没有其他明显特征，考虑做差：25、16、（）、（），25、16分别是5、4的平方，猜后两项为3=9、2=4。验证规律：124-9=115，115-4=111，规律正确。因此（）=115。【选 C】9.7，9，-1，5，（）30 A.3 B.-3 C.2 D.-1【解析】9.做差无规律，考虑做和：16、8、4，公比为 1/2 的等比数列，下一项为 2，因此（）+5=2，解得（）=2-5=-3，对应 B 项。【选 B】10.A.2 B.4 C.6 D.8【解析】10.优先看对角线的规律：6*4=8*3，对角线相乘相等，验证规律：2*15=5*6、4*9=3*12，规律满足，1*56=7*？，解得？=8，对应 D 项。【选 D】【知识点】回顾：图形数列：1.题型特征：三角形、圆形（有中心、无中心）、方阵。2.解题思